从几何意义上考虑，将曲边梯形分成 n n n 个小曲边梯形（底边等长）
用矩形近似小曲边梯形，则其面积近似：
f
(
x
i
−
1
)
Δ
x
i
=
f
(
x
i
−
1
)
(
b
−
a
)
n
=
y
i
−
1
(
b
−
a
)
n
f\left(x_{i-1}\right) \Delta x_{i}=f\left(x_{i-1}\right) \frac{(b-a)}{n}=y_{i-1} \frac{(b-a)}{n}
f(xi−1)Δxi=f(xi−1)n(b−a)=yi−1n(b−a)
导出近似公式：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
n
b
−
a
n
f
(
x
i
−
1
)
=
b
−
a
n
(
y
0
+
y
1
+
⋯
+
y
n
−
1
)
\int_{a}^{b} f(x) d x=\sum_{i=1}^{n} \frac{b-a}{n} f\left(x_{i-1}\right)=\frac{b-a}{n}\left(y_{0}+y_{1}+\cdots+y_{n-1}\right)
∫abf(x)dx=i=1∑nnb−af(xi−1)=nb−a(y0+y1+⋯+yn−1)
也可取右端边长为矩形高，得右矩形公式
误差为 1 / n 1/n 1/n 的同阶无穷小
从几何意义上考虑，将曲边梯形分成 n n n 个小曲边梯形（底边等长）
用梯形近似小曲边梯形，则其面积近似：
f
(
x
i
−
1
)
+
f
(
x
i
)
2
Δ
x
i
=
(
b
−
a
)
(
y
i
−
1
+
y
i
)
2
n
\frac{f\left(x_{i-1}\right)+f\left(x_{i}\right)}{2} \Delta x_{i}=\frac{(b-a)\left(y_{i-1}+y_{i}\right)}{2 n}
2f(xi−1)+f(xi)Δxi=2n(b−a)(yi−1+yi)
导出近似公式：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
b
−
a
2
n
[
(
y
0
+
y
n
)
+
2
(
y
1
+
⋯
+
y
n
−
1
)
]
\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{b-a}{2 n}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+2\left(y_{1}+\cdots+y_{n-1}\right)\right]
∫abf(x)dx=2nb−a[(y0+yn)+2(y1+⋯+yn−1)]
误差为 1 / n 2 1/n^2 1/n2 的同阶无穷小
从几何意义上考虑，将曲边梯形分成 n n n 个小曲边梯形（底边等长）
取 n = 2 m n=2 m n=2m, 相邻两个小曲边梯形上方曲线部分用拋物线近似，
则由 ( x 2 i − 2 , y 2 i − 2 ) , ( x 2 i − 1 , y 2 i − 1 ) , ( x 2 i , y 2 i ) \left(x_{2 i-2}, y_{2 i-2}\right),\left(x_{2 i-1}, y_{2 i-1}\right),\left(x_{2 i}, y_{2 i}\right) (x2i−2,y2i−2),(x2i−1,y2i−1),(x2i,y2i) 三点
可定出拋物线 y = α x 2 + β x + γ y=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma y=αx2+βx+γ
[
x
2
i
−
2
,
x
2
i
]
\left[x_{2 i-2}, x_{2 i}\right]
[x2i−2,x2i] 上小曲边梯面积形近似为：
∫
x
2
i
−
2
x
2
i
(
α
x
2
+
β
x
+
γ
)
d
x
=
b
−
a
6
m
(
y
2
i
−
2
+
4
y
2
i
−
1
+
y
2
i
)
\int_{x_{2 i-2}}^{x_{2 i}}\left(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma\right) d x=\frac{b-a}{6 m}\left(y_{2 i-2}+4 y_{2 i-1}+y_{2 i}\right)
∫x2i−2x2i(αx2+βx+γ)dx=6mb−a(y2i−2+4y2i−1+y2i)
导出近似公式：
b
−
a
6
m
(
y
0
+
y
2
m
+
2
(
y
2
+
⋯
+
y
2
m
−
2
)
+
4
(
y
1
+
⋯
+
y
2
m
−
1
)
\frac{b-a}{6 m}\left(y_{0}+y_{2 m}+2\left(y_{2}+\cdots+y_{2 m-2}\right)+4\left(y_{1}+\cdots+y_{2 m-1}\right)\right.
6mb−a(y0+y2m+2(y2+⋯+y2m−2)+4(y1+⋯+y2m−1)
误差为 1 / n 4 1 / n^{4} 1/n4 的同阶无穷小
若 f ( x ) , g ( x ) ∈ C [ a , b ] , f ( x ) ≥ g ( x ) f(x), g(x) \in C[a, b], f(x) \geq g(x) f(x),g(x)∈C[a,b],f(x)≥g(x)，
求由 y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a , x = b y=f(x), y=g(x), x=a, x=b y=f(x),y=g(x),x=a,x=b 所围图形面积。
考虑
[
x
,
x
+
d
x
]
[x,x+dx]
[x,x+dx] 上的面积：
Δ
A
≈
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)
]
d
x
⇒
A
=
∫
a
b
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)
]
d
x
\Delta A \approx[f(x)-g(x)] d x \Rightarrow A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] d x
ΔA≈[f(x)−g(x)]dx⇒A=∫ab[f(x)−g(x)]dx
如下图的图形，面积 = ？
⇒
A
=
∫
c
l
[
φ
(
y
)
−
ψ
(
y
)
]
d
y
\Rightarrow \ A=\int_{c}^{l}[\varphi(y)-\psi(y)] d y
⇒ A=∫cl[φ(y)−ψ(y)]dy
若曲边梯形的曲边方程为参数形式，
{ x = x ( t ) y = y ( t ) t ∈ [ α , β ] \left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right. {x=x(t)y=y(t)t∈[α,β] (其中 a = x ( α ) , b = x ( β ) a=x(\alpha), b=x(\beta) a=x(α),b=x(β))
则曲边梯形的面积：
A
=
∫
a
b
y
d
x
=
∫
α
β
y
(
t
)
x
′
(
t
)
d
t
A=\int_{a}^{b} y d x=\int_{\alpha}^{\beta} y(t) x^{\prime}(t) d t
A=∫abydx=∫αβy(t)x′(t)dt
由曲线 r = r ( θ ) r=r(\theta) r=r(θ)，射线 θ = α , θ = β \theta=\alpha, \theta=\beta θ=α,θ=β 所围成的图形面积 A = A= A= ?
考虑
[
θ
,
θ
+
d
θ
]
[\theta, \theta+d \theta]
[θ,θ+dθ] 上的面积：
Δ
A
≈
1
2
r
2
(
θ
)
d
θ
⇒
A
=
1
2
∫
α
β
r
2
(
θ
)
d
θ
\Delta A \approx \frac{1}{2} r^{2}(\theta) d \theta \Rightarrow A=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^{2}(\theta) d \theta
ΔA≈21r2(θ)dθ⇒A=21∫αβr2(θ)dθ
若几何体的底面与 x x x 轴垂直，而在 x x x 处平行底面的截面面积为 A ( x ) A(x) A(x)，
求其体积 V ( a ≤ x ≤ b ) V\ (a \leq x \leq b) V (a≤x≤b)
考虑
[
x
,
x
+
d
x
]
[x,x+dx]
[x,x+dx] 上的体积
Δ
V
≈
A
(
x
)
d
x
⇒
V
=
∫
a
b
A
(
x
)
d
x
\Delta V \approx A(x)dx\quad\Rightarrow\quad V=\int_{a}^{b}A(x)dx
ΔV≈A(x)dx⇒V=∫abA(x)dx
由曲线 y = f ( x ) ( y ≥ 0 ) y=f(x)\ (y\geq0) y=f(x) (y≥0)，直线 x = a , x = b x=a,x=b x=a,x=b 和 x x x 轴围成的曲边梯形绕 x x x 轴旋转
所得几何体（旋转体）的体积。
V
=
∫
a
b
π
y
2
d
x
=
∫
a
b
π
f
2
(
x
)
d
x
V=\int_{a}^{b} \pi y^{2} d x=\int_{a}^{b} \pi f^{2}(x) d x
V=∫abπy2dx=∫abπf2(x)dx
① 曲线
x
=
x
(
y
)
(
x
≥
0
)
x=x(y)\ (x\geq 0)
x=x(y) (x≥0) 绕
y
y
y 轴所得旋转体体积？
② 求旋转体的薄壳法
求曲线 y = y ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) y=y(x)\ (a \leq x \leq b) y=y(x) (a≤x≤b) 下方的曲边梯形绕 y y y 轴旋转所得几何体的体积
考虑对应
[
x
,
x
+
d
x
]
[x, x+d x]
[x,x+dx] 上的曲边梯形旋转出的体积
Δ
V
≈
2
π
y
x
d
x
⇒
V
=
∫
a
b
2
π
x
y
(
x
)
d
x
\Delta V \approx 2 \pi y x d x\quad\Rightarrow\quad V=\int_{a}^{b} 2 \pi x y(x) d x
ΔV≈2πyxdx⇒V=∫ab2πxy(x)dx
求曲线
y
=
y
(
x
)
y=y(x)
y=y(x) 上
a
≤
x
≤
b
a \leq x \leq b
a≤x≤b 一段的弧长
s
s
s，回顾弧微分
d
s
=
1
+
y
′
2
(
x
)
d
x
⇒
s
=
∫
a
b
1
+
y
′
2
(
x
)
d
x
d s=\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\ d x \quad \Rightarrow \quad s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\ d x
ds=1+y′2(x) dx⇒s=∫ab1+y′2(x) dx
若曲线弧段为
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
(
α
≤
t
≤
β
)
x=x(t),y=y(t)\ (\alpha\leq t \leq\beta)
x=x(t),y=y(t) (α≤t≤β)
d
s
=
x
′
2
(
t
)
+
y
′
2
(
t
)
d
t
⇒
s
=
∫
α
β
x
′
2
(
t
)
+
y
′
2
(
t
)
d
t
d s=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\ d t \quad \Rightarrow \quad s=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\ d t
ds=x′2(t)+y′2(t) dt⇒s=∫αβx′2(t)+y′2(t) dt
由曲线 y = y ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) y=y(x)\ (a \leq x \leq b) y=y(x) (a≤x≤b) 下方的曲边梯形绕 x x x 轴旋转得旋转体的侧面积 S S S = ?
考虑 [ x , x + d x ] [x, x+d x] [x,x+dx] 上曲线所对应的部分侧面积
① 能不能看成圆柱侧面 Δ S ≈ 2 π y d x ( 不成立 ) ← \Delta S \approx 2\pi ydx\ (不成立)\ \leftarrow ΔS≈2πydx (不成立) ← 并非线性主部
② Δ S ≈ 2 π y d s = 2 π y 1 + y ′ 2 d x ⇒ S = ∫ a b 2 π y 1 + y ′ 2 d x \Delta S \approx 2 \pi y d s=2 \pi y \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x \quad\Rightarrow\quad S=\int_{a}^{b} 2 \pi y \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x ΔS≈2πyds=2πy1+y′2dx⇒S=∫ab2πy1+y′2dx
01【做功问题】
内半径1米的半球形水池，将满池水抽尽，需做功多少？
02【压力问题】
底长为a 高为h (单位为m) 的三角形薄板铅直地放入水中，
底边恰在水表平面中，求薄板一个侧面上所受压力。
03【引力问题】
均匀细棒长 2 l 2 l 2l, 质量为 M M M (万有引力常数为 G G G )
① 单位质量的质点 A A A 在棒的延长线上距棒中心 O O O 点 a a a 处。
② 单位质量的质点 B B B 在棒的垂直平分线上距 O O O 点 a a a 处。
求细棒分别对 A , B A, B A,B 的引力。
?为防止河蟹，链接已经通过“与熊论道/熊曰加密”加密处理，将下面的文字复制到“与熊论道/熊曰加密”页面的第二个输入框，点击“领悟熊所言的真谛”即可查看链接啦：
?熊曰：呋食食嗚類非象嗚家吃呱山萌萌笨有哞魚既魚性蜜覺呆食哮性洞哮山噗眠嗥嚄萌洞擊嗄襲呱物人你
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?PS：繁星依月/惟欢/一舟均为博主的马甲，本篇作品完全原创，再次感谢！