立体几何专题

1.（北京文）（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.

（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.

2.（北京理）（16）（本小题14分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．

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3.（江苏）（15）（本小题满分14分）

在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB,AB1B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC．

4.（浙江）（19）（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C

均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；

（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

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5.（天津文）（17）（本小题满分13分）

如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

6.（天津理）(17)(本小题满分13分)

如图，AD∥BC且AD=2BC，ADCD,EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG平面ABCD，DA=DC=DG=2.

（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； （II）求二面角EBCF的正弦值；

（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

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7.（全国卷一文）（18）（12分）

如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，∠ACM90，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）Q为线段AD上一点，P在线段BC上，且BPDQDA，求三棱锥

QABP的体积．

23

8.（全国卷一理）（18）（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF. （1）证明：平面PEF平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

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9.（全国卷二文）（19）（12分）

如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点．

（1）证明：PO平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离．

10.（全国卷二理）（20）（12分）

PAPBPCAC4，O为AC如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，的中点．

（1）证明：PO平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

P

OBMAC

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11.（全国卷三文）（19）（12分）

如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于

C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

12.（全国卷三理）（19）（12分）

如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

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13．（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

1AD,BADABC90o, E是PD的中点. 2（1）证明：直线CE// 平面PAB ABBC（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o ，求二面角M-AB-D的余弦值

14．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90 (1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC,APD90,求二面角A-PB-C的余弦值.

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15.（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=6，AB=4． （I）求证：M为PB的中点； （II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

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17．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为的长.

7，求线段AH21

18.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形为旋转轴旋转（Ⅰ）设（Ⅱ）当

是

得到的，

是

的中点.

，求

的大小； 的大小.

（及其内部）以

边所在直线

上的一点，且，

，求二面角

19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点.

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（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

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