【PTA】K-背包问题

题目来源

问题描述

给定$n(n<=100)$种物品和一个背包。物品$i$的重量是$w_i$，价值为$v_i$，背包的容量为$C(C<=1000)$。问:应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两个选择：装入或不装入。不能将物品$i$装入多次，也不能只装入部分物品$i$。

输入格式:
共有$n+1$行输入： 第一行为$n$值和$c$值，表示$n$件物品和背包容量$c$； 接下来的$n$行，每行有两个数据，分别表示第$i(1\le i\le n)$件物品的重量和价值。
输出格式:
输出装入背包中物品的最大总价值。
输入样例:
在这里给出一组输入。例如：
5 10
2 6
2 3
6 5
5 4
4 6
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：
15

思路分析

这是一个K-背包问题，这里先列举一个例子解释下什么是K-背包问题。假设有一个小偷在商店里偷东西，但他的背包大小有限，只能一部分商品带走。每个商品不一样贵，问小偷如何赚的最多。如图所示，假设商店里有4件商品，每件的重量分别是3,5,4,9，价格分别是4,8,5,10。小偷的背包容纳的重量不超过20，所以不能把所有商品拿走，必须选择拿或不拿。
我们用如下的关系来表示：

算法实现

java

import java.io.*;
import java.util.Scanner;

public class Main {
public static void main(String[] argc) throws IOException
	{
			Scanner sc = new Scanner(System.in);
			int N = sc.nextInt()+1; 
			int W = sc.nextInt()+1;
			//要预留1位0
			int[] w = new int[N];
			int[] v = new int[N];
			for (int i=1;i<N;i++) {
				w[i]=sc.nextInt();
				v[i]=sc.nextInt();
			}
			
			System.out.println(knapsack(N,W,w,v));
			sc.close();
	}

	public static int knapsack(int N, int W, int[] w, int[] v) {
		int k, C;
		int[][] B = new int[N][W];// B自动初始化为0
		// k表示商品总数,在这里用于模拟从0到N的情况
		// C表示当背包容纳的重量,在这里C从1累加到W,用于模拟不同的背包大小
		for (k = 1; k < N; k++) {
			for (C = 1; C < W; C++) {
				if (w[k] > C) {// 如果第k件太重，则不偷，B不变
					B[k][C] = B[k - 1][C];
				} else {
					int value1 = B[k - 1][C - w[k]] + v[k]; // 偷第k件的总收益
					int value2 = B[k - 1][C]; // 不偷第k件的总收益
					if (value1 > value2) {
						// 选择偷和不偷的最大值
						B[k][C] = value1;
					} else {
						B[k][C] = value2;
					}
				}
			}
		}
		return B[N-1][W-1];
	}
}