黑龙江软件工程大学2018-2019学年第-2-学期《-线性代数B-》课程试卷(A)

黑龙江软件工程大学2018-2019学年第 2 学期 《 线性代数（B） 》课程考试试卷（A ） 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2018 年 月 日 时 考试形式：闭卷■、开卷□，允许带 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 题序 一 二 三1 三2 三3 三4 三5 四 总分 得分 评卷人 （每小题3分，共15分） 装 一、选择题： 1、下列四项中是5阶行列式aij的项，且带正号的是（ ）。 （A）a11a23a34a42a55；（B）a24a42a33a55a11；（C）a31a42a55a23a14；（D）a22a55a31a13a44 2.设A 为n阶可逆阵，B为n阶不可逆阵，则（ ） (A)AB 是可逆阵 (B) AB 是不可逆阵 (C) AB 是可逆阵 (D) AB 是不可逆阵 1112101,,,0，其中k,k,k,k为任意实数，则有（ ）3.设 12341 0203140 kkk订 12k43 线 (A)1,2,3一定线性相关 (B) 1,2,3一定线性无关 (C) 1,2,3,4一定线性相关 (D) 1,2,3,4一定线性无关 4、n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是（ ） （A）A有n个不相同的特征值 （B）A有n个不相同的特征向量 （C）A有n个线性无关的特征向量 （D）存在正交阵P，使得PAP为对角阵 5、齐次线性方程组Ax0有一个基础解系为1,2,3，则（ ）也是该方程组的基础解系 （A）12,23,31 (B) 12,23,31 (C) 12,23,31 (D) 12,23,31 1 二、填空题：（每小题3分，共15分） 黑龙江软件工程大学2018-2019第 2 学期《 线性代数（B） 》课程试卷（A）第 1 页 共 7 页

1、增广矩阵为B(Amn,b)的非齐次线性方程组Axb有无穷多解充分必分条件 。

3412、A12a， R(A)2，则a＝ 。

462

3、3阶方阵A满足2A3E0,AE0,A0，则A的三个特征值为 。 4、4阶矩阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩 。

25、二次型f(x1,x2,x3)x22x1x3的秩为 。

三．计算题(每题12分，共60分) 1.行列式（每题6分，共12分）

0a0ba0b0(1)D

0b0ab0a0

21421125 (2)设 D，求M11M12M13M14

11335

1111312321,C202.设A221 ,B ，求矩阵X使之满足AXBC。 5334331

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111113．已知向量组10,2m,31 与向量组11,22有相同的秩，并

1320n且3,1,2线性相关，试求m,n的值。

4.已知非齐次线性方程组Axb有无穷多解，求a,b的值，并求其通解。

21111,b2其中A10

53a8b7

2225.用二次型f(x1,x2,x3)4x14x24x34x1x24x1x34x2x3,

(1) 写出该二次型的矩阵；(2) 求其所对应的全部特征值与特征向量；（3）写出正交变换矩阵和该二次型在此变换下的一个标准形。

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四．证明题（每小题5分，共10分） 1.设向量组1,2,,s都是非齐次线性方程组Axb的解，数k1,k2,kss也是此方程组的解

,ks满足

k1k2

ks1，则向量k11k222. 已知方阵A,B满足AA,ABAB,证明：AB0。

2222

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黑龙江软件工程大学2018-2019学年第 2 学期 《 线性代数（B） 》试卷（A）参考答案及评分标准 开课二级学院：理学院，学生班级：二本理工科各专业 教师： 一． 选择题（每小题3分，共15分） 1．A 2.D 3.B 4.C 5.D 二． 填空题（每小题3分，共15分） 31． 2.1 3.０，１，－ ４．0 5.3 R(A)R(B)n 2 三、计算题（共60分） 0a0b a0b02装 1．解（1）Da2b2 ………………….6分 0b0a b0a0 1111 1125' 68…………………12分 (2) D1133 5111 2.解：A20,B10，所以A,B均为可逆矩阵 ………………4分  321 订 131351，BA3 2252 111 21  XA1CB1104  104 3.解：3可由1,2线性表示，所以3,1,2线性相关 3分 线 1,2,30，解得n1 6分 1,2,3与1,2有相同的秩，所以1,2,3的秩为2 9分 1,2,30，解得m2 12分 黑龙江软件工程大学2018-2019第 2 学期《 线性代数（B） 》课程试卷（A）第 5 页 共 7 页

2111124．解1053a8b710120111 6分 00ab所以，当ab0时，方程组有无穷多解。 9分

12其通解为：xc11（cR） `12分

105．

422(1)二次型矩阵A242 3分

224(2)A所对应的特征值为:122,38 6分

22(3) 122所得的基础解系正交单位化后为:10,22238所对应的基础解系单位化后为: 3131 9分 313162 31622所以对应的正交矩阵P022162316131 313222标准型f(x1,x2,x3)2x12x28x3 12分

五．证明（10分） 1、证明：A(k11k22kss)k1A1k2A2ksAs 3分

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=k1bk2b

=k1k22、证明：

ksb 4分

ksbb 5分

A2AA2A2A2E2E0 1AE(A2E)E

2所以AE可逆 3分

AB又

2A2B2ABBAOA2BABAOABABAOAB(AE)O

因为AE可逆

所以ABO 5分

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