专题三 三角函数与平面向量的综合应
用
1.同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新
两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强,对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高,考查公式的灵活运用及变形能力.通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容,且一直是高考的热点.
2.研究三角函数的性质,一般要化为f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的形式,若是奇函数,则可化为f(x)=±Asin ωx;若是偶函数,则可化为f(x)=±Acos ωx.求三角函数的定义域,实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的解,求函数的单调区间可以转化为求y=sin x与y=cos x的单调区间.
3.解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换化简,然后运用正、余弦定理求值;二是与平面向量结合(主要是数量积),判断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试题一般为中档题,客观题、解答题均有可能出现. 4.平面向量的线性运算,为证明两线平行提供了重要方法.平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合,体现了向量应用的广泛性. [难点正本 疑点清源]
1.三角函数问题一是化简求值问题,要熟练应用公式,紧扣角的范围,才可避免出错;二是三角函数的性质,要先将函数式化简为y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的形式,再研究其性质.
2.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比,要理解它们的联系与区别.要用向量的思想和方法去分析解决问题,一定要突出向量的工具性作用.
题型一 三角函数式的化简求值问题
例1 已知函数f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1 (x∈R).
π
0,上的最大值和最小值; (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间2ππ6
(2)若f(x0)=,x0∈4,2,求cos 2x0的值. 5
探究提高 (1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”,对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”,记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“+”,“-”的变化特点.(2)在使用三角恒等变换公式解决问题时,“变换”是其中的精髓,在“变换”中既有公式的各种形式的变换,也有角之间的变换.(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确.
已知向量m=(-1,cos ωx+3sin ωx),n=(f(x),cos ωx),其中ω>0,且
3m⊥n,又函数f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间距为π.
2(1)求ω的值;
3π23α+=, (2)设α是第一象限角,且f2226π
α+sin4求
的值. cos4π+2α
题型二 三角形中的三角恒等变换
例2 设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A. (1)求B的大小;
(2)求cos A+sin C的取值范围.
探究提高 本题的难点是第(2)问,求解三角函数式的取值范围,首先要根据三角形内角之间的关系进行化简,然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围,要利用锐角三角形的每个内角都是锐角,构造关于角A的不等式确定其取值范围,最后利用三角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围.
设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c且3b2+3c2-3a2=42bc.
(1)求sin A的值;
ππA+sinB+C+2sin44
1-cos 2A
(2)求的值.
题型三 平面向量与三角函数 x
3sin ,1, 例3 已知向量m=4xx
cos ,cos2. n=44
2π
(1)若m·n=1,求cos3-x的值;
(2)记f(x)=m·n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求函数f(A)的取值范围.
探究提高 向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
π3π 已知A、B、C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈2,2.
→→
(1)若|AC|=|BC|,求角α的值;
2sin2α+sin 2α→→
(2)若AC·BC=-1,求 的值.
1+tan α
8.平面向量与三角函数的综合问题
试题:(14分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值;
(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.
审题视角 (1)利用向量的垂直关系,将向量间的关系转化成三角函数式,化简求值.(2)根据向量模的定义,将求模问题转化为求三角函数最值的问题.(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式. 规范解答
(1)解 由a与b-2c垂直, 得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,
即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2.
[4分]
(2)解 |b+c|2=(b+c)2=b2+c2+2b·c=sin2β+16cos2β+cos2β+16sin2β+2(sin βcos β-16sin βcos β)
=17-30sin βcos β=17-15sin 2β, 最大值为32,所以|b+c|的最大值为42. (3)证明 由tan αtan β=16, 得sin αsin β=16cos αcos β,
即4 cos α·4cos β-sin αsin β=0,故a∥b.
[14分]
[10分]
第一步:将向量间的关系转化成三角函数式. 第二步:化简三角函数式.
第三步:求三角函数式的值或分析三角函数式
的性质.
第四步:明确结论.
第五步:反思回顾.查看关键点,易错点和规范
解答.
批阅笔记 (1)本题是典型的向量与三角函数的综合,题目难度中档,属高考的重点题型. (2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系,转化为三角函数式的问题,利用三角函数解决.
(3)易错分析.在将向量关系转化为三角函数式时易出错.在第(3)问中,学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a∥b.事实上是学生忽略了a∥b的条件.
方法与技巧
1.研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想,这主要体现在运用三角函数的图象研究三角函数的图象变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识;运用三角函数的图象解决取值范围、交点个数、定义域等内容.
2.三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型,主要从以下两个方面进行考查. (1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角),通过向量的有关运算,将向量条件转化为三角关系,然后通过三角变换及三角函数的图象与性质等解决问题. (2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.
3.加强数学思想方法的考查,转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题. 失误与防范
1.对于三角函数的化简求值问题,一要熟练应用公式化简,二要注意角的范围. 2.平面向量与三角函数问题,一般是通过向量运算,将其转化为三角函数式,要注意转化的准确性和灵活性.
专题三 三角函数与平面向量的综合应
用
(时间:60分钟) A组 专项基础训练题组
一、选择题
1.已知向量a=(2,sin x),b=(cos2x,2cos x),则函数f(x)=a·b的最小正周期是 ( ) πA. 2
B.π
C.2π
D.4π
2.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(3,-1),n=(cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为 ππ
A., 63ππ
C., 36
2ππB., 36ππD., 33
( ) ( )
13
3.已知a=-,,b=(1,3),则|a+tb| (t∈R)的最小值等于
22A.1 二、填空题
B.3
2
1C. 2
D.2 2
π1π
2x+的最小正周期,a=tanα+β,-1,b=(cos α,4.已知0<α<,β为f(x)=cos8442cos2α+sin 2α+β
2),且a·b=m,则=________.
cos α-sin α
5.在直角坐标系xOy中,已知点A(-1,2),B(2cos x,-2cos 2x),C(cos x,1),其中x∈[0,→→
π],若AB⊥OC,则x的值为______.
1+sin2x
6.已知函数f(x)=sin x-cos x,且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的导函数,则2=cosx-sin 2x_________. 三、解答题
π
7.已知函数y=Asin(ωx+φ),x∈R (A>0,ω>0,|φ|<),若该函数图象上的一个最高点坐
2ππ
,3,与其相邻的对称中心的坐标是-,0. 标为612(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)求函数的最小值,并写出函数取得最小值时自变量x的集合.
8.△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-3),n=
cos 2B,2cos2B-1且m∥n.
2
(1)求锐角B的大小;
(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.
B组 专项能力提升题组
一、选择题
→→→→
1.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos α,2sin α),则向量OA与向量→
OB的夹角的取值范围是 π0, A.4
( )
π5
B.4,12π π5D.12,12π
5π
π, C.12233→→→→
2.在△ABC中,AB·BC=3,△ABC的面积S△ABC∈,,则AB与BC夹角的取值范围
22是
( )
ππA.4,3 ππC.6,3
ππ
B.6,4 ππD.3,2
1
3.(2011·大纲全国)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-,〈a-c,b-c〉=60°,则|c|
2的最大值等于 A.2 C.2 二、填空题
4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值、最小值分别是__________.
5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1, →→
BC=2,AB=3,P是BC上的一个动点,当PD·PA取 得最小值时,tan∠DPA的值为________.
→→6.(2011·上海)在正三角形ABC中,D是BC上的点.若AB=3,BD=1,则AB·AD=________. 三、解答题
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且lg a-lg b=lg cos B-lg cos A≠0. (1)判断△ABC的形状;
(2)设向量m=(2a,b),n=(a,-3b),且m⊥n,(m+n)·(n-m)=14,求a,b,c的
( )
B.3 D.1
值.
8.已知两个不共线的向量a,b的夹角为θ,且|a|=3,|b|=1,x为正实数. (1)若a+2b与a-4b垂直,求tan θ;
π
(2)若θ=,求|xa-b|的最小值及对应的x的值,并指出向量a与xa-b的位置关系;
6(3)若θ为锐角,对于正实数m,关于x的方程|xa-b|=|ma|有两个不同的正实数解,且x≠m,求m的取值范围.
答案
题型分类·深度剖析
例1 解 (1)由f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1, 得f(x)=3(2sin xcos x)+(2cos2x-1) π
2x+. =3sin 2x+cos 2x=2sin6所以函数f(x)的最小正周期为π.
ππππ
2x+在区间0,上为增函数,在区间,上为减函数,又f(0)=因为f(x)=2sin6662ππ=-1,所以函数f(x)在区间0,π上的最大值为2,最小值为-1. 1,f=2,f622π
2x0+. (2)由(1),可知f(x0)=2sin66
又因为f(x0)=,
5π32x0+=. 所以sin65ππ
由x0∈4,2, π2π7π
,. 得2x0+∈636π2x0+ 从而cos6=-
π4
2x0+=-. 1-sin265
ππ2x0+- 所以cos 2x0=cos66
ππππ3-43
2x0+cos +sin2x0+·=cossin =. 666610113变式训练1 (1) (2)-2
314
例2 解 (1)由a=2bsin A,
根据正弦定理得sin A=2sin Bsin A,
1π
所以sin B=,由△ABC为锐角三角形可得B=. 26(2)由(1)可知A+C=π-B=5π
故C=-A.
6
5π, 6
5π
-A 故cos A+sin C=cos A+sin6
π1333
+A=cos A+cos A+sin A=cos A+sin A =cos A+sin62222=3
31cos A+sin A 22
π
A+, =3sin3
π
由△ABC为锐角三角形可得,0 A+<, 所以 33. 2,2即cos A+sin C的取值范围为17 变式训练2 (1) (2)- 32 x 1+cos 2xxx3x 例3 解 (1)m·n=3sin ·cos +cos2=sin + 444222xπ1 =sin2+6+2, xπ1∵m·n=1,∴sin2+6=2. πxπ1 x+=1-2sin2+=, cos32622ππ1-x=-cosx+=-. cos332 (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B =sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1π ∴cos B=,∵0232ππAππ