【高斯消元】[NOIP2004]虫食算(这是正解)

题目描述
所谓虫食算，就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了，需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子：

+43a9865a045008468a663344445506978

其中a代表被虫子啃掉的数字。

根据算式，我们很容易判断：第一行的两个数字分别是5和3，第二行的数字是5。

现在，我们对问题做两个限制：
首先，我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是N进制加法，算式中三个数都有N位，允许有前导的0。
其次，虫子把所有的数都啃光了，我们只知道哪些数字是相同的，我们将相同的数字用相同的字母表示，不同的数字用不同的字母表示。
如果这个算式是N进制的，我们就取英文字母表午的前N个大写字母来表示这个算式中的0到N-1这N个不同的数字：但是这N个字母并不一定顺序地代表0到N-1)。

输入数据保证N个字母分别至少出现一次。　　　　

+BADCCBDADCCC

上面的算式是一个4进制的算式。很显然，我们只要让ABCD分别代表0123，便可以让这个式子成立了。

你的任务是，对于给定的N进制加法算式，求出N个不同的字母分别代表的数字，使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解。

输入
输入文件alpha.in包含4行。第一行有一个正整数N(N<=26)，后面的3行每行有一个由大写字母组成的字符串，分别代表两个加数以及和。这3个字符串左右两端都没有空格，从高位到低位，并且恰好有N位。

输出
输出文件alpha.out包含一行。在这一行中，应当包含唯一的那组解。解是这样表示的：输出N个数字，分别表示A，B，C……所代表的数字，相邻的两个数字用一个空格隔开，不能有多余的空格。

样例输入
Copy (如果复制到控制台无换行，可以先粘贴到文本编辑器，再复制)

5
ABCED
BDACE
EBBAA
样例输出
1 0 3 4 2

【数据规模】

对于30％的数据，保证有N≤10；
对于50％的数据，保证有N≤15；
对于全部的数据，保证有N≤26

ps:再给你一组小数据，如果调不出来你可以手动跑一下
输入：
2
AB
AB
BA
输出：
0 1

---

分析：以个位为第一列，di表示第i列的进位情况，对于第i列，如果竖式是

+⋯⋯⋯⋯⋯⋯aibici⋯⋯⋯⋯⋯⋯

那么显然有

(ai+bi+di−1)modn=ci

去掉模运算得到

ai+bi+di−1=ci+kn

由于这是竖式加法，那么 显然k就是di。
那就有

ai+bi+di−1=ci+n∗di

将常数项移到右边去

ai+bi−ci=n∗di−di−1

至此，方程列完了。
我们枚举di，进行求解。
显然 dn, d0都是0，所以，我们只需要枚举 2n−1次，高斯消元的时间复杂度是 O(n3)，所以总的时间复杂度是 O(2n−1n3)，当然，这显然不够快，考虑优化。
我们发现，我们改变的只有常数项，所以，我们只做一次高斯消元。通过这次高斯消元，我们显然可以求出未知数的系数，那对于 常数项呢？

---

优化从这里开始
设第i个方程的 化简后的常数项为 Ai，
设高斯消元之后得到的未知数的系数为 K
那么，高斯消元后的矩阵就是这个样子的

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢K10⋮000K2⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮kn−1000⋮0knA1A2⋮An−1An⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

我们再用一个数组 gi,j来保存第i个方程的 化简后的常数项和 dj的关系
即

Ai=∑j=1ngi,j

那么显然，初始时， gi,j=5,gi,i−1=−1;
那高斯消元后，也就是这个样子

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢K10⋮000K2⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮Kn−1000⋮0Kng1,1g2,1⋮gn−1,1gn,1g1,2g2,2⋮gn−1,2gn,2⋯⋯⋱⋯⋯g1,n−1g2,n−1⋮gn−1,n−1gn,n−1g1,ng2,n⋮gn−1,ngn,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

每次枚举出d数组的取值后，我们就可以用 O(n2)的时间算出常数项 Ai，总的时间复杂度变为 O(2n−1n2)，但由于很多取值不用 O(n2)的时间即可判定为不可行 (看我的check()函数)，所以时间时间会比较短。
你看懂了吗，我猜你没看懂，那看看我举的例子：
我们来分析一下样例：

那么，我们可以列出矩阵

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−1−110100−10101100100101100−15−100005−100005−100005−100005⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

高斯消元后矩阵变为

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−300000−300000−300000300000−1−33−15180−16180−1506−21−33−3−83318−151516−15−1500−5⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

枚举dj，根据增广矩阵的右边算出常数项即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 26
int n,equ,var,d[MAXN+10],x[MAXN+10];
typedef int matrix[MAXN+10][MAXN+10];
matrix a,g;
bool vis[MAXN+10];
char s[3][MAXN+10];
void Read(int &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
void read(){
    Read(n);
    scanf("%s%s%s",s[0],s[1],s[2]);
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=0;j<2;j++)
            a[n-i][s[j][i]-'A'+1]++;
        a[n-i][s[2][i]-'A'+1]--;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        g[i][i]=n,g[i][i-1]=-1;
    g[1][0]=0;
    equ=var=n;
}
int gcd(int a,int b){
    int t;
    while(b){
        t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}
void gauss_jordan(){
    int i,j,row,col,mxr,lcm;
    for(row=col=1;row<=equ&&col<=var;row++,col++){
        mxr=row;
        for(i=row+1;i<=equ;i++)
            if(abs(a[i][col])>abs(a[mxr][col]))
                mxr=i;
        if(mxr!=row)
            swap(a[row],a[mxr]),swap(g[row],g[mxr]);
        if(!a[row][col]){
            row--;
            continue;
        }
        for(i=1;i<=equ;i++)
            if(i!=row&&a[i][col]){
                lcm=a[i][col]/gcd(a[i][col],a[row][col])*a[row][col];
                int t1=lcm/a[i][col],t2=lcm/a[row][col];
                for(j=1;j<=var;j++){
                    g[i][j]=t1*g[i][j]-t2*g[row][j];
                    a[i][j]=t1*a[i][j]-t2*a[row][j];
                }
            }
    }
}
bool check(){
    int i,j;
    memset(vis,0,sizeof vis);
    for(i=1;i<=n;i++){
        x[i]=0;
        for(j=1;j<=n;j++)
            x[i]+=g[i][j]*d[j];
        if(x[i]%a[i][i]||x[i]/a[i][i]<0||x[i]/a[i][i]>=n||vis[x[i]/a[i][i]])
            return 0;
        x[i]/=a[i][i];
        vis[x[i]]=1;
    }
    return 1;
}
void print(){
    for(int i=1;i<n;i++)
        printf("%d ",x[i]);
    printf("%d\n",x[n]);
}
void dfs(int i){
    if(i==n){
        if(check()){
            print();
            exit(0);
        }
        return;
    }
    d[i]=1;
    dfs(i+1);
    d[i]=0;
    dfs(i+1);
}
int main()
{
    read();
    gauss_jordan();
    dfs(1);
}

另有搜索算法，请见