城区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学模拟

城区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________

一、选择题

1． 设变量x，y满足A．20

B．35

C．45

D．55

，且||=1，|+2|=2

，则||=（

）

，则2x+3y的最大值为（

）

姓名__________ 分数__________

2． 已知平面向量与的夹角为A．1　

3． 使得（3x2+A．3

B．5B．

C．3

D．2

）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n=（ C．6

D．10

）

4． 已知命题p：∃x∈R，cosx≥a，下列a的取值能使“￢p”是真命题的是（ A．﹣1

B．0

C．1

D．2

）

5． 函数f（x）=x3﹣3x2+5的单调减区间是（

）

A．（0，2） B．（0，3） C．（0，1） D．（0，5）　

6． 等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a6=（ ）A．6

B．9

C．36

D．72

7． 已知函数f(x)cos(x的图象（ A．向右平移

）

3)，则要得到其导函数yf'(x)的图象，只需将函数yf(x)22C. 向右平移个单位

38． 如图

个单位 B．向左平移

22D．左平移个单位

3个单位

，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至

）C．

D．）

少有两个数位于同行或同列的概率是（ A．

B．

9． 已知复数z满足：zi=1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（

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A．﹣iB．iC．1D．﹣1

；④在吸烟与

10．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a必过吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（ A．0

B．1

C．2

D．3

=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2

）

C．c

D．a+b﹣c

＜x，则下列说法正确的是（

）

）

患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人

11．P是双曲线

的内切圆圆心的横坐标为（ A．a

B．b

12．若命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，

A．命题p∨q是假命题B．命题p∧（￢q）是真命题C．命题p∧q是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题　

二、填空题

13．设x，y满足约束条件

，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是　　　　　　．14．已知|a|2，|b|1，2a与b的夹角为

133，则|a2b| ．

15．若实数x，y满足x2+y2﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为　　．16．已知a=

（

cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是　　　　　　．　

17．函数f（x）=loga（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为　　　　　　．　

318．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数fxx2x，若曲线fx在点1,f1处的切线经

过圆C:x2ya2的圆心，则实数a的值为__________．

2三、解答题

19．已知函数f（x）=loga（x2+2），若f（5）=3；（1）求a的值； （2）求

的值；

（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．

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20．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数fxe,gxxm,mR.

x（1）若曲线yfx与直线ygx相切，求实数m的值；（2）记hxfxgx，求hx在0,1上的最大值；（3）当m0时，试比较efx2与gx的大小.

21．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为

234，，，且各轮考核通过与否相互独立。345（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望。

22．某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如表：月份x

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销售量y（百件）44566（Ⅰ）该同学为了求出y关于x的回归方程=x+，根据表中数据已经正确算出=0.6，试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）

（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X，求X的分布列和数学期望．

23．（本小题满分12分）

12x(a3)xlnx.2（1）若函数f(x)在定义域上是单调增函数，求的最小值；

112（2）若方程f(x)(a)x(a4)x0在区间[,e]上有两个不同的实根，求的取值范围.

2e已知函数f(x)24．若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．　

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城区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：满足约束条件令z=2x+3y可得y=作直线l：2x+3y=0

的平面区域如下图所示：

，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大

把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由故选D

可得x=5，y=15，此时z=55

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．　

2． 【答案】D

【解析】解：由已知，|+2|2=12，即故选D．

【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．　

3． 【答案】B

，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；

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【解析】解：（3x2+令2n﹣5r=0，则有n=故选：B．

）n（n∈N+）的展开式的通项公式为Tr+1=，

•（3x2）n﹣r•2r•x﹣3r=•x2n﹣5r，

故展开式中含有常数项的最小的n为5，

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　

4． 【答案】D

【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．故选；D．　

5． 【答案】A

【解析】解：∵f（x）=x3﹣3x2+5，∴f′（x）=3x2﹣6x，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故选：A．

【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．　

6． 【答案】D

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q2+q4）=21，解得q2=2．则a2a6=9×q6=72．故选：D．　

7． 【答案】B 【解析】

试题分析：函数fxcosx5,f'xsinxcosx，所以函数336fxcosx，所以将函数函数yf(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到

325ycosxcosx，故选B.

326考点：函数yAsinx的图象变换.

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8． 【答案】 　D【解析】

古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．

【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．

【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；∴所求的概率为故选D．

【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．9． 【答案】D

【解析】解：由zi=1+i，得∴z的虚部为﹣1．故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．　

10．【答案】C

【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；

对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y应平均减少5个单位，②错误；对于③，线性回归方程y=bx+a必过样本中心点系时，

我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误；综上，其中错误的个数是2．故选：C．　

11．【答案】A

，正确；

对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关

，

=

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【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q，

则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a．

由圆的切线性质PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，

∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a．故选A．

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．　

12．【答案】 B

【解析】解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；x＜0时，故选：B．

【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．　

＜x无解，∴命题q是假命题；

∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；

二、填空题

13．【答案】　﹣6　．

【解析】解：由约束条件

，得可行域如图，

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使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．故答案为：﹣6．　

14．【答案】2【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a与b的夹角为∴|a2b|2，ab1，3(a2b)2|a|24ab4|b|22．

15．【答案】10【解析】【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．

【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）

设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，

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最大值为：10．故答案为：10．

16．【答案】　240　．

【解析】解：a=

（

cosx﹣sinx）dx=（

sinx+cosx）

=﹣1﹣1=﹣2，•2r•x12﹣3r，

•24=240，

则二项式（x2﹣）6=（x2+）6展开始的通项公式为Tr+1=

令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是故答案为：240．

【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．　

17．【答案】　（2，2）　．

【解析】解：∵loga1=0，∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，

则函数y=loga（x﹣1）+2的图象恒过定点 （2，2）．故答案为：（2，2）．

【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，属于基础题．　

18．【答案】2【解析】结合函数的解析式可得：f11211，

32对函数求导可得：f'x3x2，故切线的斜率为kf'13121，

2则切线方程为：y11x1，即yx2，

2圆C：x2ya2的圆心为0,a，则：a022.

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵f（5）=3，∴即loga27=3解锝：a=3…（2）由（1）得函数则

=

（3）不等式f（x）＜f（x+2），

，…

，

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即为化简不等式得

∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且∴x2+2＜x2+4x+6…即4x＞﹣4，解得x＞﹣1，

所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…　

20．【答案】（1）m1；（2）当m（3）efx2…

的定义域为R．

ee时，hxmax1me；当m时，hxmaxm；e1e1gx.

【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．

xxx由fxe，知e01，解得x00，

试题解析：（1）设曲线fxe与gxxm相切于点Px0,y0，又可求得点P为0,1，所以代入gxxm，得m1.

x（2）因为hxxme，所以hxexxmexxm1ex,x0,1.①当m10，即m1时，hx0，此时hx在0,1上单调递增，所以hxmaxh11me；

②当0m11即1m2，当x0,m1时，hx0,hx单调递减，当xm1,1时，hx0,hx单调递增，h0m,h11me.

em2时，hxmaxh0m；e1e（ii）当m1me，即1m时，hxmaxh11me；

e1③当m11，即m2时，hx0，此时hx在0,1上单调递减，

（i）当m1me，即所以hxminh0m.综上，当m当me时，hxmax1me；e1e时，hxmaxm.e1x2fx2（3）当m0时，eee,gxx，

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①当x0时，显然e②当x0时，lnefx2gx；

x2fx2lneeex2,lngxlnx，

1exlnx，2e111则x2exex2，可知x在0,上单调递增，又由10,20知，x在

exx110,上有唯一实根x0，且1x02，则x0ex020，即ex02（*），

x0x0记函数xex2lnx当x0,x0时，x0,x单调递减；当xx0,时，x0,x单调递增，所以xx0e结合（*）式ex02x02lnx0，

1，知x02lnx0，x02x022x01x011x020，所以xx0x0x0x0则xe综上，ex2lnx0，即egx.

x2lnx，所以eex2x.

fx2试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小．21．【答案】（1）

2（2）X的分布列为5数学期望为E(X)011124700--10002000300036105323423455解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为

2-------------4分5（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

212312341，P(X1000)(1)，P(X2000)(1)33346345102342P(X3000)------------------9分

3455P(X0)1第 13 页，共 16 页

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所以，X的分布列为数学期望为E(X)022．【答案】 【解析】解：（1）且

，代入回归直线方程可得

， =5…

11124700---------------------12分100020003000361053∴=0.6x+3.2，x=6时， =6.8，…

（2）X的取值有0，1，2，3，则

，

，

，

其分布列为：

XP……

0123【点评】本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．　

23．【答案】（1）；（2）0a1.1111]【解析】

则

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1f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立，

x1而当x0时，(x)3231，

x∴a1.

若函数f(x)在(0,)上递减，

则f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立，这是不可能的.综上，a1.的最小值为1. 1

（2）由f(x)(a)x(a2)x2lnx0，得(a)x(2a)x2lnx，

1x1221221(1)x22x(lnxx)lnxxlnxx1x2lnxxr(x)即a，令，，r'(x)x2x2x3x3得1x2lnx0的根为1，

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.

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请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.24．【答案】

【解析】解：由题意可得：

∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，∴f（2）﹣f（1）=a2﹣a=a，解得a=0（舍去），或a=．∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，∴f（1）﹣f（2）=a﹣a2=故a的值为或．

【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．　

，解得a=0（舍去），或a=．

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