遗产管理人应该履行的职责有：清理遗产并制作遗产清单；向继承人报告遗产情况；采取必要措施防止遗产毁损、灭失；处理被继承人的债权债务；按照遗嘱或者依照法律规定分割遗产；实施与管理遗产有关的其他必要行为。遗产的继承是个重要的事情，同时遗产的管理也是非常重要的。属于遗产管理人在管理权限内的行为，大致有以下几种：
1、为保存遗产所作出的处理遗产的行为。例如，遗产管理人为保护房产，将破旧房屋进行维修，与他人订立房屋修缮合同，以免房屋倒塌、损坏等而造成遗产灭失和损毁。又如为防止遗产被破坏和遗产价值的减少，对于那些因长期保存耗费资金太大的遗产标的物，也可以变卖，保存价款。
2、对死者紧急债务和税款的清偿和行为。例如：遗产管理人为料理死者葬事的需要，可以对死者遗产作出处分，作为丧葬费用。又如，对于死者生前因治疗疾病所花费的医疗费用，也可以从死者的遗产中支付。再如，对死者生前应当缴纳的税款，可以从遗产中支付。
3、对死者生前的营业，有继续进行必要的营业行为。如收取利息，取得营业的收益，支付参加该营业的职工的工资等，均在遗产管理的权限之内。
法律依据：
《中华人民共和国民法典》
第一百四十七条 遗产管理人应当履行下列职责：
（一）清理遗产并制作遗产清单；
（二）向继承人报告遗产情况；
（三）采取必要措施防止遗产毁损、灭失；
（四）处理被继承人的债权债务；
（五）按照遗嘱或者依照法律规定分割遗产；
（六）实施与管理遗产有关的其他必要行为。