系统的可靠性分析与设计---系统的可靠性分析与可靠度计算

1 组合模型

    组合模型是计算机容错系统可靠性最常用的方法。一个系统只要满足以下条件，就可以用组合模型来计算其可靠性。作如下假设。

    （1）系统只有两种状态：运行状态和失效状态。

    （2）系统可以划分成若干个不重叠的部件，每个部件也只有两种状态：运行状态和失效状态。

    （3）部件的失效是独立的。

    （4）系统失效当且仅当系统中的剩余资源不满足系统运行的最低资源要求（系统的状态只依赖于部件的状态）时。

    （5）已知每个部件的可靠性，可靠性指可用度或可靠度等概率参数。组合模型的目标就是根据各部件的可靠性 Ri(t)来计算系统的可靠度 Rsys(t)，组合模型的基本思想如下。

    1．枚举所有系统状态

    假设系统被划分为 n 个部件，则系统状态是一个 n 维向量， q = (s1,s2 ,---,sn ) ，其中：

    si={0，如果部件 i 处于运行状态；1，如果部件 i 处于失效状态（ i = 1, 2,---, n ）}，一个具有 n 个部件的系统共有 2 n 个状态。

    2．计算每个系统状态的概率系统状态的概率是指系统处于该状态的概率。设系统状态 q = (s1,s2 ,---,sn ) ，q 的所有 0分量对应的部件用 A0 来表示（ A0 是所有处于运行状态的部件的集合），q 的所有 1 分量对应的部件用 A1 来表示（ A1 是所有处于失效状态的部件的集合）。于是，系统状态的概率为：

    3．可靠性计算直接计算一个复杂系统的可靠性是很困难的，通常的方法是把整个系统分解为简单的子系统，通过子系统的组合来计算整个系统的可靠性。

    （1）串联系统。在一个由 n 个模块（部件）构成的系统中，如果系统中任意一个模块失效将导致系统失败（系统的最低资源要求是所有模块全部运行，只有全 0 系统（0，0，…， 0）能够使系统运行）。

   用随机变量 ξi 表示模块 i 发生失效的时间，用随机变量 ξs 表示系统发生失效的时间，则 ξs 可表示为：

    则系统可靠度为：

    其中， Ri(t)是模块 i 的可靠度，串联系统的可靠度是各个模块可靠度的乘积。这种系统可抽象地看成一个如图示的串联系统，因此，上式称为串联可靠性公式。

    串联系统的失效率为：

    其中， Qi(t) =1− Ri(t) 是模块 i 的失效概率。

    （2）并联系统。在一个由 n 个模块（部件）构成的系统中，只要有一个模块可运行，系统就可运行（系统的基本资源是一个模块，除了全 1 系统状态（1，1，1，…，1）外，系统都是可运行的），因此：

    系统的失效概率分布函数可以表示为：

    其中 Qi(t) 是模块i的失效分布函数。

    并联系统的可靠度为：

      其中，Qi(t)=1-Ri(t) 是模块 i 的失效概率

      这种系统可抽象地看成一个如图 所示的并联系统，因此，上式称为并联可靠性公式。

    （3）串并联系统。如果一个系统由 N 个子系统并联而成，而每个并联的子系统又由 n个元件串联而成，这样的系统称为串并联系统。

    设第 j 个子系统的第 i 个元件的可靠度为Rij(i=1,2,L,n;j=1,2,L,N)，则该串并联系统的可靠度为：

    如果Rij 全相等为 R，则：

2 马尔柯夫模型

    马尔柯夫模型的两个核心概念是状态和状态转移。系统的状态表示了在任何瞬间用以描述该系统所必须知道的一切。对于可靠性分析，马尔柯夫模型的每个状态表示了有效和失效模块的不同组合。如果每个模块都是处于有效和失效两种情况之一，则一个 n 模块系统的完整模型有 2 n 个状态。

    状态转移是指随着时间的流逝，因模块的失效和修复，系统发生的状态变化。

    作为马尔柯夫模型基础的基本假设是：给定状态的转移概率仅取决于当前的状态。系统从一个状态 i 转移到另一个状态 j 的转移率定义为单位时间内从状态 i 转移到状态 j 的概率。对于一个模块来说，从运行状态到失效状态的转移率就是模块的失效率，从失效状态到运行状态的转移率就是模块的修复率。一个失效率为 λ，修复率为 μ 的模块的状态图如图所示。

    对于由 n 个模块构成的系统，共有 2 n 个状态。从理论上说，任意两个状态之间都存在转移的可能性。但因失效是独立的，在很短的时间内发生多个失效的可能性远小于发生一个失效的可能性。因此，只考虑任一时刻只有一个模块失效的转移；同样，也只考虑任意时刻只有一个模块修复的转移。系统的状态图也可以表示为层次图。第一层只有一个状态，对应于所有模块都运行的情况；第二层有 n 个状态，对应于一个模块失效的各种情况；第i +1 层有 Ci 个状态，对应于 n 个模块中有 i 个失效的各种情况；第 n+1层也只有一个状态，对应于全部模块都失效的情况。

    根据系统的状态图，可以计算出系统处于任意状态的概率。

    设系统在 t 时刻处于状态 0 和 1 的概率分别为 P0(t)和 P1(t)，于是，在 t + Δt 时刻系统处于 0 状态的概率为：

    同样，在 t + Δt 时刻系统处于 1 状态的概率为：

    令 Δt → 0 取极限，得微分方程组：

    其中，Pi(t) 是 Pi(t) 对 t 的一阶导数( i = 0,1 )。

    只要解此微分方程组就可以得出 P0(t)和 P1(t)。

    对于有 n 个状态的状态图，设状态 i 到 j 的转移率为αaij。考虑其中的任意一个状态 j，其他状态到 j 的转移和 j 到其他状态的转移，系统在 t + Δt 时刻，处于状态 j 的概率可以表示为：

   由此可得：

    用矩阵方程把 Pj(t)( j = 1, 2,   , n) 全部表示出来就是：

                      P (t) =T ⋅ P(t)

   或

    其中， T 称为状态转移矩阵，其对角线上的元素：

    这一矩阵方程称为查普曼—科尔莫戈罗夫（Chapman-Kolmoqorov）方程，由它可解出系统处于任意状态的概率。解方程最常用的是拉普拉斯变换解法。

    马尔柯夫模型是计算系统可靠性的强有力工具，用组合模型能计算的可靠性，用马尔柯夫模型也能计算，马尔柯夫模型还能计算许多组合模型不能计算的可靠性。