1-2-6练习

A组

(时间：50分钟 满分：81分)

一、填空题(本题共7小题，每小题5分，共35分)

1．(2011·北京)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k ＝________.

解析 因为a－2b＝(3，3)，所以由(a－2b)∥c得3×3－3k＝0，解得k＝1. 答案 1

2．(2011·苏州教学调研)在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝4，则边AB的长等于________．

222

bccos A＝4，b＋c－a＝8，

解析 由题意，得即222

accos B＝4，a＋c－b＝8，

→→→→

解得c＝22，即AB＝22. 答案 22

3．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________． 解析 由(a＋2b)·(a－b)＝|a|2＋a·b－2|b|2＝－2得a·b＝2，即由|a|·|b|cos〈a，b〉＝2，cos 1π

〈a，b〉＝.故〈a，b〉＝. 23π

答案 3

4．(2010·浙江)已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，所以α2－2α·β＝0.

1又因为|α|＝1，所以α·β＝.因为|β|＝2，所以|2α＋β|＝2α＋β2＝4α2＋4α·β＋β2＝

214＋4×＋4＝10.

2答案

10

5．关于平面向量a，b，c有下列三个命题：

①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a 和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________． 解析 ①a·b＝a·c，有|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，得不到b＝c，错误． ②a＝(1，k)，b＝(－2,6)，因为a∥b，所以b＝λa，得k＝－3.正确．

③设|a|＝|b|＝|a－b|＝m(m>0)，则有(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝m2，所以2a·b＝m2. m23m2a·(a＋b)＝a＋a·b＝m＋＝，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝m2＋m2＋m2＝3m2，所以cos

22

2

2

32m2a·a＋b3

〈a，a＋b〉＝＝＝.所以〈a，a＋b〉＝30°.故③错误．

|a||a＋b|m·3m2答案 ②

6．(2010·聊城一模)在△ABC中，已知向量AB＝(cos 18°，cos 72°)，BC＝(2cos 63°，2cos 27°)， 则△ABC的面积等于________．

解析 因为AB·BC＝2(cos 18°cos 63°＋cos 72°cos 27°) ＝2(cos 18°cos 63°＋sin 18°sin 63°)＝2cos 45°＝2， |AB|＝1，|BC|＝2，所以cos B＝ ＝1→→122故S△ABC＝|AB||BC|sin B＝×1×2×＝.

2222答案

2 2

→→→→→→22，sin B＝， 22

7．在△ABC中，已知2AB·AC＝|AB|·|AC|，∠CAB＝α，cos(β－α)＝＝________.

→→→→π5π43，β∈3，3，则cos β 7

→→→→131

解析 由2AB·AC＝|AB|·|AC|，得cos α＝，从而sin α＝.又sin(β－α)＝，所以cos β＝cos(β

227

4311333

－α＋α)＝cos(β－α)·cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝. 727214答案

33

14

二、解答题(本题共3小题，共46分)

8．(本小题满分14分)(2010·福建)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}． (1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；

(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．

解 (1)有序数组(m，n)的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)， (2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．

(2)由am⊥(am－bn)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，所以 事件A包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个，又基本事件的总数为16，故所求的概率 21为：P(A)＝＝.

168

9．(本小题满分16分)(2010·南京二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 sin A3cos C

＝. ac(1)求角C的大小；

(2)若a＋b＝6，CA·CB＝4，求c的值． acsin A3cos C解 (1)因为＝，＝，

sin Asin Cac

π

所以sin C＝3cos C，即tan C＝3.又03(2)因为CA·CB＝4，所以CA·CB＝|CA|·|CB|cos C

1

＝ab＝4，即ab＝8.又因为a＋b＝6，所以由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋ 2

b)2－3ab＝12，所以c＝23.

10．(本小题满分16分)(2010·无锡调研)如右图，在△OAB中，已知

P为线段AB上的一点，OP＝x·OA＋y·OB.

(1)若BP＝PA，求x，y的值；

(2)若BP＝3PA，|OA|＝4，|OB|＝2，且OA与|OB|的夹角为60°，求OP·AB的值．

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→1→1→解 (1)因为BP＝PA，所以BO＋OP＝PO＋OA，即2OP＝OB＋OA，所以OP＝OA＋OB，

22

11

所以x＝，y＝.

22

→→→→→→→→→→3→1→(2)因为BP＝3PA，所以BO＋OP＝3PO＋3OA，即4OP＝OB＋3OA，所以OP＝OA＋OB.所以

44→→→→1→3→1→→12321

OP·AB＝ ·(OB－OA)＝OB2－OA2＋OA·OB＝4×2－4×4＋2×4×

442

1

2×＝－9. 2

B组

(时间：35分钟 满分：50分)

一、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

1．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点， 则|PA＋3PB|的最小值为________．

解析 建立平面直角坐标系如右图所示，设P(0，y)，C(0， b)，B(1，b)，A(2,0)，则PA＋3PB＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b －4y)．所以|PA＋3PB|2＝25＋(3b－4y)2＝16y2－24by＋9b2＋

25(0≤y≤b)．

→→→→→→→→－24b3当y＝－＝b时，|PA＋3PB|min＝5.

2×164

答案 5

2．(2011·南通模拟)如右图所示，已知O为原点，若点A，B的坐标分别 为(a,0)，(0，a)，a∈R，当点P在线段AB上运动，且AP＝tAB (0≤t≤1) 时，OA·OP的最大值是________．

解析 因为OP＝OA＋AP＝OA＋tAB＝OA＋t(OB－OA)＝tOB＋(1－t) OA，所以OA·OP＝tOA·OB＋ (1－t) OA2＝(1－t)a2≤a2(当且仅当t＝0时，取“＝”号)． 答案 a2

3．(2011·江苏高考信息卷)如右图，A，B，C是直线l上三 点，P是直线l外一点，已知AB＝BC＝a，∠APB＝90°， ∠BPC＝45°，则PA·PC＝________.(用a表示)

PBaPA2a解析 在△PBC与△PAC中，由正弦定理，得＝，＝，所以PA

sin Csin 45°sin Csin 135°＝2PB，又AB＝a，所以PA＝ →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→2

a，又B是AC中点，所以2PB＝PA＋PC， 5→→→→4

两边乘上PA，得PA·PC＝－PA2＝－5a2.

4答案 －a2

5

→2→1→→2

4．如右图所示，设P、Q为△ABC内的两点，且AP＝AB＋AC，AQ＝

553→1→AB＋4AC，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为________．

解析 以点A为坐标原点建立直角坐标系，不妨设B(a,0)，C(b，c)，

→22111

则AP＝(a,0)＋(b，c)＝5a＋5b，5c， 55→22111

AQ＝3(a,0)＋4(b，c)＝3a＋4b，4c，

11

×a×c54S△ABP2

∴＝＝.

15S△ABQ1

×a×c244

答案 5

二、解答题(本题共2小题，共30分)

5．(本小题满分14分)设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，若向量m＝ 91－cosA＋B，cosA－B，n＝5，cosA－B，且m·n＝. 8228

(1)求tan A·tan B的值； (2)求

absin C

的最大值．

a＋b2－c22A－B91＋cosA－B955

解 (1)由m·n＝，得[1－cos(A＋B)]＋cos2＝，即[1－cos(A＋B)]＋

8828829

＝， 8

也即4cos(A－B)＝5cos(A＋B)，所以4cos Acos B＋4sin Asin B＝5cos Acos B－5sin Asin B， 1所以9sin Asin B＝cos A·cos B，tan Atan B＝. 9

absin Cabsin C11

(2)因为2＝＝tan C，且tan A·tan B＝，tan A>0，tan B>0，所以tan C

9a＋b2－c22abcos C2tan A＋tan B99

＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－＝－(tan A＋tan B)≤－×

881－tan Atan B

313

2tan A·tan B＝－，当且仅当tan A＝tan B＝时等号成立．所以tan C取最大值－，从

434absin C3

而222取最大值－. 8a＋b－c

6．(本小题满分16分)设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上An、Bn(n ∈N*)分别满足下列两个条件：①AQ1＝j且 ＝i＋j；②OB1＝3i且 ＝

→→2n×3i. 3

(1)求OAn及OBn的坐标；

(2)若四边形AnBnBn＋1An＋1的面积是an，求an(n∈N*)的表达式；

(3)对于(2)中的an，是否存在最小的自然数M，对一切n∈N*，都有an→→

解 (1) OAn＝OA1＋ ＋„＋ ＝j＋(n－1)(i＋j)＝(n－1)i＋nj＝ (n－1，n)，

→→2n1－→→321222n－1

OBn＝OB1＋ ＋„＋ ＝3i＋3×3i＋3×3i＋„＋3×3i＝

21－32n，0. ×3i＝9－9×3

(2)如右图所示，延长A2A1交x轴于点P，依题意知P为(－1,0)， 12n＋1×(n＋1)－1 an＝S△PAn＋1Bn＋1－S△PAnBn＝10－9×322

10－9×2n×n＝5＋(n－2)×2n－1.

33(3)an－an＋1

2n－1－5＋n－1×2n ＝5＋n－2×33

2n－12 ＝n－2－n－1×33

2n－11

＝(n－4)×3，所以a1－a2<0，a3－a4<0，a3－a4<0，a4－a5＝0，a5－a6>0，a6－ 3

16

a7>0，„，即在数列{an}中，a4＝a5＝5＋是数列的最大项．所以存在最小的自然数M

27＝6，对一切n∈N*，都有an