一、选择题（共10小题）. 1．﹣5的绝对值是（ ） A．5
B．﹣5
C．
D．﹣
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（ ） A．7100
B．0.71×104
C．71×102
D．7.1×103
4．下列给出的等边三角形、平行四边形、正五边形、正六边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则△ABD的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
6．如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
7．某校准备为八年级学生开设A、B、C、D、E、F共6门选修课，随机抽取了部分学生对“我最喜欢的一门选修课”进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图表（不完整）．下列说法正确的是（ ） 选修课 人数
A 40
B
C 48
D
E 80
F
A．这次被调查的学生人数为480人 B．喜欢选修课C对应扇形的圆心角为60° C．喜欢选修课A的人数最少
D．这次被调查的学生喜欢选修课F的人数为80人
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD＝35°，∠ACB＝45°，则∠BAD等于（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
9．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A．C．
B．D．
10．若直线y＝kx+k+2与x轴的交点位于x轴正半轴上，则它与直线y＝2x﹣1交点的横坐
标a的取值范围为（ ） A．a＜
B．0＜a＜
C．＜a＜
D．a＞
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置． 11．计算：20210＝ ．
12．分解因式：a2﹣9＝ ．
13．在菱形ABCD中，若对角线AC＝8，BD＝5，则菱形ABCD的面积为 ． 14．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色三角形区域的概率是 ．
15．如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB＝
，则CD的长为 ．
16．已知直线y＝ax与双曲线y＝相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1x2+2x1的最大值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置解答． 17．解方程：
＝
．
18．先化简，再求值：[（x+2y）2﹣x（x﹣2y）]÷2y，其中x＝3，y＝﹣1．
19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，AE＝BF．求证：CE＝DF．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝5，AC＝12，求BD长．
21．为落实省体育中考的要求，增强学生的身体素质．某校计划今年购买一批篮球和实心球共100个，已知去年篮球的单价为80元，实心球的单价为36元．由于物价上涨，预计今年篮球的价格比去年上涨20%，实心球的价格不变，若购买蓝球的总费用不低于购买实心球的总费用，为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入多少元？
22．为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3． 甲 乙
78 75
79 80
81 80
82 83
x 85
88 90
93 92
95 95
（1）求x的值；
（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
23．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且的延长线于点E，连接AD． （1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AC＝2，求CD的长．
＝
，过点D作DE⊥AC，交AC
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点P、Q分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿PQ
折叠，使点B落在AD边上的点E处，点C落在点F处，EF交CD于点G，连接BE交PQ于点H．
（1）求证：∠APE＝∠GQF； （2）求证：PQ＝BH； （3）若sin∠GQF＝，PQ＝3
，求FG的长．
25．已知面积为1的等腰直角三角形的三个顶点均在抛物线y＝ax2+bx（a、b为常数，且a＞0）上，其中直角顶点与抛物线顶点重合． （1）求a的值；
（2）若直线y＝t（t≤4）与抛物线y＝ax2+bx（a＞0）有公共点． ①求t的取值范围；
②求关于t的函数y＝at2+bt（﹣2＜b＜2）的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．﹣5的绝对值是（ ） A．5
B．﹣5
C．
D．﹣
解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5． 故选：A．
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
解：从左面看，底层是两个小正方形，中层和上层的右边分别是一个小正方形． 故选：B．
3．我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（ ） A．7100
B．0.71×104
C．71×102
D．7.1×103
解：将7100用科学记数法表示为：7.1×103． 故选：D．
4．下列给出的等边三角形、平行四边形、正五边形、正六边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C． D．
解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、正六边形中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D．
5．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则△ABD的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11， 故选：B．
6．如图，数轴上表示实数
的点可能是（ ）
A．点M 解：∵∴3＜
＜＜4．
＜
B．点N ．
C．点P
D．点Q
数轴上在这个范围内的只有点P． 故选：C．
7．某校准备为八年级学生开设A、B、C、D、E、F共6门选修课，随机抽取了部分学生对“我最喜欢的一门选修课”进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图表（不完整）．下列说法正确的是（ ） 选修课
A
B
C
D
E
F
人数 40 48 80
A．这次被调查的学生人数为480人 B．喜欢选修课C对应扇形的圆心角为60° C．喜欢选修课A的人数最少
D．这次被调查的学生喜欢选修课F的人数为80人 解：由统计图可得，
这次被调查的学生有：80÷20%＝400（人），故选项A错误； 喜欢选修课C对应扇形的圆心角为：360°×喜欢选修课A的人数最少，故选项C正确；
这次被调查的学生喜欢选修课F的人数为：400﹣40﹣48﹣80﹣400×（15%+25%）＝72（人），故选项D错误； 故选：C．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD＝35°，∠ACB＝45°，则∠BAD等于（ ）
＝43.2°，故选项B错误；
A．100° B．90° C．80° D．70°
解：∵∠ACB＝45°， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°， ∵∠ABD＝35°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣35°﹣45°＝100°， 故选：A．
9．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，
可列方程组为（ ） A．C．
B．D．
．
解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：故选：A．
10．若直线y＝kx+k+2与x轴的交点位于x轴正半轴上，则它与直线y＝2x﹣1交点的横坐标a的取值范围为（ ） A．a＜
B．0＜a＜
C．＜a＜
D．a＞
解：∵直线y＝kx+k+2与x轴的交点位于x轴正半轴上， ∴k≠0．
令y＝kx+k+2＝0，解得：x＝即﹣1﹣
＞0，得
．
＞0，
①当k＞0时，解得k＜﹣2，与题设矛盾； ②当k＜0时，解得k＞﹣2，所以﹣2＜k＜0． 当直线y＝kx+k+2与直线y＝2x﹣1相交时， kx+k+2＝2x﹣1，解得：x＝即a＝又a＝
， ＝
＝
， ，
∵﹣2＜k＜0， ∴0＜﹣k＜2， ∴2＜2﹣k＜4， ∴＜∴＜∴故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置．
， ，
．
11．计算：20210＝ 1 ． 解：20210＝1． 故答案为：1．
12．分解因式：a2﹣9＝ （a+3）（a﹣3） ． 解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）． 故答案为：（a+3）（a﹣3）．
13．在菱形ABCD中，若对角线AC＝8，BD＝5，则菱形ABCD的面积为 20 ． 解：菱形ABCD的面积＝故答案为：20．
14．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色三角形区域的概率是
． ＝
＝20，
解：由图可知，黑色区域为等腰直角三角形，腰长为∴黑色三角区的面积为：×飞镖游戏版的面积为：25， ∴击中黑色三角形区域的概率是：故答案为：．
＝．
＝5，
，
15．如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB＝
，则CD的长为
．
解：由旋转得：AD＝AB＝∵在Rt△ABC中，
，
∠C＝30°，∠CAB＝90°， ∴∠B＝60°， ∵AD＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝60°， ∵∠DAB+∠ADB+∠B＝180°， ∴∠DAB＝∠ADB＝∠B＝60°， ∴AD＝AB＝DB＝在Rt△CAB中，
∠C＝30°，∠CAB＝90°， ∴AB＝BC， ∴BC＝2AB＝2
，
﹣
＝
．
，
∴CD＝BC﹣BD＝2故CD的长为
．
16．已知直线y＝ax与双曲线y＝相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1x2+2x1的最大值是 1 ．
解：∵y＝ax与y＝相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且这两个函数图象都是关于原点对称的中心对称图形， ∴点P与点Q关于原点对称， ∴x2＝﹣x1，
∴x1x2+2x1＝x1•（﹣x1）+2x1＝﹣x12+2x1， 设m＝﹣x12+2x1， 则m是x1的二次函数，
∵﹣1＜0，开口向下，二次函数有最大值， ∴m有最大值， m最大＝
＝1，
即x1x2+2x1的最大值为1， 故答案为：1．
三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置解答．
17．解方程：＝．
解：方程两边都乘以（x+1）（2x﹣1）将分式方程化为整式方程，得 4x﹣2＝3x+3．…（1分） 移项，得4x﹣3x＝3+2， 合并同类项得，x＝5．…
检验：当x＝5时，（x+1）（2x﹣1）＝（5﹣1）（2×5﹣1）＝36≠0， ∴x＝5是原方程的根．… 故原分式方程的根是x＝5．
18．先化简，再求值：[（x+2y）2﹣x（x﹣2y）]÷2y，其中x＝3，y＝﹣1． 解：原式＝（x2+4xy+4y2﹣x2+2xy）÷2y ＝（6xy+4y2）÷2y ＝3x+2y，
当x＝3，y＝﹣1时，原式＝3×3+2×（﹣1）＝7．
19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，AE＝BF．求证：CE＝DF．
【解答】证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝90°， ∵AE＝BF，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF， 即BE＝CF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（HL）， ∴CE＝DF．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝5，AC＝12，求BD长．
解：（1）根据作图过程可知CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BDC＝∠ACB， 又∵∠CBD＝∠ABC， ∴△CDB～△ACB；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴AB＝
＝
＝13，
由（1）可知△CDB～△ACB， ∴即
＝＝
， ， ．
∴BD＝
21．为落实省体育中考的要求，增强学生的身体素质．某校计划今年购买一批篮球和实心球共100个，已知去年篮球的单价为80元，实心球的单价为36元．由于物价上涨，预计今年篮球的价格比去年上涨20%，实心球的价格不变，若购买蓝球的总费用不低于购买实心球的总费用，为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入多少元？ 解：设完成计划需购买x个篮球，需要投入的费用为w元， 依题意得：w＝80（1+20%）x+36（100﹣x）＝60x+3600． ∵购买蓝球的总费用不低于购买实心球的总费用， ∴80（1+20%）x≥36（100﹣x），
解得：x≥27又∵x是整数，
．
∴x的最小值为28． ∵k＝60＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w的最小值为60×28+3600＝5280． 答：为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入5280元．
22．为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3． 甲 乙
78 75
79 80
81 80
82 83
x 85
88 90
93 92
95 95
（1）求x的值；
（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 解：（1）依题意可知 甲的中位数为∴
＝80+3，
，乙的众数为80，
解得x＝84；
（2）解法一：派甲参赛比较合适． 理由如下：
＝×（70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5）＝85，
＝×[（78﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+（82﹣85）2+（84﹣85）2+（88﹣85）
2
+（93﹣85）2+（95﹣85）2]＝35.5，
＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）
2
+（92﹣85）2+（95﹣85）2]＝41，
因为＝，＜，
所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． 解法二：派乙参赛比较合适． 理由如下：
从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率P1＝， 乙获得8以上（含85分）的概率P2＝＝， 因为P1＜P2，
所以派乙参赛比较合适．
注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计或概率的角度分析，给出其它合理回答，同样给分．
23．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且的延长线于点E，连接AD． （1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AC＝2，求CD的长．
＝
，过点D作DE⊥AC，交AC
【解答】解法一：（1）如图，连接OD． ∵
＝
，
∴∠CAD＝∠DAB， ∵OA＝OD， ∴∠DAB＝∠ODA． ∴∠CAD＝∠ODA， ∴AE∥OD． ∵DE⊥AE， ∴DE⊥OD， ∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，交OD于点F， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵⊙O的半径为3， ∴AB＝6． ∵AC＝2， ∴BC＝
＝4
，
∵AE∥OD，OA＝OB， ∴BF＝CF＝2
，OF＝AC＝1，∠BFO＝∠ACB＝90°，
∴FD＝OD﹣OF＝3﹣1＝2， 在Rt△CFD中，CD＝
解法二：（1）如图，连接OD． ∵
＝
，
＝
＝2
．
∴∠DAB＝∠CAD．∠DOB＝2∠DAB， ∵∠EAB＝∠DAB+∠CAD＝2∠DAB， ∴∠DOB＝∠EAB， ∴AE∥OD， ∵DE⊥AE， ∴DE⊥OD． ∵OD为⊙O的半径， ∴ED是⊙O的切线， （2）解：同解法一．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点P、Q分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿PQ
折叠，使点B落在AD边上的点E处，点C落在点F处，EF交CD于点G，连接BE交PQ于点H．
（1）求证：∠APE＝∠GQF； （2）求证：PQ＝BH； （3）若sin∠GQF＝，PQ＝3
，求FG的长．
解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90o． ∴∠AEP+∠APE＝90°，
由折叠的性质，得∠PEF＝∠ABC＝90°， ∴∠AEP+∠DEG＝90°， ∴∠DEG＝∠APE，
∵∠F＝∠C＝∠D＝90o，∠DGE＝∠FGQ， ∴∠DEG＝∠GQF， ∴∠APE＝∠GQF；
（2）作QM⊥AB于M，HN⊥AB于N，如图：
∵QM⊥AB于M，
∴QM＝BC，∠PQM+∠QPM＝90°，AE∥HN∥BC，
∵矩形ABCD沿PQ折叠，使点B落在AD边上的点E处，点C落在点F处， ∴PQ⊥BE，EH＝BH＝BE，
∴AN＝BN＝AB， ∵AB＝2BC， ∴BC＝AB， ∴QM＝BC＝BN，
∵∠PQM+∠QPB＝90°，∠HBP+∠QPB＝90°， ∴∠PQM＝∠HBP， ∵∠QMP＝∠BNH＝90°， ∴△PQM≌△HBN（ASA）， ∴PQ＝BH； （3）
∵∠APE＝∠GQF，
∴sin∠APE＝sin∠GQF＝， 设EA＝3k，EP＝5k，则AP＝4k， ∴BP＝EP＝5k，AB＝AP+BP＝9k， ∵PQ＝3
，
，
∴BE＝2BH＝2PQ＝6
在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2， ∴（3k）2+（9k）2＝（6
）2，
∴k＝2或k＝﹣2（舍去），
∴EA＝6，EP＝10，AP＝8，AB＝18， ∴AD＝9，
∴DE＝AD﹣EA＝3，
∵∠A＝∠D，∠DEG＝∠APE，
∴△EAP∽△GDE， ∴
＝
，即＝，
＝
． ，
∴GE＝
∴FG＝EF﹣GE＝9﹣
25．已知面积为1的等腰直角三角形的三个顶点均在抛物线y＝ax2+bx（a、b为常数，且a＞0）上，其中直角顶点与抛物线顶点重合． （1）求a的值；
（2）若直线y＝t（t≤4）与抛物线y＝ax2+bx（a＞0）有公共点． ①求t的取值范围；
②求关于t的函数y＝at2+bt（﹣2＜b＜2）的最大值． 解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx＝a（x+）2﹣
，
顶点坐标为，（﹣
，﹣
），
所以根据抛物线的对称性，面积为1的等腰直角三角形一个顶点（﹣+1，﹣
在抛物线上， ∴﹣
+1＝a（﹣
+1+
）2﹣
，
解得a＝1．
（2）①∵y＝x2+bx与直线y＝t（t≤4）有公共点， ∴把y＝t代入y＝x2+bx中， 得x2+bx﹣t＝0
由题意，得△≥0，即b2+4t≥0， 解得t≥﹣
，
∴t的取值范围是﹣
≤t≤4，
②因为y＝t2+bt开口向上，且对称轴为直线直线t＝﹣， 所以抛物线上离对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∵﹣2＜b＜2，
∴对称轴的范围：﹣1≤﹣≤1，
+1）
由①知﹣≤t≤4，
∵﹣2＜b＜2， ∴﹣1≤﹣
≤0，
∴直线x＝4离对称轴t＝﹣最远，
∵开口向上时，抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越大， 所以当t＝4时，y的最大值为16+4b，
综上，函数y＝at2+bt（﹣2＜b＜2）的最大值为16+4b．
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