概率论与数理统计期末考试之置信区间与拒绝域(含问题详解)

概率论与数理统计期末

置信区间问题

八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设零件长度X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 )

解：由于零件的长度服从正态分布,所以Ux~N(0,1) P{|U|u0.025}0.95

/n所以的置信区间为(xu0.025n,xu0.025n) 经计算 x19xi19i6

1 的置信度为0.95的置信区间为 (61.9613,61.963) 即(5.347，6.653)

八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）：

14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7

若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 )

解：由于滚珠的直径X服从正态分布,所以Ux~N(0,1) P{|U|u0.025}0.95

/n所以的置信区间为：(xu0.025n,xu0.025n) 经计算 x19xi19i14.911

的置信度为0.95的置信区间为 (14.9111.960.053,14.9111.960.053) 即(14.765，15.057)

2八（3）、工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布N(,),现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径如下:

14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7

已知零件口径X的标准差0.15，求的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 )

解：由于零件的口径服从正态分布,所以Ux~N(0,1) P{|U|u0.025}0.95

/n所以的置信区间为：(xu0.025n,xu0.025n) 经计算 x19xi19i14.9

0.15  的置信度为0.95的置信区间为 (14.91.960.153,14.91.963) 即(14.802 ,14.998)

八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差的置信度为0.95的置信区间。

2

(已知：0.0252(8)17.535, 0.9752(8)2.18；0.0252(9)19.02, 0.9752(9)2.7)

因为炮口速度服从正态分布，所以

W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(8)W0.9752(8)}0.95

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：2n1,2n1

0.9750.025289892的置信度0.95的置信区间为 , 即4.106,33.028

17.5352.180八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下：

x162.67cm, s4.20cm。求该校女生身高方差2的置信度为0.95的置信区间。 (已知：0.0252(8)17.535, 0.9752(8)2.18；0.0252(9)19.02, 0.9752(9)2.7)

解：因为学生身高服从正态分布，所以W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(8)W0.9752(8)}0.95

(n1)S284.2284.22(n1)S22

的置信区间为：2n1,2n1 的置信度0.95的置信区间为 17.535,2.180

0.9750.0252

即8.048,64.734

八（6）、一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：x16.10cm, s2.10cm。设螺丝钉的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差的置信度为0.95的置信区间。

2(已知：0.0252(8)17.535, 0.9752(8)2.18；0.0252(9)19.02, 0.9752(9)2.7)

解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以

W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(8)W0.9752(8)}0.95

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：2n1,2n1

0.9750.0252

82.10282.102的置信度0.95的置信区间为 , 即2.012,16.183

17.5352.1802

八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值x32.58，样本方差

S20.097。假定该产品的尺寸X服从正态分布N(,2),其中2与均未知。求2的置信度为0.95的

置信区间。

(已知：0.0252(20)34.17, 0.9752(20)9.591；0.0252(19)32.852, 0.9752(19)8.907)解：由于该产

品的尺寸服从正态分布，所以

W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(19)W0.9752(19)}0.95

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：2n1,2n1

0.9750.0252

190.097190.0972的置信度0.95的置信区间为 , 即0.056,0.207

32.8528.907

八（8）、已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布N(,)。从中随机抽取9根，经计算得其标准差为8.069。

2

求的置信度为0.95的置信区间。

（已知：0.025(9)19.023, 0.975(9)2.7，0.025(8)17.535, 0.975(8)2.180） 解：由于抗拉强度服从正态分布所以，

22222W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(8)W0.9752(8)}0.95

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：(2,2)

0.025n10.975n12

88.069288.0692的置信度为0.95的置信区间为, ，即 29.705,238.931

17.5352.1802

2八（9）、设总体X ～N(,)，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差S0.07，试求总体方差的置

2信度为0.95的置信区间。

(已知：0.0252(16)28.845, 0.9752(16)6.908；0.0252(15)27.488, 0.9752(15)6.262)解：由于 X～

N,2

2，所以W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(15)W0.9752(15)}0.95

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：(2,2)

0.025n10.975n1150.07150.072的置信度0.95的置信区间为 ,，即0.038,0.168

6.26227.488

2八（10）、某岩石密度的测量误差X服从正态分布N(,)，取样本观测值16个，得样本方差S0.04，

2试求的置信度为95%的置信区间。

2

(已知：0.0252(16)28.845, 0.9752(16)6.908；0.0252(15)27.488, 0.9752(15)6.262)解：由于 X ~

N,2，所以W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(15)W0.9752(15)}0.95

(n1)S2(n1)S2 的置信区间为：(2,2)

0.025n10.975n12

的置信度0.95的置信区间为：2150.04150.04, 即0.022,0.096

27.4886.262拒绝域问题

九（1）、某厂生产铜丝，生产一向稳定,现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得

x287.5, (xix)2160.5。假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平0.1下，是否可以

i110相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16？

(已知：0.052(10)18.31, 0.952(10)3.94; 0.052(9)16.9, 0.952(9)3.33)

解：待检验的假设是 H0:16 选择统计量 W2(n1)S22 在H0成立时 W~(9)

2P{20.05(9)W20.95(9)}0.90

取拒绝域w ={W16.92,W3.33} 由样本数据知(n1)S160.5 W2160.510.03 16.9210.033.33 16 接受H0，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。

九（2）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平0.05下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?

(已知：0.0252(10)20.48, 0.9752(10)3.25, 0.0252(9)19.02, 0.9752(9)2.7)

解：待检验的假设是 H0:0.03 选择统计量 W2(n1)S22 在H0成立时 W~(9)

2P{20.025(9)W20.975(9)}0.95

取拒绝域w ={W19.023,W2.700}

由样本数据知 W(n1)S2290.037511.25

0.0319.02311.252.700

接受H0，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。

九（3）、某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布N(,0.9)，现从一批产品中抽测20个样本，测得样本标准差S=1.2。问在显著水平0.1下，该批产品的标准差是否有显著差异？

2(已知：0.052(19)30.14, 0.952(19)10.12；0.052(20)31.41, 0.952(20)10.85)

解：待检验的假设是 H0:0.9 选择统计量 W(n1)S22 在H0成立时 W~(19)

2P{20.05(19)W20.95(19)}0.90

取拒绝域w ={W30.114,W10.117}

由样本数据知 W(n1)S22191.2233.778 33.77830.114 20.9 拒绝H0，即认为这批产品的标准差有显著差异。

九（4）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布N(4.55,0.11)。现抽测了9炉铁水,算得铁水含碳量的平均值x4.445，若总体方差没有显著差异，即0.11，问在0.05显著性水平下，总体均值有无显著差异?

222(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 )

解：待检验的假设是 H0:4.55 选择统计量 UX 在H0成立时 U~N(0,1)

/nP{|U|u0.025}0.05 取拒绝域w={|U|1.960}

由样本数据知 UX4.4454.55即认为总体2.864 U1.960 拒绝H0，

0.11/3/n

均值有显著差异。

2九（5）、已知某味精厂袋装味精的重量X ～N(,)，其中=15，0.09，技术革新后，改用新机器

2包装。抽查9个样品，测定重量为（单位：克）

14.7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1

已知方差不变。问在0.05显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15？

(已知：t0.05(15)=2.131, t0.05(14)=2.145, U0.0251.960 )

解：待检验的假设是 H0:15 选择统计量 UX 在H0成立时 U~N(0,1)

/nP{|U|u0.025}0.05 取拒绝域w={|U|1.960}

经计算 x19xi14.967 Ui19X14.967150.33 U1.960

0.3/3/n 接受H0，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。

九（6）、某手表厂生产的男表表壳在正常情况下，其直径(单位:mm)服从正态分布N(20, 1)。在某天的生产过程中，随机抽查4只表壳，测得直径分别为: 19.5 19.8 20.0 20.5. 问在0.05显著性水平下，这天生产的表壳的均值是否正常?

(已知：t0.05(4)=2.776, t0.05(3)=3.182, U0.0251.960 )

解： 待检验的假设为 H0: 20 选择统计量Ux 当H0成立时， U～

nN0,1

P{|U|u0.025}0.05

19.9520U0.1141取拒绝域w={|U|1.960} 经计算 xxi19.95

i124U1.960

接受H0，即认为表壳的均值正常。

九（7）、某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为0.15cm。今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为x=10.48cm。假设方差不变，问在0.05显著性水平下，该切割机工作是否正常?

(已知：t0.05(16)=2.12, t0.05(15)=2.131, U0.0251.960 )

解： 待检验的假设为 H0: 10.5选择统计量Ux 当H0成立时， U～ N0,1

nP{|U|u0.025}0.05 取拒绝域w={|U|1.960}

由已知

Uxn10.4810.580.5330.1515 接受H0，即认为切割机工作正常。

4U1.960

九（8）、某厂生产某种零件，在正常生产的条件下，这种零件的周长服从正态分布，均值为0.13厘米。如果从某日生产的这种零件中任取9件测量后得x=0.146厘米，S =0.016厘米。问该日生产的零件的平均轴长是否与往日一样？

（ 已知：0.05, t0.05(9)2.262, t0.05(8)2.306, u0.0251.96 ） 解： 待检验的假设为 H0: 0.13选择统计量Tx 当H0成立时， T～t(8) SnP{|T|t0.05(8)}0.05 取拒绝域w={|T|2.306}

由已知

Tx0.1460.133S0.016 拒绝H0，即认为该生产的零件的平均轴长与往日有显著差异。

3nT2.306

九、某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取9个样本，测得其平均寿命为1070小时，样本标准差S109小时。问在0.05显著性水平下，检测灯泡的平均寿命有无显著变化？ (已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 ) 解： 待检验的假设为 H0: 1120 选择统计量Tx 当H0成立时， T～t(8) P{|T|t0.05(8)}0.05 Sn取拒绝域w={|T|2.306} 由已知

Tx107011201.376S109 接受H0，即认为检测灯泡的平均寿命无显著变化。

3nT2.306

九、正常人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者9人，测得其脉搏为（次/分）： 68 65 77 70 64 69 72 62 71

设患者的脉搏次数X服从正态分布，经计算得其标准差为4.583。试在显著水平=0.05下，检测患者的脉搏与正常人的脉搏有无显著差异？ (已知：t0.05(8)=2.306, t0.05(9)=2.262, U0.0251.960 ) 解： 待检验的假设为 H0: 72 选择统计量Tx 当H0成立时， T ~ t8 Sn0.05 P{|T|t(8)}0.05

19取拒绝域w={|T|2.306} 经计算xxi68.667

9i1

Tx68.667722.182S4.583 接受H0，检测者的脉搏与正常的脉搏无显著差异。

3nT2.306