陕西省渭南市韩城市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题

1．2cos45°的值为（ ） A．2

B．3 C．2 D．1

2．下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）

A． B． C． D．

3．请判断一元二次方程x25xA．有两个不相等的实数根 C．没有实数根

250的实数根的情况是（ ） 4B．有两个相等的实数根 D．不能确定

4．如图，四边形ABCD与四边形ABCD位似，点O为位似中心已知OA:OA1:3，则四边形ABCD与四边形ABCD的周长比为（ ）

A．1:4

5．若反比例函数yB．1:2 C．1:3 D．1:9

k2的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的x取值范围是（ ） A．k＜﹣2

B．k＞﹣2

C．k＜2

D．k＞2

6．如图，O的直径AB弦CD于点E，若CD8，BD25，则AB的长为（ ）

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A．25 B．12 C．10 D．5

7．一个盒子里装有除颜色外都相同的3个球，其中2个红球，1个白球．现从盒子里随意摸出1个不放回，再摸出1个，两次均摸到红球的概率是（ ） 1A．

3B．

122C．

35D．

68．若二次函数yx2xm1的图象经过第一、二、三象限，则m满足的条件是（ ） A．m1 评卷人 B．m1 C．0m5 4D．1m5 4得分 二、填空题

9．路灯下行人的影子属于______投影．（填“平行”或“中心”） 10．正八边形的中心角等于______度

11．在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是_____．

412．如图，正比例函数ykx的图象交反比例函数y的图象于A、B两点，AC∥yx轴，BC∥x轴，则ABC的面积为______．

13．如图，菱形ABCD中，AB5，S菱形ABCD24，E为AD上一点，且AE1，连接BE、

AC交于点F，过点F作FGBC于点G，则FG的长为______．

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评卷人 得分 三、解答题 12sin260． sin3014．计算：2tan4515．解方程：3xx12x2．

16．如图，在Rt△ABC中，C90，AC12，BC5．求sinA，cosA和tanA．

17．如图，把一个以点O为圆心的圆的面积四等分，请用尺规作图画出一种分割方法．（不写作法，保留作图痕迹）

18．小明想用镜子测量校园内一棵松树的高度，如图所示，他把镜子放在水平地面上的

C点，沿着直线BC后退到点F，这时恰好在镜子里看到树稍顶点A的像，量得BC10CF2米．米，已知EF、AB均与地面BF垂直，小明的眼睛距离地面1.5米（即EF1.5米），请你求出松树AB的高．

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19．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BHCE交于点H，求证：CGBH．

20．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当x20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）．

（1）根据图象求当x≥20时，y与x之间的函数关系式；

（2）当x≥20时，体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第多少天开始?

21．2021年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2023年当年用于社区基础设施维护与建设资金达到100万元，求从2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率？

22．某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD，他们在桥面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动40m到达测量点B（即AB40m），在B点测得点D的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD．[参考数据：sin370.60，

cos370.80，tan370.75，sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50]

23．全国文明城市是指全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市，

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2021年是第七届创城周期第一年，为此我市各校积极参与创建活动，自发组织开展文明劝导活动，某中学九（1）班为此制作了大小、形状、质地等都相同的“文明劝导员”胸章和“文明监督员”胸章各2枚，现将4枚胸章放入不透明的盒中．

（1）该班级的一名“文明劝导员”要从盒中抽取一枚胸章，求该同学抽取的胸章与其相配的概率为______；

（2）“文明劝导员”小新和“文明监督员”小华同时从盒中各抽取一枚胸章，试用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求出小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的概率．

24．如图，在ABC中，以AB为直径的O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，O的切线DF与AC垂直，垂足为点F．

（1）求证：ABAC；

（2）若AC6，∠BAE60，求AD的长．

25．如图，已知抛物线L1：y1线L2，与y轴交于点C．

32x，将抛物线平移后经过点A(1,0),B(4,0)得到抛物4

（1）求抛物线L2的解析式；

（2）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PDx轴，与抛物线L1交于点D，是否存在

PD2OC，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

26．如图，在等边ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），以CD试卷第5页，共6页

为边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE． （1）求证：①AEF∽DCF； ②△ADF∽△BCD；

（2）若AB3BD6，求ADF的面积．

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参考答案

1．C 【分析】

根据45°角的三角函数值代入计算即可. 【详解】 解： 2cos452故选C． 【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键. 2．D 【分析】

从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图． 【详解】

从上方朝下看只有D选项为三角形． 故选：D． 【点睛】

本题考查了简单几何体的三视图，三视图是从正面、左面、上面以平行视线观察物体所得的图形．从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性．例如，正方体的主视图是一个正方形，但主视图是正方形的几何体有很多，如三棱柱、长方体、圆柱等．因此在学习时应结合实物，亲自变换角度去观察，才能提高空间想象能力． 3．B 【分析】

先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】

解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×

25＝0， 422． 2∴方程有两个相等的实数根． 故选：B．

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【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 4．C 【分析】

ABOA∶OA1∶3，则得到四边形根据位似的性质可得△OAB∽△OAB，从而得到AB∶ABCD与四边形ABCD的相似比为13∶，最终根据相似比等于周长比得出结论．

【详解】

解：∵四边形ABCD与四边形ABCD位似， ∴△OAB∽△OAB，

ABOA∶OA1∶3，即：四边形ABCD与四边形ABCD的相似比为13∶， ∴AB∶∶， ∴四边形ABCD与四边形ABCD的周长比为13故选C． 【点睛】

本题考查位似图形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题关键． 5．A 【分析】

根据反比例函数的性质可得k20，即可求解． 【详解】

解：根据题意可得：k20，解得k2 故选A 【点睛】

此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 6．C 【分析】

如图所示，连接OD，设OBODr，先用勾股定理求出BE2，再在△OED中利用勾股定理求解即可． 【详解】

解：如图所示，连接OD，

答案第2页，共15页

设OBODr， ∵AB⊥CD，CD=8，

∴CE=DE=4，∠BED=∠OED=90°， ∴BEBD2DE22， ∴OEOBBEr2， ∵DE2OE2OD2， ∴42r2r2， 解得r=5， ∴AB=2r=10， 故选C．

2

【点睛】

本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． 7．A 【分析】

画树状图，共有6个等可能的结果，两次均摸到红球的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【详解】

解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，两次均摸到红球的结果有2个， ∴两次均摸到红球的概率为故选：A． 【点睛】

21

， 63

答案第3页，共15页

本题考查了用列表法和树状图法求概率．解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8．D 【分析】

利用二次函数的性质，抛物线与x轴有2个交点，与y轴的交点不在负半轴上，即0，且m10，然后解不等式组即可． 【详解】

解：抛物线yx2xm1经过第一、二、三象限，

124(m1)0且m10，

解得1m5． 4故选：D． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系． 9．中心 【分析】

根据中心投影的概念填写即可．中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影． 【详解】

解：路灯发出的光线可以看成是从一点发出的光线，像这样的光线所形成的投影叫做中心投影，故路灯下人的影子是中心投影． 故答案为：中心． 【点睛】

本题主要考查了中心投影的概念，做题的关键是熟练掌握中心投影的概念，区别中心投影和平行投影概念． 10．45 【分析】

已知该多边形为正八边形，代入中心角公式即可得出【详解】

∵该多边形为正八边形，故n=8

答案第4页，共15页

36036045． n8∴

36036045 n8故答案为：45． 【点睛】

本题考查了正多边形的中心角，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于11．11 【分析】

球的总数乘以蓝色球所占球的总数的比例即为蓝色球的个数． 【详解】

解：∵摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%， ∴摸到蓝色球的频率稳定在1-10%-35%=55%， 55%=11个， ∴蓝色球的个数为：20×故答案为：11． 【点睛】

考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值． 12．8 【分析】

由反比例函数性质可知xAyAk，xByBk，由AC∥y轴，BC∥x轴可知ABC为直角三

360． n1角形，ABC面积可表示为BCAC，其中xAxB，yAyB，ACyAyB，

211BCxAxB，故有4k448．

22【详解】

由题意可知xAyAk，xByBk ∵AC∥y轴，BC∥x轴

∴∠ACB=90°，xAxB，yAyB，ACyAyB，BCxAxB ∴SABC1BCAC 2答案第5页，共15页

∴S∴S∴S∴SABC1yAxByAxAxAyByBxB 21yBxByAxAxByByBxB 2ABCABC1kkkk 2114k448 22ABC故答案为：8． 【点睛】

本题考查了反比例函数k的图象意义，双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形的面积为k；过双曲线上任一点E作EF垂直于y轴，连接EO，所得的三角形OEF的面积为

k． 213．4 【分析】

过点A作AHBC，根据菱形的面积和边长求得AH，则AH//FG，可得AHC∽FGC，可得得

FGFC△CBF，列出比例式求，根据菱形的性质可得AE//BC，进而证明△AEF∽AHACAE1FC5FGFC，进而可得，代入即可求得FG的长 BC5AF6AHAC【详解】

解：如图，过点A作AHBC，

∵四边形ABCD是菱形，AB5，S菱形ABCD24， ∴AE//BC，AH24 5△CBF ∴△AEF∽AB5，AE1

答案第6页，共15页

AEAF1 BCFC5FC5 AF6AHBC,FGBC

∴AH//FG

AHC∽FGC

∴

FGFC5= AHAC65244 ∴FG65故答案为：4 【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 314．

2【分析】

将各特殊角的三角函数值代入化简求解即可． 【详解】

31212解：原式2 123322．

222【点睛】

有关三角函数值的计算是一种重要题型，解这类问题时，要在熟记各种特殊角的三角函数值的基础上，先将各角的三角函数值代入，然后化简计算或者先根据代数式的特点，化简整理后再代入求值． 15．x11,x2【分析】

先移项，再把方程的左边分解因式化为：x13x20,再解方程即可. 【详解】

解：3xx12x2

答案第7页，共15页

2 33xx12x10, x13x20,

x10或3x20,

解得：x11,x2【点睛】

2 3本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握把一元二次方程化为：ab0的形式是解题的关键. 16．sinA【分析】

根据题意先利用勾股定理得出AB，进而依据正弦、余弦和正切的定义进行计算即可. 【详解】

解：在Rt△ABC中，C90，AC12，BC5， ∴ABAC2BC21225213 ∴sinA【点睛】

本题考查求三角函数值和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值的求法是解题的关键. 17．见解析 【分析】

由题意先过圆心作直径MN，进而作直径MN的垂直平分线EF即可. 【详解】

解：如图，直线MN，直线EF即为所求．

BC5AC12BC5，cosA，tanA. AB13AB13AC125512，cosA，tanA

131312

【点睛】

答案第8页，共15页

本题考查圆以及垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的作图方法是解题的关键. 18．松树AB的高为7.5米． 【分析】

△CBA，得到根据题意可证△CFE∽【详解】

EFCF，由此求解即可． ABBC解：由题意知ECFACB，CFECBA90，

△CBA ∴△CFE∽∴

EFCF， ABBC∵EF1.5米，CF2米，BC10米， ∴

1.52 AB10∴AB7.5（米）．

答：松树AB的高为7.5米． 【点睛】

本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质． 19．见解析 【分析】

由平行线的性质可得DECBCH，再根据“AAS”可得EDCCHB，进而可得结论． 【详解】

证明：四边形ABCD是矩形，

AD//BC，ABCD，

DECBCH，

D90，BHCE， DBHC，

由旋转得，CECB，CDCG， 在EDC和CHB中，

DECHCBDBHC， CECBEDCCHB(AAS)，

BHCDCG．

答案第9页，共15页

【点睛】

本题考查旋转的性质，解题的关键是根据“AAS”得到EDCCHB，再利用等量代换得到． 20．（1）y【分析】

（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案； （2）结合所求解析式，把y140代入求出答案． 【详解】

解：（1）设当x20时，y与x之间的函数关系式是y图象过(20,280)解得：k5600， y与x之间的函数关系式是y（2）当x≥20时，140k， x5600；（2）体内抗体浓度不高于140微克/ml是从注射药物第40天开始 x5600； x5600，解得：x40， x体内抗体浓度不高于140微克/ml是从注射药物第40天开始．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确求出函数解析式． 21．25% 【分析】

由题意设2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，并根据2年增长率的一般计算公式列方程求解即可. 【详解】

解：设2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x， 由题意列方程可得：64(1x)2100，解得：x0.25或x2.25（舍去）， 所以年平均增长率为：0.2525％，

2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率是25%. 答：【点睛】

本题主要考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率． 22．外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD为60m 【分析】

答案第10页，共15页

分别在两个直角三角形中由三角函数值建立方程，联立即可求出． 【详解】

解：设DCxm，

在RtADC中，A26.6， ∴tan26.60.50∴AC2CD

在RtBDC中，DBC37， ∴tan370.75CD ACCD BC4∴BCCD

3∵ACBC40，

4∴即2CDCD40，

3解得CD60，

答：外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD为60m． 【点睛】

本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形，寻找直角三角形，并解这个三角形． 1123．（1）2；（2）树状图见解析，

3【分析】

（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】

（1）该班级的一名“文明劝导员”要从盒中抽取一枚胸章，该同学抽取的胸章与其相配的概率为

21； 42（2）把2枚“文明劝导员”胸章分别记为A、B，2枚“文明监督员”胸章分别记为C、D，画树状图如下：

答案第11页，共15页

，

共有12种等可能的结果，小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的结果有4种， ∴小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的概率为【点睛】

本题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．（1）证明见解析；（2）π 【分析】

（1）连接OD，可证得OD∥AC，两直线平行，同位角相等，则ODBACB，因为

41． 123OBODr ，由等边对等角，ODBOBD，再由等角对等边可得ABAC．

（2）由三角形一个角的外角等于另外两角之和，求得∠AOD，由弧长公式l【详解】

（1）证明：如图，连接OD， ∵DF是O的切线， ∴ODDF， ∵DFAC， ∴OD∥AC， ∴ODBACB， ∵OBOD， ∴ODBOBD， ∴OBDACB， ∴ABAC．

nr即可得出． 180答案第12页，共15页

（2）解：∵∠BAE60， ∴BAC120， ∵ABAC6， ∴OA3，ABC1180BAC30， 2∴AOD2ABC60， ∴AD的长【点睛】

本题考查了圆的切线性质和弧长公式，切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；弧长公式为l603 180nr，熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活多变，题目中的一些数据没有直180接给出时，要综合其他所给条件求得，同时要注意将公式变形求其他量． 25．（1）y【分析】

（1）由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向，在平移过程中，

329414xx3；（2）存在，P1,，P2(4,18)．

34433抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为，已知平移后的抛物线经过x轴上的A、

4B两点，可由待定系数法求出平移后的抛物线解析式；

32932（2）可设Pa,aa3,Da,a，根据PD＝2OC，列出方程即可求解．

444【详解】

解：（1）设抛物线L2的解析式为y93bc0b4． ，解得4124bc0c332xbxc，经过点A(1,0),B(4,0)，根据题意得4所以抛物线L2的解析式为y329xx3． 44（2）存在PD2OC．理由：

答案第13页，共15页

32932设Pa,aa3,Da,a，

444329329根据题意，得PDaa3aa3,OC3．

4444由

94a32OC6，解得a1,a24． 43414∴P1,，P2(4,18)．

33【点睛】

此题考查了二次函数综合题，涉及了二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、以及两点间的距离等知识，综合性较强，难度中等． 26．（1）①见解析；②见解析；（2）S△ADF【分析】

43 3△BCDSAS，进而得到（1）①先根据等边三角形的性质证明△ACE≌EACBCDE60，可得结论；

②先利用等边三角形的性质和角的和差关系证明ADFBCD，即可证明结论； （2）过点C作CHAB，垂足为H，根据等边三角形的性质和勾股定理求出△BDC的面积，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】

（1）证明：①∵ABC是等边三角形， ∴ACBC，ABCACB60，

∵△EDC是等边三角形，∴CDEC，DCE60， ∴BCDACE，

△BCDSAS， ∴△ACE≌∴EACDBC60， ∴EACCDE60， 又∵AFEDFC， ∴AEF∽DCF．

②∵ABC和△EDC为等边三角形， ∴EDCABCBAC60， ∴ADFBDC120，

答案第14页，共15页

∵ABC60，

∴BDCBCD120， ∴ADFBCD， 又DAFCBD=60°， ∴△ADF∽△BCD

（2）解：过点C作CHAB，垂足为H，如图．

∵ABC是等边三角形，AB3BD6， ∴BD2，ACBCAB6， ∴AD4，

在Rt△BCH中，B60，BCH30， ∴BH1BC3 2∴CHBC2BH2623233 11∴S△BDCBDCH23333 22由②知△ADF∽△BCD

22S△DFF4S△ADFAD4 ∴，即933S△DBCBC6∴S△ADF【点睛】

43． 3本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握基本知识、证明三角形相似是解题的关键．

答案第15页，共15页