牛顿运动定律
一.牛顿第一定律 惯性参考系
定义：
任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力破迫使它改变运动状态为止
物体的这种运动状态通常称为惯性运动，而物体保持原有运动状态的特性称之为惯性
任何物体在任何状态下都具有惯性，惯性是物体的固定属性，牛顿第一定律又称为惯性定律
注意，一孤立质点并不是在任何参考系中都能保持加速度为0的静止或匀速直线运动状态
即惯性定律只能在某些特殊参考系中成立，通常把孤立质点相对于它静止或匀速直线运动的参考系称为惯性参考系，简称惯性系
二.牛顿第二定律 惯性质量 引力质量
定义：
物体受到外力作用时，它所得到的加速度a的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比；加速度a的方向与合外力F的方向相同
数学表达式为F=kma
式中比例系数k与单位制有关，在国际单位制中k=1
该定律指出，同一个外力作用在不同的物体上，质量大的物体获得的加速度小，质量小的物体获得的加速度大，这意味着质量大的物体要改变其运动状态比较困难，质量小的物体要改变其运动状态比较容易
因此，质量就是物体惯性大小的量度，牛顿第二定律中的质量也称为惯性质量
三.牛顿第三定律
定义：
当物体A以力F1作用在物体B上时，物体B也必定同时以力F2作用在物体A上，F1与F2大小相等，方向相反，且力的作用线在同一直线上
数学表达式为F1=F2
对于该定律，需要注意如下几点
1.作用力与反作用力总是成对出现，且作用力与反作用力之间的关系是一一对应的
2.作用力与反作用力分别作用在两个物体上，不是一对平衡力
3.作用力与反作用力一定是属于同一性质的力
四.牛顿定律的应用
第二定律描述的是力和加速度之间的瞬时关系，它指出只要物体所受合外力不为0，物体就要有相应的加速度，李改变时相应的加速度也随之改变，当物体所受合外力为恒量时，物体的加速度是常数
牛顿第二定律F=ma=md2r/dt2是矢量式，在具体运算时，一般要先选择合适的坐标系，然后将牛顿第二定律写成该坐标系的分量式
在直角坐标系中，它的分量式为：
在曲线运动中，它的分量式为：
分别代表切向分力和法向分力的大小
如果有几个力同时作用在一个物体上，则这些力的合力所产生的加速度等于这些分力单独作用在该物体上所产生的加速度之矢量和，该定理称为力的叠加原理
五.国际单位制和量纲
国际单位制的7个基本量为长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度
有了基本单位，用过物理量的定义或物理定律就可导出其他物理量的单位，从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位
只有量纲式相同的量才能相加，相减或用等式相连接，这一法则称为量纲法则
量纲的作用：
1.可定出同一物理量不同单位间的换算关系
2.量纲可检验文字描述的正误
3.从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位
非惯性力 惯性力
一.在变速直线运动参考系中的惯性力
若有一相对地面以加速度a'做直线运动的车厢，车厢地板上有一质量为m的物体，其所受合外力为F，相对于小车以加速度a运动，因为车厢有加速度a'是非惯性系，所以在车厢参考系中牛顿定律不成立，即
F!=ma
若以地面为参考系，则牛顿运动定律成立，应有
F=ma地=m(a+a')
令F惯=-ma'，则F+F惯=ma
该式表面，若要在非惯性系中仍然沿用牛顿定律的形式，则在受力分析时，除了应考虑物体间的相互作用力外，还必须加上惯性力的作用
惯性力的方向与牵连运动参考系相对于惯性系的加速度a'相反，其大小等于研究对象的质量m与a'的乘积
注意，惯性力不是物体间的相互作用，故惯性力无施力物体，无反作用力，惯性力仅是参考系非惯性运动的表现，其具体表现形式与非惯性运动的形式有关
二.在匀角速转动的非惯性系中的惯性力-惯性离心力
三.科里奥利力
动量 动量守恒定律 质心运动定理
一.质点的运动定理
引入p=mv，F=dp/dt，分离变量可得Fdt=dp=d(mv)
两边积分可得：
可见物理量p=mv是不能由m和v的分离值所能取代的独立物理量，上式表明了力对时间的积累效应使物体的mv发生了变化，牛顿称mv为运动之量，简称动量
动量是一个矢量，它的方向与物体的运动方向一致
动量是一个相对量，与参考系的选择有关
若将上式中力对时间的积分称为力的冲量，并且用I记之，即I=p-p0
表明作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量，该定理称为质点的动量定理
要使物体动量发生变化，作用于物体的力和相互作用持续的时间是两个同样重要的因素，因此当物体动量给定时，通过延长作用时间来减小冲力或者缩短作用时间来增大冲力
冲量时矢量，在恒力作用下，冲量的方向与恒力的方向相同；在变力作用下，△t时间内的冲量时各个瞬时冲量Fdt的矢量和，但无论是那种情况，△t时间内的冲量总是等于这段时间内质点动量的增量
将两物体在碰撞过程中瞬时相互作用的力称为冲力，由于在冲击和碰撞一类问题中，作用时间极短，冲力的值变化迅速，难以准确测量冲力的瞬时值，但是两物体在碰撞前后的动量和作用持续的时间都比较容易测定，可以根据动量定理求出冲力的平均值
动量定理在直角坐标系的坐标分量式为
二.质点系的动量定理
如果研究的对象是多个质点，则称为质点系
一个不能抽象为质点的物体也可以认为是由多个(无限个)质点所组成
如上图，当研究对象是质点系时，其受力就可以分为内力和外力
质点系内各质点之间的作用力称为内力，质点系以外物体对质点系内质点的作用力称为外力
由牛顿第三定律可知，质点系内质点间相互作用的内力必定是成对出现的，且每对作用内力都必定沿两质点连线的方向
设质点系是由有相互作用的n个质点所组成，现考察第i个质点的受力情况
首先考察i质点所受内力之矢量和，设质点系内第j个质点对i质点的作用力为fji，则i质点所受内力为每一个质点对i的矢量和
设i质点收到的外力为Fi外，则i质点受到的合力为
对i质点运用动量定理有
对i求和，并考虑到所有质点相互作用的时间dt都相同，此外，求和与积分顺序可以互换，于是得到
由于内力总是成对出现，且每对内力都等值反向，因此所有内力的矢量和为
因此，原式可以改为
该式子是质点系动量定理的数学表达式，即质点系总动量的增量等于作用于该系统上合外力的冲量
三.质点系的动量守恒定律
若质点系受到的外力的矢量和为0，则有
上式表明，一个孤立的力学系统(系统不受到外力作用)或合外力为0的系统，系统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变，该定理称为动量守恒定律
动量守恒式是矢量式，因此当质点系受到的外力的矢量和为0时，质点系在任何一个方向上都满足动量守恒的条件，如果质点系所受合外力的矢量和不为0，但合外力在某一方向上的分量为0，则质点系在该方向上的动量也满足守恒定律
由于动量是相对量，所以运用动量守恒定律时，必须将各质点的动量统一到同一惯性系中
四.质心和质心运动定理
1.质心
一个质点系内各个质点由于内力和外力的作用，它们的运动情况可以很复杂，但相对于次质点系有一个特殊的点，即质心，质心的运动可能相对简单，只有质点系所受的合外力决定
2.质心运动定理
不管质点系所受外力如何分布，质心的运动就像是把质点系的全部质量集中于质心，所有外力的矢量和也作用于质心时的一个质点的运动
3.质心的含义及其计算
一个质量分布均匀且有规则几何形状的物体，其质心就在其几何中心
质心和重心是两个不同的概念，例如，脱离地球的飞船已经不受重力的作用，就没有重心可言，但是其质心依然存在，且遵循质心运动定理
功 动能 势能 机械能守恒定律
一.功 功率
1.功
功的最基本的定义是恒力的功
如上图，一物体做直线运动，在恒力F作用下物体发生位移△r，F与△r的夹角为α，则恒力F所做的功定义为：
力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积
若用W表示功，则有
W=F|△r|cosα，按矢量标积的定义，上式可写成W=F△r
即恒力的功等于力与质点位移的乘积
功是标量，只有大小没有方向，功的正负有α角决定
当α>π/2，功为负值，某力做负功，或克服某力做功
当α<π/2，功为正值，某力做正功
当α=π/2，功为零，某力不做功
因为位移的值与参考系有关，所以功值是个相对量
如上图，如果物体受到变力作用或做曲线运动，上式公式不能直接套用，但如果将运动的轨迹曲线分割成许许多多足够小的元位移dr，使得每段原位移dr中，作用在质点上的力都能看成恒力，则力F在这段元位移上所做的元功为
dW=Fdr
力F在轨道ab上所做的总功就等于各小段上元功的代数和
式中，ds=|dr|，Ft是力F在元位移dr方向上的投影，上式是计算变力做功的一般方法，如果建立了直角坐标系，则
上式可以表示为
也可以使用图解法
如上图是以路程s为横坐标，Fcosα为纵坐标根据F随路程的变化关系所描绘的曲线称为示功图，曲线与边界所围成的面积就是变力F在整个路程上所做的总功
2.功率
单位时间内的功称为功率
设△t时间内完成功△W，这段时间的平均功率为
P=△W/△t
当△t趋近于0时，则某一时刻的瞬时功率为P=lim△W/△t=dW/dt=Fv
即瞬时功率等于力与速度的标积(点乘积)
3.保守力的功
a.重力的功
设质量为m的质点在重力作用下由点A沿任意路径移到点B，如上图所示，选取地面上一点为坐标原点，z轴垂直于地面，向上为正，重力只有z方向的分量，即Fz=-mg，应用上式得
上式表明，重力的功只由质点相对于地面的始、末位置z0、z来决定，而与所通过的路径无关
b.万有引力的功
考虑质点分别为m和M的两质点，质点m相对于M的初位置为rA，末位置为rB，如上图所示，质点m受到M的引力的矢量式为F=-GmMr0/r2(注意此时为矢量式，故有r0单位向量)
式中，r0表示m相对M的位矢的单位矢，则引力的元功为
因为矢量模的平方等于矢量自身点积，即|A|2=AA，所以
d(A2)=d(AA)=2AdA，而d(A2)=d(AA)=2AdA
所以AdA=AdA(即矢量式等于标量式)
同理有rdr=rdr
由于r0=r/r
代入上式，所以
因此质点由A点移到B点引力的功为
上式说明引力的功也只与始、末位置有关，而与具体的路径无关
c.弹簧弹性力的功
如上图，选取弹簧自然伸长处为x坐标的原点，则当弹簧形变量为x时，弹簧对质点的弹性力为F=-kx
式中，负号表示弹性力的方向总是指向弹簧的平衡位置，即坐标原点，k为弹簧的刚度系数，单位是N/m
因为作用力只有x分量，故可得
说明弹簧弹性力的功只有始、末位置有关而与具体路径无关，而与弹簧的中间形变过程无关
综上所述，重力、万有引力、弹簧弹性力的功的特点是，它们的功值都只与物体的始、末位置有关而与具体路径无关，或者说，当在这些力作用下的物体沿任意闭合路径绕行一周时，它们的功值均为0
在物理学中，除了这些力外，静电力、分子力等也具有这种特性，把具有这种特性的力统称为保守力
如果某力的功与路径有关，或该力沿任意闭合路径的功值不等于0，则称这种力为非保守力
二.动能定理
设有一质点沿任一曲线运动，在曲线上取任一元位移dr，则力F在这段元位移上的功为
与rdr=rdr类似，有vdv=vdv
所以有
若质点由初位置1处运动到末位置2处，其速率由v1增至v2，则有
如果把mv2/2看作一个独立的物理量，就可发现mv2/2是与力在空间上的积累效应相联系的，mv2/2称为质点的动能，动能是标量，是与参考系的选择有关的相对量，如果令Ek=mv2/2，则式又可写成W1-2=Ek2-Ek1
上式说明外力对质点所做的功等于质点动能的增量，式就是质点动能定理的数学表达式
三.势能和势能曲线
1.势能
之前保守力的功与质点运动的路径无关，仅取决于相互作用的两物体初态和终态的相对位置，如重力，万有引力，弹簧力的功，其值分别为：
保守力做功的结果总是等于一个由相对位置决定的函数增量的负值，而功总是与能量的改变量相联系的，因此，上述由相对位置决定的函数必定是某种能量的函数形式，将其称为势能函数，用Ep表示，即
上式定义的只是势能之差，而不是势能函数本身，为了定义势能函数，可以将上式的定积分改写为不定积分
式中，c是一个由系统零势能位置决定的积分常数
式表明只要已知一种保守力的力函数，即可求出与之相关的势能函数
相关结论：
1.势能是相对量，其值与零势能参考点的选择有关，零势能不同，式中常数c的位置就不同，对于给定的保守力的力函数，只要选取适当的零势能的位置，总可使c=0
2.势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应与一种保守力的函数就可引进一种相关的势能函数，即没有统一的表达式
3.势能是以保守力形式相互作用的物体系统所共有，即势能不是归某一物体所有
4.由于势能是属于相互以保守力作用的系统共有，因此物理意义可解释为：一对保守力的功等于相关势能增量的负值，因此，当保守力做正功时，系统势能减少，保守力做负功时，系统势能增加
2.势能曲线
势能曲线可以提供如下多种信息：
a.质点在轨道上任一位置时，质点系所具有的势能值
b.势能曲线上任一点的斜率(dEp/dl)的负值，表示质点在该处所受的保守力
设有一保守系统，其中一质点沿x方向作一维运动，因此有
由图可知，凡势能曲线有极值时，即曲线斜率为0处，其受力为0，这些位置即为平衡位置，进一步的理论指出，势能曲线有极大值的位置点时不稳定点平衡位置，有极小值的位置点是稳定平衡位置
若质点由三维运动，则有
四.质点系的动能定理与功能原理
设一质点系有n个质点，现考察第i个质点，i质点所受合力为
对i质点运用动能定理有
对所有质点求和可得
上式便是质点系的动能定理的表达式
在计算质点系的功时，要先求每个力的功，再对这些功求和，因为在质点系内各质点的位移是不同的，不能作为公因子提到求和符号之外
在质点系内，内力总是成对出现的，因此，可以把内力分为保守内力和非保守内力，内力的功也可以分为两部分，即内部保守力的功和内部非保守力的功，用W内保和W外保分别表示，用W外表示质点系外力的功，用Ek表示质点系的总动能，则有
即质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和，称为质点系的动能定理
考虑到一对保守力功等于相关势能增量的负值，即有
则上式可以改写为
用E表示系统的机械能，则有
上式为质点系的功能原理的数学表达式，即系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和
五.机械能守恒定律
若W外+W内非>0，系统的机械能增加
若W外+W内非<0，系统的机械能减少
若W外+W内非=0，系统的机械能保持不变
当W外=0时，W内非>0，系统的机械能增大；W内非<0，系统的机械能减小；W内非=0，系统的机械能守恒
当外力对系统所做的功和内部非保守力所做的功均为0时，系统的机械能保持不变，该定理称为机械能守恒定律
当系统机械能守恒时，有
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
或者Ep2-Ep1=-(Ek2-Ek1)，即△Ep=-△Ek
系统势能的增量等于动能减少的量
六.能量转换与守恒定律
当W外=0，W内非!=0时，系统虽与外界无机械能的交换，但系统的机械能仍然不守恒，即在孤立系统内，若系统的机械能发生了变化，必然伴随着等值的其他形式的能量的增加或者减少，说明能量既不会消失也不会产生，只能从一种形式的能量转换成另一种形式的能量，即
在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各种形式的能量之间无论怎样转换，但系统的总能量将保持不变，这就是能量转换与守恒定律
关于一对内力功之和的一般证明：
设质点系内第i和第j两个质点中，质点j对质点i的作用力为Fji，质点i对质点j的作用力为Fij，当i和j两质点运动时，这一对作用于反作用内力均要做功，这两力所做的元功之和应为：
由Fij=-Fji可以得到
结论：
1.由于dri和dji不一定相同，drij一般不为0，故一对内力的元功之和一般不为0，一对内力做功之和一般也不为0
2.因相对位矢rij及相对元位移drij与参考系无关，故一对内力做功之和也与参考系的选择无关
理想流体的伯努利方程
一.理想流体
二.不可压缩流体的连续性方程
1.定常流，流线和流管
2.不可压缩流体的连续性方程
三.流体动力学的处理方法-伯努利方程