几何图形中的最值问题

引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题:

1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。 2.不等式: ①如x≤7，最大值是7；②如x≥5，最小值是5.

3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

一、最小值问题

ABLC

图1B'例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M在DC上，且DM=2，N为线段AC上的一动点，求DN+MN的最小值。

解: 作点D关于AC的对称点D/，则点D/与点B重合，连BM,交AC于N，连DN，则DN+MN最短,且DN+MN=BM。

∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6,

！

ADMNBC图4

在Rt△BCM中,BM=

2286=10,

∴DN+MN的最小值是10。

例2，已知，MN是⊙O直径上，MN=2,点A在⊙O上，∠AMN=300,B

MOABPN是弧AN的中点，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值是

解:作A点关于MN的对称点A/,连A/B,交MN于P，则PA+PB最短。 连OB，OA/,

∵∠AMN=300,B是弧AN的中点， ∴∠BOA/=300, 根据对称性可知 ∴∠NOA/=600, ∴∠MOA/=900, 在Rt△A/BO中，OA/=OB=1,

MOEABNPA/∴A/B=2 即PA+PB=2

）

例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点P，使点P到D、E两

点的距离之和最小，并求出最小值。

解:作点E关于直线y=x的对称点M， 连MD交直线y=x于P，连PE， 则PE+PD最短；即PE+PD=MD。 ∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),

过M作MN∥x轴的直线交过D作DN∥y轴的直线于N， 则MN⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1),

EM-4-3-2-1-1y21y=xO1234xNP-2-3-4D在Rt△MND中,MN=5,ND=2, ∴MD= ∴最小值是29。 练习

;

2252=29。

图6

1.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内

离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm．

【答案】15。

【解】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，

连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知

￥

AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。

由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。

在Rt△BCD中，由勾股定理得BCDC2BD29212215。 ∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，

即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。

2.正方形ABCD边长是4，∠DAC的平分线交CD与点E，点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ的最小值是

解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， 则DF即为PQ+DQ的最小值． ∵正方形ABCD的边长是4， ∴AD=4，∠DAC=45°， ? 在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4， ∴DF=AD•sin45°=4×故答案为2 3.（2009•陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4

，∠BAC

2=22 2＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM ＋MN的最小值是______．

解:过B作关于AD的对称点B/,则B/在AC上， 且AB=AB/=4

,MB=MB/,B/MN最短，即为B/H最短。

CMANDBC在Rt△AHB/中， ∠B/AH＝45°，AB/=4∴B/H=4,

∴BM ＋MN的最小值是4.

—

B/M，

DHBAN

4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任

意一点，则PK+QK的最小值为 ，

解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC， ∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，

作点P关于直线BD的对称点P′，连接P/Q，PC， 则P/Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知， 当点Q与点C重合，CP/⊥AB时PK+QK的值最小， 在Rt△BCP/中，∵BC=AB=2，∠B=60°， ∴CP/=BC•sinB=2×

5. (2012兰州)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】

#

=．

A．130° B．120° C．110° D．100°

解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC

于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠EAB＝120°， ∴∠HAA′＝60°，

∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，

且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″ ＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°， 故选：B．

#

6. （2011•贵港）如图所示，在边长为2的正△ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是

解：要使△PBG的周长最小，而BG=1一定， 只要使BP+PG最短即可， 连接AG交EF于M，

∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，

∴AG⊥BC，EF∥BC， ∴AG⊥EF，AM=MG， ∴A、G关于EF对称，

即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，

…

AP=PG，BP=BE，

最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3． 故答案为：3．

7.（第二阶段十三）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标是（9，0），tan∠BOA=点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P， 连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小， ∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（9，0），∴OA=9， ∵tan∠BOA=3，367 3∴AB=33，∠B=60°， 3∴∠AOB=30°，∴OB=2AB=63 由三角形面积公式得：S△OAB=即9×33=63AM， ∴AM=~11×OA×AB=×OB×AM， 2299，∴AD=2×=9， 22 ∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°， ∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°， ∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=1 2299932AD=，由勾股定理得：DN=AD2AN2=9=， 222∵C（2，0），∴CN=9――295=， 22935222在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=DNCN==67 22即PA+PC的最小值是67， 8.（2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3， 23），点C的坐标为（ 1，0），点P为斜边OB上的一动点，则△PAC2周长的最小值为（ ） 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N， 】

则此时PA+PC的值最小，

∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD， ∵B（3，），

∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM， ∴AM=，∴AD=2×=3，

∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°， ∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°， ∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°， ∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=

`

，

，

∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1， 在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=

=

，

即△PAC周长的最小值为

5+2，

9.（2013•徐州模拟.仿真一）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是（0，0），（20，0）（20，10）。在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM+MN为最小值时，点M的坐标是（ ）

解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥OB于N，B′N交AC于M，则

B′N=B′M+MN=BM+MN，B′N的长就是BM+MN的最小值．连接OB′，交DC于P． ∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB， ∴∠BAC=∠PCA， ∵点B关于AC的对称点是B′，∴∠PAC=∠BAC， ∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC． ， 令PA=x，则PC=x，PD=20-x． 在Rt△ADP中，∵PA2=PD2+AD2， ∴x2=（20-x）2+102，∴x=． ∵cos∠B′ON=cos∠OPD，∴ON：OB′=DP：OP， ∴ON：20=：，∴ON=12． ∵tan∠MON=tan∠OCD，∴MN：ON=OD：CD， ∴MN：12=10：20，∴MN=6． ∴点M的坐标是（12，6）．故答案为（12，6）． 10.如图，在矩形ABCD中，AB=20,BC=10,在AC、AB上各取一点M、N,使得BM+MN有最小值，求最小值。 解：如图，作点B关于直线AC的对称点B′，交AC与E，连接B′M， 过B′作B′G⊥AB于G，交AC于F， 由对称性可知，B′M+MN=BM+MN≥B′G， 当且仅当M与F、点N与G重合时，等号成立，AC=105， ∵点B与点B′关于AC对称，∴BE⊥AC， ∴S△ABC=}11AC•BE=AB•BC， 225，BB′=2BE=85 B'DMABC 得BE=4 因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°， 则∠B′BG=∠ACB， 又∠B′GB=∠ABC=90°， B/GB/B得△B′GB∽△ABC， ABACB′G=16，故BM+MN的最小值是16cm． N故答案为：16cm． 11.如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM+PN的最小值是 解:作点N关于BD的对称点N′，交AD与N/，连接N/M，则N/M=AB最短。 故答案为：MN/=10cm 12.（仿真六）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点．P是BD上的一个动点（P与B、D不重合） （1）求证：△APB≌△CPB； *AN'PDNBAMCD PBEC（2）设折线EPC的长为y，求y的最小值，并说明点P此时的位置． 解：AE=5,BD=22, 可证BP=122BD,∴BP=2,距B点2。 33313.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=900，BC=22，B是三角形的角的平分线，点E、F是BD和BC上的动点，则CE+EF的最小值 解：作C关于BD的对称点C/,过C/作C/F⊥BC于F，则CE+EF的最小值是C/F。 C/F∥AC，∴AAC'BCCF= BAAC//EBFDCEBFDC22C/F∴ =422∴C/F=2, CE+EF的最小值是2. 14.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC,AD=DC=4,BC=8,N中BC上，CN=2,E是BC的中点，M是AC上的一个动点，则EM+MN的最小值

解：作N点关于AC的对称点N’，连接N’E交AC于M

∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠DCA，∴∠ACB=∠DCA， ∴点N关于AC对称点N′在CD上，CN=CN′=2， 又∵DC=4，

∴EN’为梯形的中位线， ∴EN′=

1（AD+BC）=6， 2∴EM+MN最小值为：EN′=6．

< 16.已知等腰梯形ABCD，AD∥BC,AB=DC,AC平分∠BCD,BA⊥AC,若AC=43,P、M、N分别是AC、AD、DC上的任意一点，则PM+PN的最小值 解：作点N关于AC的对称点N/,过N/作BC的垂线交AD于M,MN/交AC于点P，则MN最短是夹在AD与BC间的垂线段最短。可知∠B=600,在Rt△ABC中，AC=43，则AB=4. AMPDNCBAMDNPN'CBH在Rt△ABH中，AH=sin600×4=二，最大值问题

3×4=23.即PM+PN的最小值是23。 2知识点:求PAPB的最大值；①A,B在直线l的同侧.②A,B在直线l的两侧.

ABPB/AP

PlBPl1.两点A,B在直线MN外的同侧，点A到MN的距离AC=8，点B到MN的距离BD=5,CD=4，

ABBAEPClP在直

DPClP/D线MN上运动，则PAPB的最大值是 。

#

解：延长AB交L于点P′，

∵P/A-P/B=AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA-PB|，AB＞|PA-PB|， ∴当点P运动到P′点时，|PA-PB|最大， ∵BD=5，CD=4，AC=8，

过点B作BE⊥AC，则BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3， ∴AB2= AE2+BE2=16+9=25．∴AB=5． ∴|PA-PB|=5为最大． 故答案为：5．

2.已知在△ABC中，AB=3,AC=2,以BC为边的△BCP是等边△，求AB的最大值和最小值。

…

解:将△PAC绕P点逆时针旋转600得到△PBA/,则AA/=AP A/B=AC,∠APA/=600,可得到等边三角形AA/P. ∴AB=3,AC=A/B=2,则AA/： ∴AB-A/B≤AA/≤AB+A/B

即1≤AA/≤5,故AP的最大值是5，最小值是1. 3.如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一

PCABA/点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为2 ，最小值为 2 解：连接AC、DP， S正方形ABCD=1×1=1，由勾股定理得：AC=2 ∵AB=1，∴1≤AP≤2 S△DPC=S△APC=1AP×CC′， 21=S正方形ABCD=S△ABP+S△ADP+S△DPC=∴1·AP（BB′+DD′+CC′）， 21·AP=1/BB′+DD′+CC′ 211≤AP≤， 22∵1≤AP≤2,即∴11111≤1/BB′+DD′+CC′≤（如≤≤） 22∴2≤BB′+CC′+DD′≤2， 故答案为：2，2 432