关于抛物线焦点的公式

撰 稿：安东明 编 审：安东明 责 编：辛文升

本周重点：圆锥曲线的定义及应用 本周难点：圆锥曲线的综合应用 本周内容：

一、圆锥曲线的定义

1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）

2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）

3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）

三、圆锥曲线的性质

1.椭圆：+=1（a>b>0）

（1）范围：|x|≤a，|y|≤b （2）顶点：(±a,0)，(0,±b) （3）焦点：(±c,0)

（4）离心率：e=∈(0,1)

（5）准线：x=±

2.双曲线：-=1（a>0, b>0）

（1）范围：|x|≥a, y∈R （2）顶点：(±a,0) （3）焦点：(±c,0)

（4）离心率：e=∈(1,+∞)

（5）准线：x=±

（6）渐近线：y=±x

3.抛物线：y2=2px(p>0) （1）范围：x≥0, y∈R （2）顶点：（0,0）

（3）焦点：（,0）

（4）离心率：e=1

（5）准线：x=-

四、例题选讲：

例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。

解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。

注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。

例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。

解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2===m=8。

（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2===m=2。

注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。

例3.如图：椭圆+=1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，

PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。

解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a, ∵ PF1⊥x轴，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,

∴ |PF1|=。

∵ PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA,

∴ = c=ba=c, ∴ e==。

又解，∵ PF1⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。

由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=,

由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=ce=。

例4.已知F1，F2为椭圆的面积。

+=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2

分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。

解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin

|PF1|+|PF2|=2a=20，

4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36， |PF1|·|PF2|= ∴ SΔ=×

×

=

。

，

解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=×12×yP=6|yP|，

由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP，

由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP，

4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos，

144=100+=， =64(1-)=64×，

SΔ=6|yP|=6×

=。

注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。

例5.椭圆|PF1|，|PF2|。

+=1 的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：

分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|，|PF2|的表达式写出来，再求解。

解：如图，∵O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，∴PF2//y轴，∴PF2⊥x轴， 由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4 |PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2，

(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4×9=36，

，

。

例6.椭圆：的最值。 解：

+=1内一点A（2，2），F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|

|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10，

。

|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2

注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，

两边之差小于第三边。

例7.已知：P为双曲线-=1（a>0, b>0）上一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。

求证：以PF1为直径的圆与以A1，A2为直径的圆相切。

证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O＇, A1A2中点为O，

|OO＇|=|PF2|，圆O半径为|A1A2|，圆O＇半径为|PF1|

由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2|

|PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'|

∴ 两个圆相内切。

注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。

例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。 证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|, |QQ＇|=|QF|

|PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|)，

故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。

五、课后练习

1. 椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直，则ΔPF1F2的面积为（ ）

A、20 B、22 C、28 D、24

2. 若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为

，则a+b=( )

A、-

B、 C、-2 D、2

3. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是（ ） A、y2=16x或x2=16y B、y2=16x或x2=-16y C、x2=-12y或y2=16x D、x2=16y或y2=-12x

4. 已知：椭圆为定值。

+=1（a>b>0）上两点P、Q，O为原点，OP⊥OQ，求证：+

六、练习答案： 1. D 2. B 3. C

4. 设P(|OP|cosα, |OP|sinα), Q(|OQ|cos(α+90°), |OQ|sin(α+90°))，利用两点距离公式及三角公

式，+=。