1996全国高考理科数学试题

数学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共65分）

注意事项:

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

一．选择题：本大题共15小题,第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1) 已知全集I=N，集合A={x│x=2n,n∈N｝，B=｛x│x=4n，n∈N｝，则 （A) IAB

（B)IAB

（C) IAB

( ）

(D) IAB

（ )

（2） 当a〉1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=logax的图像

(3） 若sin2x〉cos2x，则x的取值范围是 (A） x2k（ )

31x2k,kZ 44(B) x2k15x2k,kZ 44（C） xk11xk,kZ 4413xk,kZ 44等于

( )

（D） xk（4） 复数

(22i)4(13i)5(A) 13i （B） 13i （C) 13i (D） 13i

(5） 如果直线l、m与平面、、满足：l,l∥,,m和m⊥，那么必有

(A）α⊥γ且l⊥m (C）m∥β且l⊥m （6） 当

(B)α⊥γ且m∥β

（ ）

(D)α∥β且α⊥γ

( )

2x2时,函数f(x)sinx3cosx的

(B） 最大值是1，最小值是－

（A) 最大值是1,最小值是－1 (C) 最大值是2，最小值是－2 （7) 椭圆1 2（D） 最大值是2，最小值是－1

（ ）

x33cos,的两个焦点坐标是

y15sin(B) (3，3),（3，－5） (D) （7，－1),(－1，－1）

（A) （－3，5)，(－3，－3) （C） （1，1)，(－7，1)

(8)若0（A）

 2（ ) ,则arcsin[cos()]arccos[sin()]等于

22（B) － (C) －2 (D） －－2

222（9） 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D－ABC的体积为

( )

a3(A）

6a3（B)

12(C）

33a 12（D）

23a 12（10） 等比数列an的首项a1=－1，前n项和为S n ，若

S1031 则limSn等于nS532（ )

(A）

2 3(B） －

2 3(C) 2 (D） －2

（11) 椭圆的极坐标方程为

(A) （3,0），（1，）

3,则它在短轴上的两个顶点的极坐标是

2cos( )

3），(3，）

225（C) （2，），(2，）

33（B) (3，（D) （7，arctg33)，（7，2-arctg） 22（12) 等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为

(A) 130

(B） 170

（C) 210

(D) 260

( ）

x2y2（13） 设双曲线221(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)(0,b)两点，已

ab知原点到直线l的距离为

3c，则双曲线的离心率为 4（B)

( ）

（A) 2

3

(C)

2 (D）

23 3（ )

（14） 母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于 (A）

22 3（B）

23 3(C)

2

（D)

26 3(15) 设f（x)是（－∞，+∞）上的奇函数，f(x+2）=－f（x）,当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5) 等于

(A) 0。5

(B) －0。5

(C） 1。5

( ）

（D) －1。5

第Ⅱ卷（非选择题共85分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．

(16）已知圆xy6x70与抛物线y2px(p0)的准线相切，则P= 222（17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答） (18） tg20tg403tg20tg40的值是 (19)如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是

三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（20)解不等式loga(11)1． x112，cosAcosCcosB（21）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：AC2B,求cosAC的值． 222．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．

（Ⅰ)求证:BE=EB1;

(Ⅱ)若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．

注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为（Ⅰ)的完整证明，并解答（Ⅱ)．(右下图）

(Ⅰ)证明:在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足． ① ∵

∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC,

② ∵

∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．

③ ∵

∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG, ④ ∵ ∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC， ⑤ ∵ ∴FG111AA1BB1,即BEBB1,故BEEB1 22223．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?

(粮食单产=

总产量总产量,人均粮食占有量=)

耕地面积总人口数2224．已知l1、l2是过点P(2,0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线yx1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．

（Ⅰ）求l1的斜率k1的取值范围；

(Ⅱ)若

A1B15A2B2,求l1、l2的方程

25．已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2+bx+c,g(x）=ax+b，当－1≤x≤1时,│f（x)│≤1．

（Ⅰ)证明：│c│≤1；

（Ⅱ）证明：当－1≤x≤1时，│g(x)│≤2；

(Ⅲ）设a〉0,当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x）．

1996年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类)参考解答及评分标准

说明：

一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的

一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第（1）－（10）题每小题4分，第（11)－（15)题每小题5分．满分65分．

(1)C （2）A

(3)D

（4）B （5）A （6）D (7)B (13）A （14)D

（15）B

(8）A (9）D

（10)B （11）C （12)C

二．填空题:本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

(16）2 （17）32

三．解答题

(20）本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．

解：（Ⅰ）当a＞1时，原不等式等价于不等式组：

（18）3

(19）

2 4110,x 11a.x由此得1a——2分

1． x因为1－a<0，所以x<0， ∴

1x0. 1a——5分

(Ⅱ）当0〈a〈1时,原不等式等价于不等式组:

1① 10,x 11a.② x由①得,x〉1或x<0，

——7分 由②得,0x∴1x1, 1a——10分

1 1a综上，当a1时，不等式的解集为x1x0；

1a1 1a——11分

当0a1时，不等式的解集为x1x(21）本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．

解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°． ∵

--2分

222, cos60∴

1122 cosAcosC将上式化为cosAcosC22cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式,上式可化为

ACACcos2[cos(AC)cos(AC)] 22AC11将coscos60,cos(AC)代入上式得

2222coscos(AC2)2cos(AC) 222—-6分

AC)1代入上式并整理得 2ACAC42cos2()2cos()320

22ACAC(2cos2)(22cos3)0,

22AC30, ∵22cos2AC20. ∴2cos2将cos(AC)2cos(从而得cos-—9分

AC2. 22—-12分

解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°．

设所以

AC,则AC2,可得A60，C60 2——3分

1111 cosAcosCcos(60)cos(60)113cossin22113cossin22

cos

13cos2sin244cos 3cos24依题设条件有

——7分

coscos2342， cosB∵cosB∴

1 2cos3cos2422

2整理得42cos2cos320,

--9分

(2cos2)(22cos3)0,

∵22cos30， ∴2cos20． AC2． 22——12分

从而得cos

（22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．

（Ⅰ） ①∵面A1EC⊥侧面AC1，

②∵面ABC⊥侧面AC1， ③∵BE∥侧面AC1，

——2分 ——3分 -—4分

④∵BE∥AA1， ⑤∵AF=FC，

-—5分 ——6分

（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D． ∵EB1∥CC1,EB1∴DB111BB1CC1， 221DC1B1C1A1B1, 21（180°－∠D B1A1)=30°， 2-—9分

∵∠B1A1C1=∠B1 C1A1=60°, ∠DA1B1=∠A1DB1=

∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°,即DA1⊥A1C1

∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C， 所以∠CA1C1是所求二面角的平面角． ∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=90°， ∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45°

-—12分 -—11分

（23）本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用,近似计算的方法和能力．满分10分．

解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷．

依题意得不等式

M(122%)(10410x)M104(110%) 10PP(11%)3——5分

1.1(10.01)10] -—7分 化简得x10[11.221.1(10.01)10] ∵10[11.2231.112(1C100.01C100.012)] 1.221.1103[11.1045]

1.22103[14.1

∴x≤4（公顷）．

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．

—— 9分

-—10分

（24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．

解：（I)依题设，l1、l2的斜率都存在,因为l1过点P(2,0)且与双曲线有两个交点，故方程组

yk1(x2)(k10) ① 22yx1有两个不同的解．在方程组①中消去y，整理得

-—1分

(k121)x222k12x2k1210 ②

若k110，则方程组①只有一个解,即l1与双曲线只有一个交点,与题设矛盾，故

2k1210，即k11，方程②的判别式为

1(22k12)24(k121)(2k121)4(3k121).

设l2的斜率为k2,因为l2过点P(2,0)且与双曲线有两个交点，故方程组

yk2(x2)(k20), ③ 22yx1.有两个不同的解．在方程组③中消去y,整理得

222(k21)x222k2x2k210 ④

同理有k210,24(3k21) 又因为l1⊥l2，所以有k1·k2=－1． 于是，l1、l2与双曲线各有两个交点,等价于

——4分

223k1210,23k210, k1k21,k1.13k13,解得3

k1.1——6分

∴k1(3,1)(1,33)(,1)(1,3) 33—-7分

（Ⅱ）设A1(x1,y1),B1(x2,y2)由方程②知

22k122k121 x1x22,x1x22k11k11∴│A1B1│2=（x1－x2）2+(y1－y2）2

(1k12)(x1x2)2

4(1k12)(3k121) ⑤ (k121)2同理,由方程④可求得A2B2，整理得A2B2由A1B15A2B2，得A1B1将⑤、⑥代入上式得

22-—9分

24(1k12)(3k12) ⑥ 22(1k1)5A2B2

24(1k12)(3k121)4(1k12)(3k12) 52222(k11)(1k1)解得k12 取k12时，l1:y2(x2),l2:y2(x2); 22(x2)． 2——12分

取k12时,l1:y2(x2),l2:y（25）本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质,以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．

(Ⅰ)证明:由条件当－1≤x≤1时，│f(x）│≤1，取x=0得 │c│=│f(0)│≤1, 即│c│≤1． (Ⅱ)证法一：

当a〉0时，g（x）=ax+b在［－1，1]上是增函数， ∴g（－1)≤g（x)≤g(1),

——2分

∵│f（x)│≤1 （－1≤x≤1）,│c│≤1， ∴g（1）=a+b=f(1)－c≤│f(1)│+│c│≤2，

g（－1）=－a+b=－f(－1）+c≥－(│f（－1）│+│c│)≥－2， 由此得│g（x)│≤2；

当a〈0时,g(x）=ax+b在[－1，1］上是减函数， ∴g(－1）≥g（x）≥g（1)，

∵│f(x）│≤1 (－1≤x≤1)，│c│≤1，

∴g(－1)=－a+b=－f（－1)+c≤│f（－1)│+│c│≤2, g(1)=a+b=f(1）－c≥－（│f（1）│+│c│)≥－2， 由此得│g(x）│≤2;

当a=0时，g(x)=b,f(x）=bx+c． ∵－1≤x≤1，

∴│g(x)│=│f（1)－c│≤│f(1)│+│c│≤2． 综上得│g（x）│≤2． 证法二:

(x1)2(x1)2由x4，可得

g(x)axb

a[(x12)2(x12)2]b(x1x122) [a(x12)2b(x1x12x12)c][a(2)b(2)c]

f(x12)f(x12),

当－1≤x≤1时，有0x121,1x120,

根据含绝对值的不等式的性质，得

f(x12)f(x12)f(x12)f(x12)2 即│g(x）│≤2．

（Ⅲ)因为a〉0，g(x)在[－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即g(1）=a+b=f(1)－f(0)=2． ①

—-5分

——7分——8分

——6分

—-8分

∵－1≤f(0)=f（1)－2≤1－2=－1， ∴c=f(0）=－1．

因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f（x）≥f(0）,

根据二次函数的性质，直线x=0为f（x)的图像的对称轴，由此得

b2a0,即b0 由① 得a=2． 所以 f(x）=2x2－1． ——10分

——12分