数学中的抽象美
在绘画与教学中，美有客观标准。画家讲究结构、线条、造型、肌理，而教学家则讲究真实、正确、新奇、普遍、……
—哈尔莫斯
数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。
—R．D．Carmicheal
自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱。
—C．N．杨
“数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学”(恩格斯)。
数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，这样两种事物如有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然也必须抽象。
我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙之中，而数学正是书写宇宙的文字(伽利略语)。
物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理，都是用数学语言表达的。万
有引力的思想，历史上早就有之，但只有当牛顿用精确的数学公式表达时，才成为科学中最重要、最著名的万有引力定律。爱因斯坦的广义相对论的产生与表达，也得益于黎曼几何所提供的数学框架和手段。
在数学的创造性工作中，抽象分析是一种常用的重要方法，这是基于数学本身的特点——抽象性的。数学中不少新的概念、新的学科、新的分支的产生，是通过“抽象分析”得到的。
当数学家的思想变得更抽象时，他会发现越来越难于用物理世界检验他的直觉。为了证实直觉，就必须更详细地进行证明，更细心地下定义，以及为达到更高水平的精确性而进行的持续努力，这样做也使数学本身得以发展了。
数学的简洁性在很大的程度上是源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必不可少的。
如前所述，微积分的创始人牛顿和莱布尼兹分别从力学(研究物体的速度、加速度)和几何学(讨论曲线的切线)不同角度引入建立同一概念、创立同一学科——微分学；而他们又分别从“反运算”和“微分求和”不同角度建立另一门学科——积分学。这也使微分、积分(微积分)成为一个不可分离的整体学科。
同一个拉普拉斯(Laplace)方程
它既可用来表示稳定的热传导过程平衡态、溶质动态平衡、弹性薄膜的平衡，也可表示静态电磁场的位势、真空中的引力势、不可压流体的定常运动等等。
这个方程由于抽象性而成为普适(当然，方程自身的形式也是很美的，除了符号美外，它还具形式美：对称、整齐)，这显然也是数学本身的一大特点。
抽象是数学的美感中的一个重要部分，还因为数学的抽象可以把人们置于脱开周围事物纷扰的“纯洁”的气氛中，尽管这种气氛有时距离具体经验太遥远。
波兰数学大师H．史坦因豪斯在其名著《数学一瞥》中，有这样一句挑战性的话：
七十八位数2257-
1=231584178474632390847141970017375815706539969331281128078915168015826259279871是合数，可以证明它有因子，尽管这些因子还不知道。
大师是运用了“抽屉原理”得出这个“非构造性”的结论(证明某些东西存在，尽管还没找到它)，数学家正是依据数学抽象的特点，巧运新思才得出这个“未卜先知”的断言(这些因子在八十年代人们利用了电子计算机的帮助而找到了)。这也是数学用抽象推理去判断以别于其他学科的标志之一。
“抽象”系指不能具体体验到的，这儿我们所谈的抽象有两种含义：
(1)我们不容易想象(或意想不到)的；
(2)我们无法体验到(或与现实较脱节)的。
对于前者，这也是用数学去“证明”某些难以理解的事实的最好工具；对于后者，说明数学本身具有的特征与魅力。我们先来谈谈前者。
下图中有一个大的半圆，在其直径上又并列着三个小半圆，请问大的半圆周长与三个小半圆周长之和谁大？
乍看上去，似难判断，具体一推算便十分清楚了：
设大圆直径为d，三个小半圆直径分别为d1、d2、d3。
因d1+d2+d3=d，有π(d1+d2+d3)=πd，
即πd1+πd2+πd3=πd，
此即说大半圆周长为三个小半圆周长之和。
再如有一条很长很长的绳子，恰好可绕地球赤道一周。如果把绳子再接长15米后，绕着赤道一周悬在空中(如果能做到的话)，你能想象得出吗：在赤道的任何地方，一个身高2米39以下的人，都可从绳子下自由穿过！
它的道理只须稍加计算便可明晓。
设地球半径为R，则绳子原长为2πR。当绳子长为2πR+15时，绳子所围圆周的半径是：
(2π+15)÷2π=R+15／(2π)=R+2.39(m)。
那么绳子可围成一个与地球相距(即绳子围成的圆圈半径与地球半径之差)2.39米的大圆圈。
这个事实单凭经验去想象，无论如何是想不通的：地球半径那么大，而绳子仅仅接长15米，绳子居然处处离地球2米以上。然而严谨的数学计算告诉我们：这是千真万确的(可谁又能亲手去试验一下？)。
话还得讲回来，正因为数的抽象，人们难以体会，因而有时也须将它形象化之后，才能为人们接受。
比如提到原子，人们都会觉得它小，从数据上讲它的直径约为10－10m，这看上去很抽象，它到底有多小？如果作个比方：“一个原子与一滴水之比”，就如“一滴水与整个地球之比”一样，你就会觉得形象了。
有些数字看来也许并不起眼，然而它表示的数据之大几乎让人感到吃惊……
一位联合国卸任的官员曾说过：1980年在纽约和日内瓦举行联合国会议期间，仅九月至十二月，共印刷二亿三千五百万页文件，而全年共印刷大约十八亿页文件。如果把这些文件首尾粘起来，将长达二十七万公里。
照此速度印发文件，两年内文件总长可铺至月球。
多米诺骨牌是西方人喜欢玩、且列为竞技项目的游戏。它是将一些骨牌立着排好，推倒第一张，其余的便会依次倒下。据计算，一张多米诺骨牌倒下时能推倒下一张尺寸为其1.5倍(指长、宽、高三度)的骨牌。
这样，如果按照l∶1.5的尺寸作一套13张的骨牌，若最小者为9.53×4.76×1.19(mm3)，则第13张尺寸为61×30.5×7.6(cm3)，推倒第一张骨牌仅须0.024微焦耳的能量，而第13张骨牌倒下时却放出51焦耳的能量，即它被放大20多亿倍。
若按此比例，第32张多米诺骨牌将高达415米，它已是纽约帝国大厦高度的两倍，此时它倒下时，释放的能量已达1.24×1015焦耳!
苍蝇是四害之一，然而它的繁殖速度却是惊人的。
苍蝇大约在每年四月中旬开始产卵，卵20天可成蝇，这样到每年九月一只苍蝇大约可繁殖七代。如果一只苍蝇每次可产卵120个(若雌雄各半共60对)，一年中一只苍蝇可繁殖：
2×(60+602+603+…+606)=355923200000000
只，这些苍蝇可排成大约25亿公里长，它等于地球到太阳距离的十八倍。
相传古印度人西塔发明了(国际)象棋而使当政的国王十分开心，便决定重赏西塔。 “我不要您的重赏，陛下。”西塔接着说：“我只要您能在我的棋盘上赏些麦子：在第一格放一粒，第二格放2粒，第三格放4粒，以后每格放的麦粒都比它前面一格多一倍，我只求能放满64格就行。”
“区区小数。几粒麦子，这有何难，来人……”国王命令道。
然而一动手放起来，国王便傻眼了：这些麦粒总数为1+2+23+…+263=264-1，它们的体积有12×1012立方米，若把它们堆成高4米，宽10米的“麦墙”，将有3×108公里
长，这大约是全球两千年所产小麦的总和。
印度北部的圣城贝拿勒斯的一座神庙里，佛像前面放着一块黄铜板，板上插着三根宝石针，其中的一根自上而下放着从小到大的64片圆形金片(它在当地称为“梵塔”)。按教规每天由值班僧侣把金片移到另一根宝石针上，每次只能移动一片，且小片必须放在大片上——当所有金片都移到另一根宝石针上时，所谓的“世界末日”便到了。
经计算发现，按照上面规定当把全部金片移到另一根宝石针上时，需移动264-1次。倘若每秒移动一次，即使日夜不停地移动金片，仍大约要585亿年(每年按3155800秒计)。
按现代科学推测：太阳系寿命约200亿年——移完金片，地球乃至太阳系或许不复存在了！
围棋在我国已有四千余年的历史，宋代科学家沈括在其所著《梦溪笔谈》中谈到，唐代高僧一行曾计算过围棋中不同布局的总局数：
棋盘有横、竖直线各19条，它们的交点有361个(放子处)，每点处由于可放白子、也可放黑子、还可空着不放子，这样每点处均有三种不同布局，因而围棋的所有可能布局方式为：
3361≈10172(种)。
这些总布局既使让每秒可做10亿次运算的大型高速计算机去运作(姑且认为它每秒钟可完成10亿个布局)，三台计算机每年可完成1017种布局，那么它们完成全部布局约须10155年，这个数比前面提到的太阳系寿命要大的多得多! 古语围棋中“千古无同局”是颇
有道理的。
上面的这些例子，正是说明数的抽象，那些“貌不惊人”的数，竟会大得使人难以想象。如此看来单凭直觉、单靠想象无论如何也难体会到这些数的“惊人”之处。
“两人生日问题”也是一个令人难以捉摸、难以凭空想象的例子。
四个苹果放到三个抽屉里，至少有一个抽屉里放着两个以上的苹果，这在数学上叫“抽屉原理”。这个简单的事实在数学上却有着意想不到的用途。
367个人中间，肯定会有两个人的生日相同，因为一年至多有366天(闰年才如此)。
人的头发据估计约为15万根左右，那么在一个十五万人口的城市里，肯定至少有两人的头发根数一样，这当然也是须用抽屉原理去解释。然而话又讲回来，真的让你找出头发一样多的两个人来，这绝非轻而易举的事。
前文我们曾提到过的一个并不显然的事实，也是用抽屉原理去解释的：
全世界任找六个人当中，至少有三个人或者彼此都相识，或者彼此都不认识。
中国有十二种属相：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，这由某人生于何年(农历)而定。
运用抽屉原理可以断定：13个人中至少有两人属相一样，说来也许令人困惑：任意四个人中，有两人属相一样的可能约有一半，而一个6口之家，几乎可以“断定”他家会有两人属相一样，这种问题是数学的另一个分支概率论研究的对象了。
至于生日问题结论也更使人不解：23个人中有两人生日相同的可能约为一半，50个人中有两人生日相同的可能居然有97％。
下表中的数据是由“概率论”的公式精确计算出的：
有人曾查阅资料发现：美国前36任总统中有两人生日一样，3人死在同一天(当然年份不同)。这种“巧合”从概率角度去分析，似乎不值得大惊小怪了。
下面的事实听起来也许更“玄”了：你把信寄给你的朋友，让他再寄给他的熟人，然后再让这位熟人寄给他的朋友，……如此下去，在无预先约定的情况下，直到此信寄到你认识的人为止，这期间的联系人个数你一定会以为很大很大，其实不然，这个数约为5。
这些事也许使人想不通，但事实却正是如此，它们借助数学方法都可以严格去证明。
数学中的重要常数e、π本身是既具体又抽象的，如果说它们与数学的某些分支有联系，你只凭借“想象”是难以应付的。
利用“概率论”中的乘法原理，我们可以证明：
将n个球随机地投入n个可装任意多个球的盒子中，指定一盒为空盒的概率pn，当n趋于无穷大时其极限为1/e。
又如：我们取一张大纸，再找一根针量出它的长短之后，在纸上画出一系列相距为两倍针长的平行线。你随意把针投向纸上，针落到纸上后要么与这些平行线之一相交，要么与这些平行线都不相交。
你记下投针的次数m，以及针与平行线相交的次数n，当投针次数m越来越多时，m与n的比值越来越接近于π，换句话说，若记P为投针时针与直线相交的概率，则
这是由法国的蒲丰(Buffon)在其论文“或然性算术尝试”中提出的，历史上不少人亲自做过试验，其部分结果如下表：
下面的结论也是使你感到抽象和“意外”：
随机地选取两个正整数，它们互质(素)的概率是6/π2。
这一点大约在1904年R．Chartres已由实验加以验证。然而严格的数学推演却只是近几十年的事(这一点可参考有关的“数论”的专著)。
如果说上面的事实还不够“味道”的话，那么下面的事实更会令你咋舌！
1995年4月号的英国《自然》杂志上，发表了英伯明翰城阿斯顿大学计算机科学和应用数学系的罗伯特·修斯介绍了他如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率的。
他说：“我的目标是从我们熟悉的事物中来推断数学上的一些趣事。”他利用的事实正是我们上面介绍的那个结论：
马修斯从100个最亮的星中任选出一对对的来，然后计算它们位置之间的角距。
他检查了100万对因子，从中算得π的值约为3.12772，这与π值3.14159的误差没超过0.005。
接下来的事实虽然不难用概率的方法证明，但它的结果(特别是又一次与π值有关)使人也感到抽象与不解：
任给两个正数x、y，使它们满足0＜x＜1，0＜y＜1，则三个数(x，y，1)正好组成钝角三角形三边的概率是(π-2)/4。
上面的诸多事实虽然都是抽象的，但它们却可经过数学的严格计算或证明给出，纵然你想象起来很困难，甚至无法去体验。
下面我们来谈谈另一种抽象(当然在前面所谈的事实中也在某种程度上包含了这种抽象)。
以数的拓广来讲(数是人类社会中一种最独特、最神奇的语言)，里面就包含着概括、总结、抽象。
如果自然数的产生是人们“数物”计数的结果，分数的产生是人们在“平均分配”中遇到的课题，这些人们都好理解，但是无理数的产生(源自毕达哥拉斯学派的希伯斯)却经历了巨大的波折，甚至付出了代价。“虚数”从名称上就足以看出当初未被人们承认的事实——然而它终究还是被“抽象”出来了，被人们承认了，被人们使用了。
我们将在“对称性”一节提到“群”概念的产生，除此之外抽象代数还有另外两个分支：一是Galois开创的“域论”(1910年由德国数学家Steinitz系统阐述)，一是E．Noether创立的“环论”，一般的“结合环”则可视为实数、复数、四元数的自然推广。
四元数是1843年英国数学家R．Hamilton发现的，他自己曾写到：
1843年10月16日，当我和L．Hamilton(哈密顿的夫人)步行去都柏林途中来到布鲁翰桥的时候，它们就来到了人世间……此时我感到思想的电路通了，从中落下的火花就是i，j，k之间的基本方程．我当场抽出了笔记本，就将这些作了记录……
四元数是一个形如下面的数：
a+Bi+cj+dk，
这里i2=j2=k2=-1，此外它们还满足：
i·j=k，j·k=i，k·i＝j。
应该指出的是：i·j≠j·i，而是i·j=-j·i，其他两式亦是如此。
四元数虽然抽象，但它与我们的时空世界是非常协调的(一个物理点需要四个实数才能描述：其中的三个数描述空间位置，第四个数表示事件发生的时间)，爱因斯坦的“相对论”也已证明：空间和时间是相互关连的，它们彼此不能分离而存在，这种统一的四维世界可用“四元数”时很好地表示出来。
我们日常生活中通用的数制是十进制，此外还有别的进制，像二进制、三进制、……。谈起“二进制”，人们马上会把它同现代电子计算机科学联系起来，因为二进制是电子计算机的运算基础。其独特的运算方法竟源于我们中华民族的沃土之上……
这要追溯到公元前一千多年。相传商纣王暴虐无道，曾为排除异端，将周朝领袖姬昌(即文王)无辜拘禁。姬昌忍辱负重，壮心不已，潜心推演出著名的经书《周易》。这部书在编排标题时。巧妙地使用符号“—”(称为阳爻)和“--”(称为阴爻，两爻合称为两仪)进行组合。即每次取出两个符号排列，组成“四象”；每次取出三个排列，组成“八卦”(即“两仪生四象，四象生八卦”)；而每次取出六45个排列(有26=64种排法)，就组成了全书六十四个“卦爻辞”的标题。
这种编排中包含着“二进制”的原理和“排列组合”等数学知识的应用。但是许多年来，《周易》深奥的内容困惑了无数仁人志士，其中数学原理的内涵，也落入江湖术士们布下的迷雾之中。这正是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。
时至公元十七世纪，一位名叫鲍威特的德国传教士，从中国将《周易》和两幅术士们
绘制的“易图”带给了德国大数学家莱布尼兹，引起了莱氏极大的兴趣。他虽然对中文不甚通晓，但是那种神秘的“八卦”和由此推演出的“易图”已使他浮想联翩：多么巧妙啊！仅用两种符号就排列出如此严谨的体系，这里似乎蕴含着一个“美妙的境界”？
在苦思冥想中，莱布尼兹蓦然省悟：若把《周易》中的“—”记作1，“--”记作0，再按照“逢二进一”的法则，就会用所谓“二进制数”表示出《周易》中的全部标题！例如，用上述的符号可对应写出(从左向右)00，01，10，11，
即从0到3的“二
进制数”；这样在《周易》中的标题(它用六个阴、阳爻组成)可对应写成从0到63的“二进制数”。
在《周易》的诱发下，莱氏开始了完善“二进制体系”的工作。1703年他发表了“谈二进制算术”一文，列举了二进制的加减乘除运算的例子，从此确立了二进制学说。
伴随着时光的流逝，二进制学说已逐渐地由数学家的“古玩”，变成现代科学技术的重要工具，特别是电子计算机出现、发展、且广泛应用的今天。
二进制诞生了，其他进制也相继产生，人们在日常生活中或许还不习惯运用这些进制(在另一时候，你也在自觉、不自觉地使用它：一星期的天数是七进制、一年的月份数是十二进制、……)，但它到底也被人们从数学角度“抽象”出来了！
下面我们来看看另外一种数——超限数。
有人问智者：“自然数1，2，3，…的个数是多少？实数的个数是多少？”智者答道：“你数一数天上的星星吧！”是啊，在一望无际的宇宙中，谁曾探索过无限远处的奥秘？那是神话一样的世界，也是一片无人把守、无人涉足的地方。
但是，数学是思维活动的广褒领域，在那里无限与有限之间只有一步之遥。
早在1874年，年仅29岁的德国青年康托就大胆地闯入了这个领域。当然，康托也无力数出自然数或实数的个数。但是，就像天文学家不知道星星的个数，却能够研究其特征，并把它们划分为恒星、行星和卫星一样，康托也发现了这些无穷集合的许多美妙的物性。例如，他曾通过一一对应(映射)关系证明偶数和自然数一样多：
还证明大、小两个不等的圆周、长短不一的两条线段上的“点”一样多(见下图)：
甚至证明了：有理数(的个数)和自然数(的个数)一样多、任一线段上的点与全体实轴上的点一样多……此外，他还证明：
假设自然数一共有C0个，实数一共有C1个，则C1=2C0。这个结论告诉我们，实数的个数比自然数多，即C0＜C1。当然，也有像自然数和实数这样的别的无穷集合存在。若把每一个无穷集合的元素个数按大小排成一列C0、C1、C2……称为超限数。1878年，康托猜想：在这个“递增数列”中，自然数的个数C0和实数的个数C1之间没有别的超限数，正如数字1和2或n和n+1之间不存在别的整数一样。这个猜想就是著名的“连续统假设”。
最初，血气方刚的康托把这个问题看得太简单了。他几次在文章中许愿不久将给出证
明，却一次次食言。1882年他甚至宣布已经作出了证明，结果还是不见下文。而他自己却因不断地辛劳加之世人的诽谤，患了精神忧郁症，在数学蓬勃发展的二十世纪初，惨烈地死在精神病院中。
1900年，数学家希尔伯特把“连续统假设”列为他提出的23个数学难题中的第一个，号召人们为之奋斗。1925年希氏本人在《论无限》一文中宣布找到了解决“康托猜想”的方法。但人们很快发现希尔伯特使用了一个错误的命题，因而证明无效。
两位大师的失败令人深思。
1938年，哥德尔试图否定这个猜想，却意外地证出：在集合论的ZFC公理(类似于几何学中的欧几里得公理)中不能推出猜想的否定式。
1963年科恩又惊人地证出：在ZFC公理中也不能推出猜想的肯定式。
结论是：在这个现行的公理体系中，连续统假设是不可判定的，正如人们仅用圆规和直尺不能三等分任意角一样。
人们知道，要想三等分任意角，需要引用新的工具。现在看来，要想解决“康托猜想”只有构造新的数学体系了。至今它仍是一大数学难题。
上面我们介绍了数与数系的抽象问题，下面我们想谈谈数学表现手法上的抽象——推理的抽象。
我们在“微积分”中学过一些很“怪”的函数，它们既使是用数学语言叙述也不很方便，但人们却可以找到它的函数表达式。 48
比如Dirichlet函数：
它的函数表达式可用下面极限形式给出：
(顺便讲一句，这个函数也是一个“处处不连续的函数”。)
再如“数论”中的质数表达式，尽管人们花费了很长时间，但最后还是找到了可以表示(产生)全部是质数的式子。我们先来回顾一下这段历史(质数作为一种特殊的数本身就很抽象，看上去其分布似乎没有什么规律可循，而它的表达式则更令人难以捉摸)。
二次三项式f(x)=x2+x+41，对x=0，1，2，…，39这40个数的值都是质数(其实，这个多项式对当x=-1，-2，…，-40时，也产生同样的质数)。
这个现象是数学家欧拉在1772年发现的。
相继80个整数(从-40～39)都使多项式的值是质数，对于二次三项式来讲，也是一个很长的纪录。
如果我们考虑形如x2+x+m(m＞41)的多项式，而使x=0，1，2，…，m-2都产生质数，那么这个m有多大？
1933年拉赫曼(D．H．Lehmer)证明，这个m若存在，须大于25×107+1。次年有人指出，这种m若存在，至多只能有一个。六十年代末，有人已宣布：这种m不存在。
下面的事实人们已经证得：任何一元(代数)多项式，不可能代入每个非负整数所得的值都是质数。
但人们证明了：对于任何自然数n，均存在整系数n次多项式F(x)，使当x=0，1，2，…，n时均为质数。
问题退一步：有没有次数大于1的一元多项式，对于x取自然数值时可给出全部质数(不一定只给出质数)？这个问题至今未获解决。但是有人却给出了能产生的全部是质数的其他形式的函数表示式。
有人曾指出，若f(n)表示n的最大质因子，则
这只能说它仅仅是一个公式而已，因为它无助于实算。
又如米尔斯(W．H．MillS)曾证明：存在充分大的k(但不知道它是几)，使［k2n］对每个自然数n都给出质数，这里［x］表示不超过x的最大整数。
七十年代初有人证明二元二次函数f(x，y)=x2+y2+1对无穷多整数(x，y)都产生质数，但不是产生全部质数，也不是对每对(x，y)都产生质数。
尔后Honsberger给出了可以产生全部质数的函数表示式：
其中A=x(y+1)-(y！+1)，当(X，y)都是自然数时，f(x，y)的值都是质数，且产生全部质数。
证明它要用到《数论》中的著名定理——Willson定理：
的符号.
1796年，年仅19岁的高斯用圆规和直尺作出了正十七边形，并证得：以费马素数(即形如22n+1的素数)为边的正多边形都可用尺规作出。这段脍炙人口的故事久为后人传颂。然而，在这个定理的证明中高斯使用了一种独特的论证方法，即“非构造性”的理论。
这类方法的大意是，对于某事物，即使无法直接找到它，只要利用间接推理确定它的存在，就是有效的证明。高斯的证明正是这样。
你看，人们至今才找到5个费马素数，即3、5、17、257和65537，还不知是否有更大的费马素数，并且高斯也没有给出边数更多的正多边形的作法，却巧妙地证明了费马素数为边数的正多边形的可作图性。这正显示了非构造性理论的威力。
正如数学家韦尔所说：“这种方法的奥妙在于，它仅对人类宣布有某一个珍宝存在，但
没泄露它在什么地方。”
非构造性的思维方法非常有用，许多著名定理的证明都是非构造性的。例如，欧几里得没有给出确定第n个素数的方法，却证出“素数是无穷多的”；本节开头提到的本世纪初H．史坦因豪斯(严格地讲应是数学家李默)无力找出2257-1的真因子，却肯定地证明了它是一个合数。还有费马大定理，选择公理等都是非构造性的。美国当代数学家里查兹说：“这种方法体现了数学家的创造力，也是他们与墨守成规的实践者的区别所在。”
但是，十九世纪以来，一些直观主义者却怀疑非构造性理论在无限意义上的可靠性，因为许多非构造性的证明都是无法彻底验证的。他们认为，间接推理的重要依据排中律(即肯定每一句有意义的话不是真的就是假的)在无穷集合上是不成立的。对此著名数学家希尔伯特反驳说：“禁止数学家用排中律，就像禁止天文学家用望远镜或拳师用拳一样。”
直观主义者还想在有限范围内找出非构造性证明的错误。例如，1832年一位德国人黎西罗不畏辛劳地作出了正257边形；继而赫姆斯用十年时间作出了65537边形，仅手稿就有一大箱子，至今还保存在德国哥廷根大学中。对此类事，里查兹风趣地说：“事实上，如果数目很大，那个‘彻底搜查’是愚不可及的”。数学家的“一览无遗”不是逐一枚举，而是巧运新思，这正是基于“数学高度抽象”的事实。
抽象方法有时所能解决的问题，是让人难以想象的，下面例子中使用的方法，也许正是数学家的“巧运新思”的结晶，从美学角度去看，它当然应视为美的。
这是一则虽然不太流行，然而考虑起来却颇费点心计的数学游戏：
右图是从国际象棋盘上裁下来的一块，它有十四个小方格。请问：能否把它剪成七个
1×2的小矩形(另一提法是能否用七个1×2的矩形纸片去盖住残棋盘)？
乍一看你也许以为：这还不简单！可是你动手一剪便发现：这是根本办不到的。
可道理在哪里？
试想：你若能剪下七个小矩形，它们每个都应该是由一个白格和一个黑格组成。可你数一数图中的黑白格便会发现：白格6个，而黑格却有8个，它们数目不相等，所以裁成七个1×2的矩形根本不可能。
问题还可以推广一下：在一个2n×2n的国际象棋盘上，剪去两个对角的方格，那么它一定不能剪出个2n2-1个1×2的小矩形来。
看完上面的分析你也许会想：问题的毛病出在残棋盘上黑白格数目不等上(剪去的两个小格是同色)。问题若转换一下：
在一个2n×2n格的国际象棋盘上，任意挖出一个白格和一个黑格，能否剪成2n2-1个1×2的小矩形？
回答是肯定的。它的证明不久前由美国国际商业机器公司(IBM)的一位数学家高莫瑞(Gotnory)得到。他证明的大意是：
如右上图，在2n×2n的棋盘上挖去黑白各一格，然后在棋盘上放两把多齿叉，这样棋盘便产生了“迷宫”效果，即我们可能从其中某个方格开始，沿“迷宫”路径走完所有的方格后，再回到起点。注意，按图中循环次序，这些小方格的颜色交替变换，显然位于任何一个黑方格和一个白方格之间的方格数恰为偶数。
这样在挖去的这两个格子之间，总可以剪出整数个1×2的矩形来。唯一可能出毛病的是拐弯处，但只要调整一下剪裁方向(横或竖)就可以了，最终总可剪出2n2-1个小矩形来。
利用我们前面提到的“抽屉原理”(又称“狄利赫莱原理”)，还可以证明被称为“数论中的四颗名珠”之一的范·德·瓦尔登定理，手法也是极为高明、新巧的。
1926年，26岁的荷兰青年范·德·瓦尔登(今天他已是世界上知名的数学家了)提出并证明了一个结论，曾引起当时人们的轰动，直到近年仍有人在研究它。
4．如果你把自然数集1、2、3、……任意分成两部分，那么至少有一部分里面包含着项数为任意多的等差数列。
这个看起来似乎简单的结论所涉及的内容，竟是极为广泛、极为深远的。
它的证明，正是运用我们已经介绍过的所谓“抽屉原理”进行的，虽然后来苏联数学家辛钦(其思想是属于M．A．鲁科姆斯卡娅的)又给出另外一种证明，这只不过是“抽屉原理”的精彩变幻而已。再后来魏斯等人又给出另外一个巧妙的证明，大意是：
先把自然数排成一列1，2，3，4，……对某种划分来说，我们把上述数中属于第Ⅰ部分者用0表示；属于第Ⅱ部分者用1表示。这样对1、2、3、4、……的属性就得到如下的0—1数列，比如：
001010111…… (它表示1、2属于Ⅰ、3属于Ⅱ、4属于Ⅰ、……)我们只要把上述数列重复一个固定的次数，比如3次可有：
001010111……
001010111……
001010111……
然后把这三个序列有规则的向左错动，比如：
001010111……
001010111……
001010111……
也可向右错动，还可以错动两位、三位、……等，我们只须在这种阶梯状的序列中，找一找同一列(纵行)中有无三个数码一样者，若有三个0，则说明在第Ⅰ部分中有项数为3的等差数列；若有三个1，则这样的数列在第Ⅱ部分。
魏氏等人证明：用此位移方式，必然能找到在某列上有相同数码的排列。
当然人们还希望知道这种数列属于分划中的哪一部分，匈牙利的一位数学家曾以一千美元的私人悬赏征求解答，1973年塞曼列弟找到了这个判别方法。
顺便再讲一句：1974年格拉汉姆(Graham)和罗斯雪尔德(Rothschild)利用《图论》的方法，给出该定理的一个更为简洁的证明。
“数学”在很大程度上正是凭借“抽象”这个方法去发展的，这一点在前面的叙述中我们已经看到：
欧拉从“哥尼斯堡七桥问题”的研究，导致两门新学科“拓扑学”和“图论”的诞生；
伯奴利从研究“最速降线”开始，逐渐形成了“变分法”学科； “哥德巴赫猜想”的提出与研究，使得“分析数论”应运而生；
从赌博输赢入手的推算，导致“概率论”和“对策论”学科的出现；……
此外，数学通过抽象，还可以预见某些人们难以预见的事实。
波动方程中的“孤立子”问题的提出正是如此。
1934年8月的一天，英国数学家罗素骑马郊游，在一条运河边观赏景色。近处是一条被两匹马拉着沿狭窄的运河迅速地前行的船，突然船停下来，而被船带走的水积聚在船头周围，水激烈的挠动着，然后突然形成一个外形平滑、轮廓分明、体积巨大的孤立波峰(长约30英尺、高约1～1.5英尺)，且急速地离开船头向前驶去。他被这一奇景惊呆了，于是他策马追踪，那波峰以每小时八、九英里速度，保持着原形向前行进着，过一、两英里后波峰高度才逐渐减小，慢慢消失……
回到家里，数学家考虑良久不得其解。如何从理论上说明这一美妙、奇异的现象，它将留给“将来的数学家”。
这是罗素在一次科学讨论会上报告的，想不到它却是发现和研究“孤立子”的开始……
60年后，当有人研究了浅水波动方程的解时，找到了问题的答案：在这类问题解中有一种形状不变的脉冲状解——即孤立波。由于它具有粒子的特征：碰撞前后波形、速度不变，故又称它为“孤立子”。
电子计算机的问世，使得这类问题的研究有了新的进展。人们知道在数学中解非线性方程是很棘手的，至今尚无一般方法，但人们却可以寻找一些方程的特殊解——孤立子解。
孤立子虽是应用数学中的一个新概念，但它却以其具有的独特的性质，在物理和其他学科中得以应用。小至基本粒子、大至木星上著名的红斑；从超导研究中的约瑟夫结，到生物学中神经细胞轴突上传导的脉冲；从低道虑波网络到晶格点阵；……到处都有孤立子的身影。
美国贝尔实验室的两位科学家，将孤立子运用于信息传输，速度由108(信息单位／秒)提高到1012(信息单位／秒)。
1982年是罗素逝世100周年，世界上140位科学家云集他的故乡，举行纪念大会，并在他发现孤立子的运河小桥边，为他建立了一块纪念碑，以表彰他发现孤立波的功勋。
偶尔观察发现，抽象出“孤立子”概念说明数学的用为，从研究游戏问题引导出某些方法和分支，则体现了数学的概括与抽象能力。
哈密顿(1806—1865)是爱尔兰数学家，1859年他曾在市场上公布一个著名的游戏问题：
一位旅行家打算作一次周游世界的旅行，他选择了20个城市作为游览对象，这20个城市均匀地分布在地球上。又每个城市都有三条航线与其毗邻城市连接，问怎样安排一条合适的旅游路线，使得他可以不重复地游览每个城市后，再回到他的出发点？
这个问题直接解答是困难的，但我们可以通过下面的办法把问题转化一下：若把这20
个城市想象为正十二面体的20个顶点(左上图)，把它的棱视为路线，问题就可以放到这个多面体上去考虑，又假如这个十二面体是用橡皮做的，那么我们可以沿它的某个面把它拉开，伸延，展为一个平面图形(右上图)，我们很容易从中找出所求路线(图中粗线所示的路线，当然不止这一条，读者还可以找出其他的所要求的路线)。
这个问题经过抽象、概括可总结为下面的数学问题(哈密顿问题)：
空间中的几个点中任意两点间都用有向线段(不管方向正反)去联结，那么一定有一条有向折线，它从某点出发，按箭头方向依次经过所有顶点。
这类问题在实际中甚有价值，类似的问题在运筹学中称为“货郎担问题”(又称为推销员问题)，前面提到的方法(把正多面体视为橡皮做的而把它拉平、伸展的办法)，在数学上称为“拓扑变换”。
人们也许难以想象出：一条封闭曲线，它本身的长无限，然而它所围的区域面积却有限。
雪花，千姿百态，但它多是六角形，古人曾有“雪飞六出”的词语形容它。雪是水的一种形式，由于水在结晶过程(气象学称为雪晶)总保持结晶形态，雪花就常呈六角形。
有趣的是，人们利用了现有的几何知识，设计制造了房屋、桥梁、火车、轮船、火箭、飞船，然而对一片小小的雪花的描绘却无能为力。
计算机的出现，帮了人们的大忙。几年前，美国电子计算机专家曼德布罗特用计算机创造了一门新的几何学——自然几何学(又称分数维几何学)，它不仅可以描绘雪花，也可
描绘炊烟、白云，描绘山间的瀑布湍流，描绘人体的血管分布，描绘银河系的结构……
比如雪花，由于它的结晶过程是一种十分复杂的分子现象，描绘的过程不应是有限的——在本世纪初，德国数学家科赫(H．V．Koch)已创造了雪花曲线的描述方法：
以一个基础等边三角形边长的三分之一为边的小等边三角形迭加到基础三角形上，成为一个六角星，再把此六角星缩为三分之一迭加到六角星的每个小三角形处，……如此迭加下去便得到一个雪花图案。
顺便一提的是：这条曲线也是Koch于1906年造出的连续但不可微，周长为无穷大但却围住一块有限面积的曲线。
若设原来正三角形边长为3a，容易计算图形(2)、(3)、……
穷大。而它们围成的区域面积分别为：
……………
它是一个有限的值。
分数维几何学已在宇宙学、生物学、语言学、经济学、气象学等许多领域展现了广阔的前景，它也必将会在这些学科中大显神威。
与分数维几何类似的还有一些有趣的话题，这些仅凭“直观”是难以想象的，但借助于数学却可以给出令人折服的解释(计算)：
如下图等腰△ABC中，已知AC=BC=10cm，AB=5cm，又D、E、F分别为该三角形边BC、CA、AB的中点，依次连接EF、FD，易知AE=EF=FD=BD=5cm，即锯齿状的折线AEFDB的长与原来等腰三角形两腰之和相等，且均为20cm。
上述步骤继续下去(即连结△AEF、△FDB的各边中点)可得锯齿状折线AGKHFILJB，容易算出它的长也是20cm。
这一过程不断继续下去，锯齿折线越来越密，但越来越矮，看上去它几乎越来越贴近原来等腰△ABC的底边AB。由此乍看上去似乎可得到“20＝5”的谬论，显然这是错误的(这里面当然涉及曲线长的定义与度量)。
注意：若原来等腰三角形的两腰长不是10cm，而是任意大于2.5cm的acm(注意到三角形一边小于其他两边和)，仿照上面办法我们可以得长为2acm的锯齿形折线，且随着
锯齿的加密，它越来越接近于原来三角形的底边，这便会造成一种“5=2a”的错觉，要知道这里的a是变量，这即是说上面的等式意味着：“5等于大于5的任何数”，显然荒唐。错误的根由在于判断的结论仅“凭直觉”上。
抽象既是无法直觉的，但有时又是活泼而生动的。它不仅可以产生，同时也可解释现实世界中许多无法想象的事实——而这些事实中有的仅凭直觉将导致谬误。单从这一点上(归谬上)也已展现数学抽象美的真切，因为荒谬的东西往往不美(甚至是丑的)。 “不动点理论”也是从诸多事实中抽象出来却又似乎令人难以理解的理论，但利用它却可以解释许多令人费解的事实。
一个圆铁环，当你把它翻转后(注意不得转动)仍放回原来的位置，那么铁环上至少有一点与原来位置重合。
一个球，当它绕球心作任一转动后，球面上也有一点与原来位置重合。
这两件事实并不难证明，这些点恰好分别是圆周和球面上在上述变换下的“不动点”。
不动点是数学上一个重要而有趣的概念。
若f(x)表示一点x在某种变换(映射)下的象点，称满足f(x)=x的点为在这种变换下的“不动点”。
比如f(x)=x2-x+1表示一种映射，那么满足x2-x+1=x的点x=1即为映射f(x)=x2-x+1下的不动点。
数学上常把一些方程求解问题化为映射的不动点来考虑，并用逐次逼近法来求不动点，
这是代数方程、微分方程以及计算数学中一个十分重要的方法。人们熟知的微分方程解的存在唯一性定理，正是用不动点方法(在那儿称为压缩映象原理)解决的。
关于不动点，本世纪30年代Brouwer曾证明：
n维单形到它自己的连续变换(映射)至少有一个不动点。
不动点理论在力学上早有应用，十八世纪，达朗贝尔曾证明了：
刚体绕定点的任一运动，均可由它绕通过固定点的某轴线所作一个转动而得到。
关于它在数学上的应用，我们来看一个有趣的例子——斯丕诺(Sperner)定理。
把△ABC任意分割成许多小三角形，然后把△ABC三个顶点分别涂上红、黄、蓝三种颜色；尔后再把这些小三角形的顶点也涂上这三色之一，不过有个约定：若小三角形的顶点落在△ABC的某条边上，那么这个顶点只能着该边两个端点之一的颜色；若小三角形的顶点落在△ABC内，则它可任着三色之一。
无论如何分割三角形(也无论如何着色，最后总可以找到一个小三角形，说得确切些，是有奇数个小三角形)，使它的三个顶点恰好分别着红、黄、蓝三色。
从不动点的观念来看，这个小三角形也是在“分割”、“着色”变换下的“不动点”。
在证明了上述Sperner定理之后，便可以导出Brouwer不动点定理。
赫希(M．Hirsch)利用反证法证明了下面的定理：
球体到自身的连续映射f∶B→B必有不动点，即在B中一定有一点x使得f(x)=x。
他的证明大意是：假如没有不动点，即f(x)与x总不重合，那么从f(x)可以画唯一的射线经过x，到达球体的边界S上的一点g(x)，这样就得到从球体B到其边界S的一个连续映射
g： B→S．
但这是不可能的，因为人们已经证明了一个与几何直观相当吻合的事实：球体B只要不撕裂，就不可以收缩为它的边界S．
但连续映射是不允许撕裂的，故与上矛盾．
从而B中必有一点x使f(x)=x．
取两张同样大小的方格纸(最好一张是透明的)，且以同样的方式给方格标号，再把透明的那张纸随意揉搓(但不得揉破)团成一个纸团，然后把它扔到另一张方格纸上(注意要使纸团全部在另一张方格纸上)，无论你怎样扔，揉皱的纸上总有某一标号的方格与未揉的那张纸上同样标号的方格，至少有一部分会重迭——这个方格便是方格纸在揉搓变换下的“不动点”．
也许你不曾注意观察，比如一杯水当你用勺把它均匀搅动时，水在旋转，然而你也会
看到，水面上总有一点“不动”——旋涡中心．
下面的例子也不难想象：一根橡皮绳子上打着许多结，当你把它均匀拉伸后对称地放在原来位置的下面，再把绳上相应的结用线连起来．这些线的方向不断地在改变，其中必有一条与橡皮绳垂直，那么连接这条线的结点便是橡皮绳在拉伸变换下的“不动点”．
两个长短不一，但都刻着同样测量数值范围(但它们单位不等)的两把尺子，其中的小尺子放在大尺子任何部位(但小尺子不得移到大尺子之外)两个尺子上总有某一刻度数值是相同的，它也是一个“不动点”．
一块橡皮圆盘，从四面八方均匀地拉伸，圆盘上也至少有一点“不动”．
“不动点理论”(说得确切些，即一个曲面在某种扭曲变形下，曲面上至少有一点保持“不动”)不仅在数学上有用，在物理以至其他领域也都有应用．这个看上去也许是简单的结论，用到物理学上却会得出令人难以置信的深刻的结果．就连人头皮上的发旋也能用“不动点”理论来解释．从数学上讲，球面上不能有一个由切线组成的、无“不动点”的连续场．因而贴头皮梳理好头发必定在头皮上形成一个旋涡，即“不动点”．对地球来说，这也意味着任何阵风不能吹遍地球的每个角落，即地面上任何时刻总有一些地方风平浪静．
数的抽象性得以使它描写自然越来越细微，有些看上去与数学似乎无关的现象，却得到了用数学语言的生动表述．“突变(又称灾变)理论”就是如此．
在自然界，在人的社会活动中，到处存在着“突变”的过程．地震、火山爆发、龙卷风、寒流、洪水以至房屋倒塌、病人死亡等等，都是由渐变到突变，由量变到质变的过程．
传统的数学(包括微积分)研究的对象主要是连续的、渐变的(光滑变化)现象．本世纪的科学进展要求人们着手研究描述“突变”(也称灾变)的量的跃迁过程，这就出现了研究不连续现象的数学分支．
一根木棍把它弯曲，到了某一种度便“突然”折断；一块向上弯曲的钢板可承受一定的压力，但当压力增大到一定程度时，钢板会“突然”下凹．这些过程中都包含着“突变”．
1972年，一位曾经获得过菲尔兹奖的法国数学家勒内·托姆创立了突变理论(确切地说：他从1968年起已开始陆续发表文章，论述“突变”理论．1972年他出版了《构造稳定性和形态发生学》一书)，这是一个十分引人注目的数学模型．它是用数学工具描述系统状态的跃迁，给出系统处于稳定或不稳定状态的参数区域，且指出系统发生“突变”时的参数的某些特定值．
托姆证明了：只要系统的参数不超过5个，突变过程共有11种类型；参数不超过4个，突变过程仅有7种类型，如尖顶型、燕尾型、蝴蝶型、……他还给出了这些类型的数学方程．
“突变”理论提出仅有十几年，但在光学、弹性力学、热力学、生物学(特别是生态学)等许多领域的应用上，都取得一些成就．
例如：人们用“椭圆脐点型”突变模式，成功地描述了一个负载参量、两个缺陷参量的力学系统的结构行为；心理学家用“尖角型”模式描述了一条受愤怒和恐惧两个因素控
制下的狗，从夹着尾巴逃跑到疯狂反扑的心理突变；医学上用“蝴蝶型”的突变模式解释了一种古怪的厌食症的各种奇妙症状……
数学的抽象美还在于它可以无矛盾地按照严格数学推理，得到一些我们无论如何也无法想象的，或者是在现实空间认为是不可能的事实(这犹如某些抽象派画师的现代作品，这些作品中蕴含着艺术的抽象美)．
我们知道：几何体面积(或体积)相等和它们的组成相等是两个不同概念．
1924年 Banacn和 Tarski证明了：一个豌豆和太阳是可以等度分解的．这就是说：
豌豆可以切割成无穷多小块(其实只要5块就够了)，然后再用它们去重新组装成太阳(这儿仅指按体积)．
这便是著名的Banach—Tarski怪论．这个结论证明的数学叙述是：
在欧几里得空间Rn中任何两个有界集是可以等度分解的，只要它们有内点并且 n＞2(如果人们允许分割成可数多块，则n=2即R2空间结论亦真)．
当然在Banach—Tarski分解中，被切割的豌豆的每一小块都是不可测的，即它们没有体积．
显然，上述切割并非通常用剪、刀或其他切割工具所割下的一块，它们是应用选择公理得到的．
“化圆为方”被视为欧氏几何尺规作图三大难题之一，在1882年林德曼证明了π的超
越性后，这个问题被否定地解决了：换言之，仅用尺(无刻度)、规(圆规)是无法完成化圆为方的．
1988年，匈牙利数学家Laczkovich证明了：
一个圆可以被分割成有限多块，然后用它们可以拼成一个与该圆等积的正方形，这其中的每一小块都是不可测的(即无面积)，它们同样是应用选择公理得到的．
这个事实人们无法直接去想象．
数学的抽象还在于：它不仅能描述现实生活中的某些必然事物，同时它还能描述某些偶然事件(这便是“概率论和数理统计”的任务)；它不仅能描写某些精确现象，同时还能描述大量的模糊现象．1965年美国数学家L．Zadeh所创立的“模糊集合理论”，已成功地应用在自动控制、模式识别、经济活动等许多领域．
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