导数复习知识点总结

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－

yf（x0），比值x叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即yf(x0x)f(x0)yxx=。如果当x0时，x有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|xx0。

即f（x0）=x0说明：

limf(x0x)f(x0)ylimxx=x0。

yy（1）函数f（x）在点x0处可导，是指x0时，x有极限。如果x不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。

（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；

yf(x0x)f(x0)x（2）求平均变化率x=；

y（3）取极限，得导数f’(x0)=x0x。

lim2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。

3．几种常见函数的导数:

x①C0; ②

xxnnxxn1; ③(sinx)cosx; ④(cosx)sinx;

⑤(e)e;⑥(a)alna; ⑦

xlnx11logaxlogaex; ⑧x.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

'''即： (uv)uv.

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

'''(uv)uvuv. 函数乘以第二个函数的导数，即：

'''''(Cu)CuCu0CuCu若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函''(Cu)Cu. 数的导数：

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，

uu'vuv'2再除以分母的平方：v‘=v（v0）。

形如y=f(x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X= y＇|U ·u＇|X

2010高考数学复习详细资料——导数应用 知识清单

单调区间：一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，

'f如果(x)0，则f(x)为增函数； '如果f(x)0，则f(x)为减函数；

'f如果在某区间内恒有(x)0，则f(x)为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率

为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?(x)在(a，b)内的极值； ②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? (x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分

（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0式In＝i＝1fn(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做

b函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：af(x)dx，即baf(x)dx＝

limfni1n(ξi)△x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。 基本的积分公式：

0dx＝C；

1m1xxdx＝m1＋C（m∈Q， m≠－1）；

m1xdx＝lnx＋C；

xedx＝e＋C；

xaxxadx＝lna＋C；

cosxdx＝sinx＋C；

sinxdx＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

（2）定积分的性质 ①abkf(x)dxkf(x)dxabab（k为常数）；

ba②a③abf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxaccb；

b（其中a＜c＜b)。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x＝a，x＝b（aSf(x)dxab。

如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（abaf1(x)dxf2(x)dxab。

课前预习

1．求下列函数导数

（1）

yx(x2111xxy(x1)(1)3)yxsincosxxx （2）22 （3）

3x2xx5x9x2x（4）y=sinx （5）y＝

4yx2．若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为（ ）

A．4xy30 B．x4y50 C．4xy30 D．x4y30

2yxx1的切线，则其中一条切线为（ ） 3．过点（－1，0）作抛物线

（A）2xy20 （B）3xy30 （C）xy10 （D）xy10 4．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于

1的式子： ； ○

2式可以用语言叙述为： 。 ○

y12x和yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积

5．曲线

是 。

6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f（x）0，则必有（ ） A．f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1） C．f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）

7．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

fx1xaxeyfxx0,11x。（Ⅰ）设a0，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意

8．已知函数恒有

fx1，求a的取值范围。

32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是（ ） 9．

(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4

322x3(a1)x1,其中a1. 10．设函数f(x)=

（Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）讨论f(x)的极值。

3f(x)x3x2分别在x1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标11．设函数

（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）分别为、，该平面上动点P满足PA•PB4,点Q是点P关于直线

y2(x4)的对称点.求

(I)求点A、B的坐标； (II)求动点Q的轨迹方程.

12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

13．计算下列定积分的值 （1）1（2）213(4xx2)dx

(x1)5dx； ；

（3）20(xsinx)dx（4）

2cosxdx22；

14．（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。

（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax． 典型例题

一 导数的概念与运算

EG：如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ） A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s 变式：定义在D上的函数f(x)，如果满足：xD，常数M0， 都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

【文】（1）若已知质点的运动方程为

S(t)1att1，要使在t[0,)上的每一时刻的

瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【理】（2）若已知质点的运动方程为S(t)2t1at，要使在t[0,)上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

EG：已知

f(x)1f(2x)f(2),则limx0xx的值是（ ）

A.

114 B. 2 C. 4 D. －2

f3hf3为2h（ ）

变式1：

设f34,则limh0A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1

fx0xfx03x等于x

变式2：

A．

设fx在x0可导,则limx0（ ）

2fx0 B．

fx0 C．

3fx0 D．

4fx0

曲线h(t)在t0,t1,t2附近得变化情况。根据所给的函数图像比较 变式：函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

//0f(2)f(3)f(3)f(2) y A.

//0f(3)f(3)f(2)f(2) B.

//0f(3)f(2)f(3)f(2) C.

//0f(3)f(2)f(2)f(3) O 1 2 3 4 x D.

EG：求所给函数的导数：

x31（文科）yxlog2x; yxe; ysinx(理科）y(x1)99; y2ex; y2xsin2x53nx。

变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,f(x)g(x)f(x)g(x)＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 A．(－3,0)∪(3,+∞)

B．(－3,0)∪(0, 3)

C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

EG：已知函数yxlnx.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点x1处的切线的方程.

xye变式1：已知函数.

（1）求这个函数在点xe处的切线的方程； （2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.

变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )

111A. 8 B. 4 C. 2 D. 1

EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

x变式1：函数f(x)xe的一个单调递增区间是

A.1,0 B. 2,8 C. 1,2 D. 0,2

变式2：已知函数

y13xx2ax53

(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a的是 . (2)若函数在[1,)上是单调增函数，则a的取值范围是 .

32f(x)xax与g(x)bxc的图象的一个公共点，t0t变式3： 设，点P（，0）是函数

两函数的图象在点P处有相同的切线. （Ⅰ）用t表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围.

1f(x)x34x43EG：求函数的极值.

1f(x)x34x40,33求函数在上的最大值与最小值..

变式1： 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ） A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

32f(x)axbxcx在点x0处取得极大值5，其导函数yf'(x)的图象经变式2：已知函数

过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）

x0的值；（Ⅱ）a,b,c的值.

34变式3：若函数f(x)axbx4，当x2时，函数f(x)极值3，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数f(x)k有3个解，求实数k的取值范围．

变式4：已知函数

f(x)x312x2xc2，对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，

求c的取值范围。

xlnxxe,x0 EG：利用函数的单调性，证明：

变式1：证明：

11lnx1xx1，x1

变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

32f(x)x3xxR,fmxf1mx0恒成立,求实数m的取值范围 EG： 函数若

fmsinf1m003f(x)x3xxR,2恒成立，变式1:设函数若求实数m的取值范围.

2变式2:如图,曲线段OMB是函数f(x)x(0x6)的图象,BAx轴于点A,曲线段OMB2(t,t)处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q， 上一点M

(1)若t已知,求切线PQ的方程 (2)求QAP的面积的最大值

变式3:用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个

小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？

变式4:某厂生产某种产品x件的总成本

c(x)120023x75（万元），已知产品单价的平方与

产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？ EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分） 变式1：计算：；

（1）

20cos2x2dx4x2dxcosxsinx；（2）0

2y变式2： 求将抛物线x和直线x1围成的图形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积.

12x0上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为12，yx变式3：在曲线

试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程. 实战训练

1. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为( )

2. 已知曲线S:y=3x－x3及点P(2,2),则过点P可向S引切线的条数为( ) (A)0

(B)1

(x0,y0) (C)2 (D)3

.

3. C设S上的切点

求导数得斜率，过点P可求得:

(x01)(x02)204. 函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（ ）. 5. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于( ) (A)6

(B)0 (C)5

(D)1

6. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) (A)1，－1

(B)3，-17

(C)1，－17 (D)9，－19

7.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(2,0)处的切线，则l1

与l2的夹角为___________.

8. 设函数f (x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 .

，f(1))处的切线方程是9．（07湖北）已知函数yf(x)的图象在点M(1f(1)f(1)

y1x22，则

33]上的最小值是 10．（07湖南）函数f(x)12xx在区间[3，32yx2x4x2在点(1，3)处的切线方程是 9．. 已知函数11．（07浙江）曲线

f(x)x3ax2b(a,bR)

（Ⅰ）若函数f(x)图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：3a3； （Ⅱ）若

x0,1k≤1，函数yf(x)图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论的充

要条件。

12．(07安徽)设函数值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值. 实战训练B

，)g(x)g(，x)且x0时，1．（07福建）已知对任意实数x，有f(x)f(x(xf(x)0，g)，则0x0时（ ）

xf（x）=-cos2x-4tsin2cos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小

x2tA．f(x)0，g(x)0 C．f(x)0，g(x)0

1x2

B．f(x)0，g(x)0 D．f(x)0，g(x)0

2ye(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） 2．（07海南）曲线在点

92e2Ａ．

Ｂ．4e

2

Ｃ．2e

2

Ｄ．e

2x2ye(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） 3．（07海南）曲线在点

92eＡ．4

Ｂ．2e

2

Ｃ．e

2e2Ｄ．2

2f(x)axbxc的导数为f'(x)，f'(0)0，对于任意实数x4．（07江苏）已知二次函数

f(1)都有f(x)0，则f'(0)的最小值为（ ）

53A．3 B．2 C．2 D．2

0xπ2，则下列命题中正确的是（ ）

5．（07江西）5．若

A．

sinx3344xsinxxsinx2x2sinx2x2π B．π C．ππ D．

0xπ2，则下列命题正确的是（ ） sinx2xπ

sinx3xπ

sinx3xπ

6．（07江西）若

A．

sinx2xπ

B．C．D．

7．（07辽宁）已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x0时的函数值为0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ） A．0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值 B．0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值 C．0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值 D．0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值

41yx3x1，38．（07全国一）曲线在点3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）

1A．9 2B．9 1C．3 2D．3

x21y4的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（ ） 9．（07全国二）已知曲线

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（07浙江）设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

1f(x)x32x1311． (07北京)f(x)是的导函数，则f(1)的值是 12．（07广东）函数f(x)xlnx(x0)的单调递增区间是

3f(x)x12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，13．（07江苏）已知函数

则Mm

22f(x)tx2txt1(xR，t0)． 14．（07福建）设函数

（Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；

2)恒成立，求实数m的取值范围． （Ⅱ）若h(t)2tm对t(0，2f(x)2ax2x3a．a15．(07广东)已知是实数，函数如果函数yf(x)在区间[1,1]上

有零点，求a的取值范围．