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专题三 三角函数与平面向量的综合应用

2022-05-07 来源:个人技术集锦


专题三 三角函数与平面向量的综合应

1.同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新

两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强,对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高,考查公式的灵活运用及变形能力.通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容,且一直是高考的热点.

2.研究三角函数的性质,一般要化为f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的形式,若是奇函数,则可化为f(x)=±Asin ωx;若是偶函数,则可化为f(x)=±Acos ωx.求三角函数的定义域,实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的解,求函数的单调区间可以转化为求y=sin x与y=cos x的单调区间.

3.解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换化简,然后运用正、余弦定理求值;二是与平面向量结合(主要是数量积),判断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试题一般为中档题,客观题、解答题均有可能出现. 4.平面向量的线性运算,为证明两线平行提供了重要方法.平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合,体现了向量应用的广泛性. [难点正本 疑点清源]

1.三角函数问题一是化简求值问题,要熟练应用公式,紧扣角的范围,才可避免出错;二是三角函数的性质,要先将函数式化简为y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的形式,再研究其性质.

2.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比,要理解它们的联系与区别.要用向量的思想和方法去分析解决问题,一定要突出向量的工具性作用.

题型一 三角函数式的化简求值问题

例1 已知函数f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1 (x∈R).

π

0,上的最大值和最小值; (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间2ππ6

(2)若f(x0)=,x0∈4,2,求cos 2x0的值. 5

探究提高 (1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”,对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”,记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“+”,“-”的变化特点.(2)在使用三角恒等变换公式解决问题时,“变换”是其中的精髓,在“变换”中既有公式的各种形式的变换,也有角之间的变换.(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确.

已知向量m=(-1,cos ωx+3sin ωx),n=(f(x),cos ωx),其中ω>0,且

3m⊥n,又函数f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间距为π.

2(1)求ω的值;

3π23α+=, (2)设α是第一象限角,且f2226π

α+sin4求

的值. cos4π+2α

题型二 三角形中的三角恒等变换

例2 设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A. (1)求B的大小;

(2)求cos A+sin C的取值范围.

探究提高 本题的难点是第(2)问,求解三角函数式的取值范围,首先要根据三角形内角之间的关系进行化简,然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围,要利用锐角三角形的每个内角都是锐角,构造关于角A的不等式确定其取值范围,最后利用三角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围.

设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c且3b2+3c2-3a2=42bc.

(1)求sin A的值;

ππA+sinB+C+2sin44

1-cos 2A

(2)求的值.

题型三 平面向量与三角函数 x

3sin ,1, 例3 已知向量m=4xx

cos ,cos2. n=44

2π

(1)若m·n=1,求cos3-x的值;

(2)记f(x)=m·n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求函数f(A)的取值范围.

探究提高 向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.

π3π 已知A、B、C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈2,2.

→→

(1)若|AC|=|BC|,求角α的值;

2sin2α+sin 2α→→

(2)若AC·BC=-1,求 的值.

1+tan α

8.平面向量与三角函数的综合问题

试题:(14分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值;

(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.

审题视角 (1)利用向量的垂直关系,将向量间的关系转化成三角函数式,化简求值.(2)根据向量模的定义,将求模问题转化为求三角函数最值的问题.(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式. 规范解答

(1)解 由a与b-2c垂直, 得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,

即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2.

[4分]

(2)解 |b+c|2=(b+c)2=b2+c2+2b·c=sin2β+16cos2β+cos2β+16sin2β+2(sin βcos β-16sin βcos β)

=17-30sin βcos β=17-15sin 2β, 最大值为32,所以|b+c|的最大值为42. (3)证明 由tan αtan β=16, 得sin αsin β=16cos αcos β,

即4 cos α·4cos β-sin αsin β=0,故a∥b.

[14分]

[10分]

第一步:将向量间的关系转化成三角函数式. 第二步:化简三角函数式.

第三步:求三角函数式的值或分析三角函数式

的性质.

第四步:明确结论.

第五步:反思回顾.查看关键点,易错点和规范

解答.

批阅笔记 (1)本题是典型的向量与三角函数的综合,题目难度中档,属高考的重点题型. (2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系,转化为三角函数式的问题,利用三角函数解决.

(3)易错分析.在将向量关系转化为三角函数式时易出错.在第(3)问中,学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a∥b.事实上是学生忽略了a∥b的条件.

方法与技巧

1.研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想,这主要体现在运用三角函数的图象研究三角函数的图象变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识;运用三角函数的图象解决取值范围、交点个数、定义域等内容.

2.三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型,主要从以下两个方面进行考查. (1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角),通过向量的有关运算,将向量条件转化为三角关系,然后通过三角变换及三角函数的图象与性质等解决问题. (2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.

3.加强数学思想方法的考查,转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题. 失误与防范

1.对于三角函数的化简求值问题,一要熟练应用公式化简,二要注意角的范围. 2.平面向量与三角函数问题,一般是通过向量运算,将其转化为三角函数式,要注意转化的准确性和灵活性.

专题三 三角函数与平面向量的综合应

(时间:60分钟) A组 专项基础训练题组

一、选择题

1.已知向量a=(2,sin x),b=(cos2x,2cos x),则函数f(x)=a·b的最小正周期是 ( ) πA. 2

B.π

C.2π

D.4π

2.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(3,-1),n=(cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为 ππ

A., 63ππ

C., 36

2ππB., 36ππD., 33

( ) ( )

13

3.已知a=-,,b=(1,3),则|a+tb| (t∈R)的最小值等于

22A.1 二、填空题

B.3

2

1C. 2

D.2 2

π1π

2x+的最小正周期,a=tanα+β,-1,b=(cos α,4.已知0<α<,β为f(x)=cos8442cos2α+sin 2α+β

2),且a·b=m,则=________.

cos α-sin α

5.在直角坐标系xOy中,已知点A(-1,2),B(2cos x,-2cos 2x),C(cos x,1),其中x∈[0,→→

π],若AB⊥OC,则x的值为______.

1+sin2x

6.已知函数f(x)=sin x-cos x,且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的导函数,则2=cosx-sin 2x_________. 三、解答题

π

7.已知函数y=Asin(ωx+φ),x∈R (A>0,ω>0,|φ|<),若该函数图象上的一个最高点坐

2ππ

,3,与其相邻的对称中心的坐标是-,0. 标为612(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式;

(2)求函数的最小值,并写出函数取得最小值时自变量x的集合.

8.△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-3),n=

cos 2B,2cos2B-1且m∥n.

2

(1)求锐角B的大小;

(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.

B组 专项能力提升题组

一、选择题

→→→→

1.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos α,2sin α),则向量OA与向量→

OB的夹角的取值范围是 π0, A.4

( )

π5

B.4,12π π5D.12,12π

π, C.12233→→→→

2.在△ABC中,AB·BC=3,△ABC的面积S△ABC∈,,则AB与BC夹角的取值范围

22是

( )

ππA.4,3 ππC.6,3

ππ

B.6,4 ππD.3,2

1

3.(2011·大纲全国)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-,〈a-c,b-c〉=60°,则|c|

2的最大值等于 A.2 C.2 二、填空题

4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值、最小值分别是__________.

5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1, →→

BC=2,AB=3,P是BC上的一个动点,当PD·PA取 得最小值时,tan∠DPA的值为________.

→→6.(2011·上海)在正三角形ABC中,D是BC上的点.若AB=3,BD=1,则AB·AD=________. 三、解答题

7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且lg a-lg b=lg cos B-lg cos A≠0. (1)判断△ABC的形状;

(2)设向量m=(2a,b),n=(a,-3b),且m⊥n,(m+n)·(n-m)=14,求a,b,c的

( )

B.3 D.1

值.

8.已知两个不共线的向量a,b的夹角为θ,且|a|=3,|b|=1,x为正实数. (1)若a+2b与a-4b垂直,求tan θ;

π

(2)若θ=,求|xa-b|的最小值及对应的x的值,并指出向量a与xa-b的位置关系;

6(3)若θ为锐角,对于正实数m,关于x的方程|xa-b|=|ma|有两个不同的正实数解,且x≠m,求m的取值范围.

答案

题型分类·深度剖析

例1 解 (1)由f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1, 得f(x)=3(2sin xcos x)+(2cos2x-1) π

2x+. =3sin 2x+cos 2x=2sin6所以函数f(x)的最小正周期为π.

ππππ

2x+在区间0,上为增函数,在区间,上为减函数,又f(0)=因为f(x)=2sin6662ππ=-1,所以函数f(x)在区间0,π上的最大值为2,最小值为-1. 1,f=2,f622π

2x0+. (2)由(1),可知f(x0)=2sin66

又因为f(x0)=,

5π32x0+=. 所以sin65ππ

由x0∈4,2, π2π7π

,. 得2x0+∈636π2x0+ 从而cos6=-

π4

2x0+=-. 1-sin265

ππ2x0+- 所以cos 2x0=cos66

ππππ3-43

2x0+cos +sin2x0+·=cossin =. 666610113变式训练1 (1) (2)-2

314

例2 解 (1)由a=2bsin A,

根据正弦定理得sin A=2sin Bsin A,

所以sin B=,由△ABC为锐角三角形可得B=. 26(2)由(1)可知A+C=π-B=5π

故C=-A.

6

5π, 6

-A 故cos A+sin C=cos A+sin6

π1333

+A=cos A+cos A+sin A=cos A+sin A =cos A+sin62222=3

31cos A+sin A 22

π

A+, =3sin3

π

由△ABC为锐角三角形可得,025πππ5π故0<-A<,解得6236πππ又02ππ5ππ13

A+<, 所以A+<, <3sin322

33.

2,2即cos A+sin C的取值范围为17

变式训练2 (1) (2)-

32

x

1+cos

2xxx3x

例3 解 (1)m·n=3sin ·cos +cos2=sin +

444222xπ1

=sin2+6+2,

xπ1∵m·n=1,∴sin2+6=2. πxπ1

x+=1-2sin2+=, cos32622ππ1-x=-cosx+=-. cos332

(2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B =sin Bcos C,

∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C).

∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1π

∴cos B=,∵0232ππAππ

∴036262Aπ1

sin2+6∈2,1. xπ1又∵f(x)=sin2+6+2. Aπ1∴f(A)=sin2+6+2.

3

1,. 故函数f(A)的取值范围是25π5

变式训练3 (1) (2)- 49课时规范训练 A组

1.B 2.C 3.B 4.4+2m ππ19

5.或 6.- 235

7.解 (1)由题意知A=3, π1ππ

-=, T=-46124

所以T=π,ω==2.y=3sin(2x+φ),

Tππ

又由2×+φ=2kπ+,k∈Z,

62π

得φ=2kπ+,k∈Z.

6ππ

因为|φ|<,所以φ=. 26π

2x+,x∈R. 所以y=3sin6(2)由(1)知,函数的最小值为-3; ππ

由2x+=2kπ-,k∈Z,

62π

得x=kπ-,k∈Z,

3

∴函数取得最小值时自变量x的集合为 π

x|x=kπ-,k∈Z.

3

8.解 (1)∵m∥n,

B

2cos2-1=-3cos 2B, ∴2sin B2∴sin 2B=-3cos 2B,即tan 2B=-3. 又∵B为锐角,∴2B∈(0,π). 2ππ

∴2B=,∴B=. 33π

(2)∵B=,b=2,

3

a2+c2-b2

由余弦定理cos B=,

2ac得a2+c2-ac-4=0,又∵a2+c2≥2ac,

代入上式,得ac≤4(当且仅当a=c=2时等号成立).

13

S△ABC=acsin B=ac≤3(当且仅当a=c=2时等号成立).∴S△ABC的最大值为3. 24B组

1215

1.D 2.B 3.A 4.4、0 5. 6.

352

acos B

7.解 (1)因为lg a-lg b=lg cos B-lg cos A≠0,所以=≠1,

bcos A所以sin 2A=sin 2B且a≠b. 因为A,B∈(0,π)且A≠B,

π

所以2A=π-2B,即A+B=且A≠B.

2所以△ABC是非等腰的直角三角形. (2)由m⊥n,得m·n=0. 所以2a2-3b2=0.

由(m+n)·(n-m)=14,得n2-m2=14, 所以a2+9b2-4a2-b2=14, 即-3a2+8b2=14.

联立①②,解得a=6,b=2. 所以c=a2+b2=10.

故所求的a,b,c的值分别为6,2,10. 8.解 (1)由题意得,(a+2b)(a-4b)=0, 即a2-2a·b-8b2=0,

得32-2×3×1×cos θ-8×12=0,

得cos θ=1

6,又θ∈(0,π),故θ∈0,π2, 因此,sin θ=1-cos2θ=1-162=356

, tan θ=sin θ

cos θ=35. (2)|xa-b|=xa-b2 =x2a2-2xa·b+b2 =9x2-2x×3×1×cos π6+1

9x-

3

62+1

4

, 故当x=

36时,|xa-b|取得最小值为12

, 此时,a·(xa-b)=xa2-a·b =

36×9-3×1×cos π

6

=0, 故向量a与xa-b垂直.

(3)对方程|xa-b|=|ma|两边平方整理, 得9x2-(6cos θ)x+1-9m2=0,

设方程①的两个不同正实数解为x1,x2, 则由题意得,

Δ=6cos θ2-4×9×1-9m2>0,

x+x=6cos θ1

2

9

>0,

2

x1x1-9m2

=9>0.

解之得,13sin θ3

. 若x=m,则方程①可以化为-(6cos θ)x+1=0,则x=16cos θ,即m=1

6cos θ

. 而x≠m,故得m≠1

6cos θ.

令113sin θ<6cos θ<13

, sin 2θ<1,得> 得0°<θ<60°,且θ≠45°, 1cos θ2,

当0°<θ<60°,且θ≠45°时,

m的取值范围为

111

m|sin θ当60°≤θ<90°,或θ=45°时, 11

m的取值范围为m|3sin θ

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