撰 稿:安东明 编 审:安东明 责 编:辛文升
本周重点:圆锥曲线的定义及应用 本周难点:圆锥曲线的综合应用 本周内容:
一、圆锥曲线的定义
1. 椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。即:{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0 二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆:+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)(其中,a2=b2+c2) 2.双曲线:-=1(a>0, b>0)或-=1(a>0, b>0)(其中,c2=a2+b2) 3.抛物线:y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0) 三、圆锥曲线的性质 1.椭圆:+=1(a>b>0) (1)范围:|x|≤a,|y|≤b (2)顶点:(±a,0),(0,±b) (3)焦点:(±c,0) (4)离心率:e=∈(0,1) (5)准线:x=± 2.双曲线:-=1(a>0, b>0) (1)范围:|x|≥a, y∈R (2)顶点:(±a,0) (3)焦点:(±c,0) (4)离心率:e=∈(1,+∞) (5)准线:x=± (6)渐近线:y=±x 3.抛物线:y2=2px(p>0) (1)范围:x≥0, y∈R (2)顶点:(0,0) (3)焦点:(,0) (4)离心率:e=1 (5)准线:x=- 四、例题选讲: 例1.椭圆短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到准线的距离是__________。 解:由题:2b=2,b=1,a=2,c==,则椭圆中心到准线的距离:==。 注意:椭圆本身的性质(如焦距,中心到准线的距离,焦点到准线的距离等等)不受椭圆的位置的影响。 例2.椭圆+=1的离心率e=,则m=___________。 解:(1)椭圆的焦点在x轴上,a2=m,b2=4,c2=m-4,e2===m=8。 (2)椭圆的焦点在y轴上,a2=4,b2=m,c2=4-m,e2===m=2。 注意:椭圆方程的标准形式有两个,在没有确定的情况下,两种情况都要考虑,切不可凭主观丢掉一解。 例3.如图:椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点,A、B是两个顶点,P为椭圆上一点, PF1⊥x轴,且PO//AB,求椭圆的离心率e。 解:设椭圆的右焦点为F2,由第一定义:|PF1|+|PF2|=2a, ∵ PF1⊥x轴,∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2, 即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2, ∴ |PF1|=。 ∵ PO//AB,∴ ΔPF1O∽ΔBOA, ∴ = c=ba=c, ∴ e==。 又解,∵ PF1⊥x轴,∴ 设P(-c, y)。 由第二定义:=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=, 由上解中ΔPF1O∽ΔBOA,得到b=ce=。 例4.已知F1,F2为椭圆的面积。 +=1的焦点,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=,求ΔF1PF2 分析:要求三角形的面积,可以直接利用三角形的面积公式,注意到椭圆中一些量之间的关系,我们选用面积公式S=absinC。 解法一:SΔ=|PF1|·|PF2|·sin |PF1|+|PF2|=2a=20, 4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36, |PF1|·|PF2|= ∴ SΔ=× × = 。 , 解法二:SΔ=|F1F2|·|yP|=×12×yP=6|yP|, 由第二定义:=e|PF1|=a+exP=10+xP, 由第一定义:|PF2|=2a-|PF1|=10-xP, 4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos, 144=100+=, =64(1-)=64×, SΔ=6|yP|=6× =。 注意:两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。 例5.椭圆|PF1|,|PF2|。 +=1 的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,求: 分析:先要根据题意画出图形,然后根据已知量,将关于|PF1|,|PF2|的表达式写出来,再求解。 解:如图,∵O为F1F2中点,PF1中点在y轴上,∴PF2//y轴,∴PF2⊥x轴, 由第一定义:|PF1|+|PF2|=2a=4 |PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2, (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4×9=36, , 。 例6.椭圆:的最值。 解: +=1内一点A(2,2),F1,F2为焦点,P为椭圆上一点,求|PA|+|PF1| |PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10, 。 |PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2 注意:利用几何图形的性质:三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边。 例7.已知:P为双曲线-=1(a>0, b>0)上一点,F1,F2为焦点,A1,A2为其顶点。 求证:以PF1为直径的圆与以A1,A2为直径的圆相切。 证明:不妨设P在双曲线的右支上,设PF1中点为O', A1A2中点为O, |OO'|=|PF2|,圆O半径为|A1A2|,圆O'半径为|PF1| 由双曲线定义:|PF1|-|PF2|=|A1A2| |PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'| ∴ 两个圆相内切。 注意:可以自己证出P在左支时,两圆相外切。 例8.已知:过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点。求证:以线段PQ为直径的圆与准线相切。 证明:由定义知,如图:|PP'|=|PF|, |QQ'|=|QF| |PQ|=|PP'|+|QQ'|,|PQ|=(|PP'|+|QQ'|), 故圆心到准线的距离等于圆的半径,即圆和准线相切。 五、课后练习 1. 椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直,则ΔPF1F2的面积为( ) A、20 B、22 C、28 D、24 2. 若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点,且P到渐近线距离为 ,则a+b=( ) A、- B、 C、-2 D、2 3. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是( ) A、y2=16x或x2=16y B、y2=16x或x2=-16y C、x2=-12y或y2=16x D、x2=16y或y2=-12x 4. 已知:椭圆为定值。 +=1(a>b>0)上两点P、Q,O为原点,OP⊥OQ,求证:+ 六、练习答案: 1. D 2. B 3. C 4. 设P(|OP|cosα, |OP|sinα), Q(|OQ|cos(α+90°), |OQ|sin(α+90°)),利用两点距离公式及三角公 式,+=。 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容