第二章 算法

算法【Algorithm】：描述解决问题的方法；

算法的五个特性：输入、输出、有穷性、确定性、可行性

算法设计的要求：

1. 正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
2. 可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
3. 健壮性：一个好的算法还应该能对输入数据不合法的情况做合适的处理。
4. 时间效率高和存储量低：

重点来了重点来了-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

算法时间复杂度   T(n) = O(f(n))

它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同

耗费的时间从小到大排序：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n的n次方)

 常数阶

int sum = 0,n = 100;  执行一次
sum = (1+n) * n /2; 执行一次
printf("%d",sum);  执行一次

 f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1.在保留最高阶时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1).记住，不管这个常数是多少，我们都记做O(1)

线性阶

int i
for (i=0;i<n;i++)
{
 时间复杂度为o(1)的程序步骤序列
}

总共需要执行n次  时间复杂度为O（n）

对数阶

int count = 1
while(count < n)
{
 count = count * 2
}
由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分，也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会推出循环。由2x=n==》x=log2 n  所以时间复杂度为O(logn)

平方阶

int i,j
for(i=0;i<n;i++)
{
    for(j=0;j<n;j++)
        {
            时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 
        }
}
当i=0时，内循环执行了n次
当i=1时，执行了n-1次
。。。
当i=n-1时，执行了1次
n+(n-1)+(n-2)+...+1 = n(n+1)/2=n2/2+n/2
推导大O阶的方法
1、没有加法常数不予考虑
2、只保留最高阶n2/2
3、去除这个项相乘的次常数
最终这段代码的时间复杂度为O(n2)

补充高中的数学知识点：

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d 
前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2

 
等比数列通项公式 q=1 an=a1
q不为1时 an=a1*q^（n－1)

q=1时,Sn=na1
q不等于1时,
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)