2021年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷

2021年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

2．二次函数y＝2（x－3）2＋1的图象的顶点坐标是（ ） A．（－2，1）

B．（2，1）

C．（－3，1）

D．（3，1）

3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（ ）

A．60°

B．50°

C．40°

D．30°

4．将一元二次方程x2－8x＋10＝0通过配方转化为（x＋a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ） A．（x－4）2＝6

B．（x－8）2＝6

C．（x－4）2＝－6

D．（x－8）2＝54

5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（ ）

A．4

B．8

C．

D．

6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（ ） A．2.5（1＋x）＝3.2 C．2.5（1＋x）2＝3.2

7．下列说法中，正确的是（ ）

A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1

C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得

8．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a－b＋c＞0；③m＋9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t＋4一定是方程ax2＋bx＋c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）

B．2.5（1＋2x）＝3.2 D．2.5（1－x）2＝3.2

A．①②

B．①③

C．③④

D．①④

二、填空题（共16分，每题2分）

9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，－7）关于原点的对称点坐标为 ． 10．关于x的一元二次方程x2＋mx＋4＝0有一个根为1，则m的值为 ．

11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为 mm．

12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式： ．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y

（x－4）2＋2可以看作是抛物线y

x2x2

＋2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＋2得到抛物线y

（x－4）2＋2的过程： ．

15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE＝ .（用含α的式子表示）

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2－AD2＝CD2.若AB＝2

，BC＝4，则BD长的最小值为 ．

三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．解方程：x2－2x－2＝0．

18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图，

①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E； ②分别连接AE，BD并延长相交于点F； ③连接FC并延长交AB于点H．

所以线段CH即为△ABC中AB边上的高． （1）根据小芸的作法，补全图形； （2）完成下面的证明．

证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，

∴∠ADB＝∠AEB＝ °．（ ）（填推理的依据） ∴AE⊥BE，BD⊥AD．

∴AE， 是△ABC的两条高线． ∵AE，BD所在直线交于点F， ∴直线FC也是△ABC的高所在直线． ∴CH是△ABC中AB边上的高．

19．已知二次函数y＝x2＋4x＋3．

（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）画出此函数的图象；

（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE． （1）求证：AF＝AE；

（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．

21．已知关于x的一元二次方程x2－（k＋5）x＋6＋2k＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程恰有一个根小于－1，求k的取值范围．

22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数－2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数－5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜． （1）若m＝－2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；

（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．

23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F． （1）求证：四边形CDEF是矩形； （2）若CD＝2

，DE＝2，求AC的长．

24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．

（1）图中点B表示篮筐，其坐标为 ，篮球行进的最高点C的坐标为 ； （2）求篮球出手时距地面的高度．

25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．

的中点，DE⊥BC交BC

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x－h）2－8a的顶点为A，0＜h（1）若a＝1，

①点A到x轴的距离为 ；

②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；

（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝－2x＋1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．

．

27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H． （1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明； ②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；

（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．

（1）如图，点A的坐标为（1，0）． ①若点P的坐标为（

，0），则点P是点A关于⊙O的 倍特征点；

）这三个点中，点 是点A关于⊙O的

②在C1（0，），C2（，0），C3（，倍特征点；

③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；

（2）若当k取某个值时，对于函数y＝－x＋1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．