● 解题技巧与方法 謦● ● 越 瑾 交肇 ◎胡意荣闻题鳓就翩绕 ５２７４００） （广东省新兴一中，广东 云浮近年来在高考和各地模拟考中对于超越函数的图像非 贝０导数ｈ （ ）＝（ 一１）（ｅ一 一ｅ 一 ）＝（ 一１）ｅ一 （１一 对称性问题的考查比较深入，经常以压轴题的形式出现，难 ｅ ）＜０（ ＜１），则ｈ（ｘ）在（一＊，１］上递减． 度很大，令很多考生无从下手．针对这种题型，我们可以借 又因为 。＜１，则ｈ（ ）＞ｈ（１）＝０， 鉴二次函数的对称性，把这些图像不对称的函数问题转化 即（２一 ）ｅ 一 ｅ －＞０，故原结论正确．证毕． 到极点同侧的等价问题来解决．这种数学思想方法可以让 评注：此外，用分析法转化为论证不等式（２一 ）ｅ ～一 考生找到明确方向，并体验到成功的喜悦． ，ｅ～２＜０也是可行的． 一、两个结论 例２ （２０１６年全国新课标卷Ｉ理科第２１题）已知函 我们熟知一个平常结论：如果二次函数ｌ厂（ ）＝ａｘ ＋ ＋ｃ的图像以直线 ：‰为对称轴，且，（ 。）＝，（ ），那么 数，（ ）＝（ 一２）ｅ ＋ｏ（ 一１） 有两个零点． ｌ＋ ２ ２ｘ０． （Ｉ）求ａ的取值范围； 注意 ＝‰是该二次函数ｆ（ ）的最值点，而对于超越 （ＩＩ）设 ， ２是 ）的两个零点，证明 ｌ＋ ２＜２． 说明本题满分ｌ２分，根据２０１６年广东高考年报显 函数有何相应结论呢？ 示，广东考生本题得分的平均分仅为０．６分，难度系数为 定理１如果函数，（ ）在（ｍ， 。］上递增 在［ 。，ｎ）上 ０．０５，可见此题的难度之大，下面给出详解第（ＩＩ）小题． 递减，且，（ １）＝，（ ），（其中 １＜‰＜ ），那么 解（１）ａ的取值范围为（０，＋ｏｏ）． （１） ｌ＋９Ｃ２＞２ＸｏＣ￣（２Ｘｏ一 ）ｆ（ｘ１） ２‰－ｘ２）ｆ（ｘ２）； （１Ｉ）求导数得厂（ ）＝ｅ ＋（ 一２）ｅ ＋２ａ（ 一１） （２）ｘｌ＋ ２＜２Ｘｏ￣：：ｆ，（２Ｘｏ— １）ｆ（ｘ１）￣，ｆ（２Ｘｏ－ｘ２）ｆ（ｘ２）． 定理２如果函数 ）在（ｍ，‰］上递减，在［‰，ｎ）上 ＝ｅ （ 一１）＋２ａ（ 一１） ＝（ 一１）（ｅ ＋２０）（已求ａ＞０）， 递增，且 ）＝ ２），（其中 。＜ 。＜ ２），那么 则－厂（ ）在（一。。，１］上递减，在［１，＋＊）上递增． （１） ｔ＋ ２＞２Ｘｏｅ：￣ｆ（２ｘｏ一 １）ｆ（ｘ１）々 ２‰一 ２）ｆ（ｘ２）； 又因为，（ 。）＝０：，（ ），则不妨取 ＜１＜ ２． （２） １＋ ＜２‰｛＝ ２‰一 ｔ）） １） （２ 一 ２）・： ）． 根据定理２，欲证明目标式 ＋ ：＜２， 注意，定理１、定理２中的条件都分别出现两个半开半 闭区间（ｍ， 。］，［‰，ｎ），其实依次替换成［ｍ，‰］，［ 。，／／，］， 即只要证，（２一 ）＜ ：）， 或者（ｍ，‰］，［‰，ｒ／，］，或者［ｍ，‰］，［‰，ｎ），也都是可以的． 即只要证（２一 ２—２）ｅ 一 ＋ａ（２一 ２—１） ＜０， 二、应用举例 即只要证９ｆ２ｅ…。一ａ（１一 ２） ＞０． 上述两个定理可应用于符合条件的任何函数，而应用 又因为０＝，（ ２）＝（ ２—２）ｅ ＋ａ（ｘ２—１） ， 于超越函数却具有很强的针对性． 例１ （２０１０年天津高考数学理科第２１题）已知函数 则只要证 一 （１＿ ：） ＞ｏ， ２一ｊ， ＿厂（ ）＝ ・ｅ一 （ ∈Ｒ）． 贝０只要证 ２ｅ 一 ＋（ ２—２）ｅ ＞０． （Ｉ）求函数．厂（ ）的单调区间和极值； 由此令ｇ（ ）＝ ｅ 一 ＋（ ～２）ｅ （ ≥１）， （Ⅱ）已知函数Ｙ＝ｇ（ ）的图像与函数Ｙ－－ｆ（ ）的图像 则当 ＞１时导数ｇ （ ）＝（ 一１）（ｅ 一ｅ ）＞０， 关于直线 ＝１对称，证明当 ＞１时 ）＞ｇ（ ）； 则函数ｇ（ ）在区间［１，＋ ）上递增． （Ⅲ）如果 ｌ≠ ２，且，（ １）－－ｆ（ ２），证明 １＋ ２＞２． 又因为 ２＞１，则ｇ（ ）＞ｇ（１）＝０， 说明第（Ｉ）、（Ⅱ）小题比较简单，略解．第（１１Ｉ）问即 即 ：ｅ ：＋（ ２—２）ｅ ＞０，故原结论正确．证毕． 为超越函数非对称性的问题，常规解法的思路弯绕，下面给 评注：此例虽然与例１是～脉相承的，但在运用分析法 出流畅解答． 解（Ⅲ）求导数得 （ ）＝ｅ （１一 ）． 的环节中却增加了代入一个参数。： ，这就增强 ２—１， 令厂（ ）＝０，解得 ＝１，由此记 。＝１．易知，函数ｆ（ ） 了对学生的能力考查． 在（一ｏ。，１］上递增，在［１，＋ ）上递减．由于 ≠ 且 限于篇幅，不再举例，最后提供一道附加题，供读者 ，（ 】）＝，（ ２），则不妨设 １＜１＜ ２． 练习． 运用定理１知，欲证明目标式 ＋ ２＞２，只要证 已知．厂（ ）＝ｌｎｘ一 ，ａ∈Ｒ． ／ ２ ０一 １）＞ １）， （Ｉ）若函数，（ ）在 （１，＋ ）上单调递减，求实数 即只要证，（２一 ）＞，（ 。）， ｎ的取值范围； 及Ⅱ只要证（２一 】）ｅ ｌ一 ＞ １ｅ一 １， （Ⅱ）当０＝１时，ｇ（ｘ）＝，（ ）＋ ＋ 一ｍ有两个零点 即只要证（２一 ，）ｅ Ｉ～一 １ｅ ＞０． 由此令ｈ（ｘ）：（２一 ）ｅ 一 一 ｅ一 （ ≤１）， １＜ｘ２，求证： １＋ ２＞１． 数学学习与研究２０１７．１５