浅谈反证法

浅谈反证法

作者：周赤

来源：《读写算·教研版》2015年第21期

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）21-127-01

一个数学家拿出三顶帽子让甲、乙两同学看清楚：两白一黑。然后用布蒙住两学生的眼睛，将其中两顶分别戴在两人的头上（两人戴的都是白帽子），在去掉布让他们猜测自己头上帽子的颜色。两学生看了看你对方头上的帽子，彼此沉默了几分钟，不能回答。忽然学生甲立刻断定自己戴的是白帽子。

诸位不禁要问：学生甲证明知道自己戴的是白帽子？答曰：他用了反证法。假设我戴的是黑帽子，学生乙再笨也能马上断定自己戴的是白帽子（因为只有一顶黑帽子）。然而学生乙未做立刻回答，说明自己带的一定是白帽子！ 那么，什么是反证法呢？

数学家阿达玛说过：“这政法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”先假定命题中结论的反面成立，结合已知定理条件，进行正确的推理、论证，得了和命题中的题设或前面学过得定义、公里、定理、已知的事实相矛盾或自相矛盾的结果，从而断定命题结论的反面不能成立，因而断定命题中的结论成立，这种证明方法就叫做反证法。 反证法和一般的证明方法不停，采用的是逆向思维方式，既不直接证明结论，而那时间接地否定与事物相反地一面，从而得出事物真实的一面，他是一种让步的、间接的证明方法。正因为如此，运用它往往会使得证明过程简洁明快，令人茅塞顿开，拍案叫绝！更重要的是，数学中的一些命题和定理几乎只能运用反证法来论证。因此，熟悉掌握和运用它是极其重要的，它能使一个人思路开阔，推理严密，对发掘一个人的智力也好似大有裨益的。 一般情况下，反证法例题有如下三个步骤： （1）否定结论，作出反设；

（2）进行正确推理，到处矛盾，否定反设； （3）肯定结论。

例如：求证任意凸多边形，不可能有四个内角都是锐角。

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证明：假设存在一凸多边形，其四个内角A、B、C、D均小于 ，则这四个内角所对应的外角分别大于 ，其和就大于 ，这与任意凸多边形的外角和为 矛盾，故假设不成立，即对任意凸多边形，不可能有四个内角都是锐角。

反证法是一种重要的证明方法。不仅在初等数学里重要，而且在高等数学里也是常用的，他是“双基”的重要组成部分，使我们必须掌握和能够灵活运用的一种重要证明方法，同时，反证法的教学也存在着一些难度，那么，如何有效的进行教学呢？

首先，反证法思想要从初中就开始灌输，高中重点讲授-巩固发展，反证法不仅仅局限在集合教学中，在代数教学甚至实际生活都可以大量应用。

其次，反证法的教学，如同概念教学一样，不能以某一学科或某一章教学的结束而束之高阁，要有一个通盘的打算，要经过渗透、灌输、重点讲授和巩固发展三个阶段，贯彻在整个中学阶段的始终。

最后学习反证法，教师要引导学生进行正确地思维转换，强调反证法证明的三个步骤中应注意的几个问题。

所有理论上的东西只有通过时间才能巩固和发展。因此，教学过程中，教师要结合各章材料，在教学和生活中寻找和抓住利用反证法的机会，让学生多练习。

反证法是一种重要的数学思想方法，与直接证法如分析法、综合法等比较，其应用也许没那么广，但我们决不能因此而低估它的作用，可以这么说，取消了反证法的数学，只能是原始的、不完整的数学。因此我们一定要掌握并能够熟练地应用它，凭借它以及其他数学思想方法，我们才能在数学的王国里自由翱翔。