四、混合三种背包问题

题记

如果将01背包、完全背包和多重背包混合起来，也就是说有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品取的次数有一个上限（多重背包）。这就是混合三种背包的背包问题。

算法

如果只有两类物品：一类物品只能取一次，另一类物品可以取无限次，那么只需在对每个物品应用转移方程时，根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可，复杂度是O(NV)。伪代码如下：

for i=1...N
  if 第i件物品是01背包
    for v=V...0
      f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]};
  else if 第i件物品是完全背包
    for v=0...V
      f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]};

再加上多重背包
如果再加上有的物品最多可以取有限次，那么原则上也可以给出==O(NV)==的解法：遇到多重背包类型的物品用单调队列解即可。

题目

1270：【例9.14】混合背包
【题目描述】
一个旅行者有一个最多能装V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn，它们的价值分别为C1,C2,…,Cn。有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
【输入】
第一行：二个整数，M(背包容量，M<=200)，N(物品数量，N<=30)；
第2…N+1行：每行三个整数Wi,Ci,Pi，前两个整数分别表示每个物品的重量，价值，第三个整数若为0，则说明此物品可以购买无数件，若为其他数字，则为此物品可购买的最多件数(Pi)。
【输出】
仅一行，一个数，表示最大总价值。
【输入样例】

10  3
2  1  0
3  3  1
4  5  4

【输出样例】

11

【提示】

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n;
int w[31],c[31],p[31];
int f[201];
int main() {
	cin>>m>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>w[i]>>c[i]>>p[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		if(p[i]==0){    //完全背包 
			for(int j=w[i];j<=m;j++)
				f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
		}
		else{
			for(int k=1;k<=p[i];k++)    //01背包和完全背包
				for(int j=m;j>=w[i];j--)
					f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
		}
	cout<<f[m];
	return 0;
}