2020年湖北省孝感市中考数学试卷
一、精心选一选，相信自己的判断!（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，不涂，错涂或多涂的，一律得0分） 1．（3分）（2020•孝感）如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（ ） A．﹣2℃
B．+2℃
C．+3℃
D．﹣3℃
2．（3分）（2020•孝感）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．140°
3．（3分）（2020•孝感）下列计算正确的是（ ） A．2a+3b＝5ab C．2a•3b＝6ab
B．（3ab）2＝9ab2 D．2ab2÷b＝2b
4．（3分）（2020•孝感）如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2020•孝感）某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：
年收入/万元 人数/人
4 3
6 4
8 2
10 1
则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ） A．4，6
B．6，6
C．4，5
D．6，5
𝑥3−𝑥𝑦2𝑥(𝑥−𝑦)
6．（3分）（2020•孝感）已知x=√5−1，y=√5+1，那么代数式A．2
B．√5 C．4
的值是（ ）
D．2√5
1
7．（3分）（2020•孝感）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为（ ）
A．I=𝑅 24
B．I=𝑅 36
C．I=𝑅
48
D．I=𝑅
64
8．（3分）（2020•孝感）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（ ） A．y＝﹣x2﹣2
B．y＝﹣x2+2
C．y＝x2﹣2
D．y＝x2+2
9．（3分）（2020•孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
2
C．
D．
10．（3分）（2020•孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）
A．
45
B．
154
C．4 D． 2
9
二、细心填一填，试试自己的身手!（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）（2020•孝感）原子钟是北斗导航卫星的“心脏”，北斗卫星上的原子钟的精度可以达到100万年以上误差不超过1秒．数据100万用科学记数法表示为 ． 12．（3分）（2020•孝感）有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若
31
其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ．
13．（3分）（2020•孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为 m．（结果保留根号）
3
14．（3分）（2020•孝感）在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A类：总时长≤5分钟；B类：5分钟＜总时长≤10分钟；C类：10分钟＜总时长≤15分钟；D类：总时长＞15分钟），将调查所得数据整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．
该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有 人．
15．（3分）（2020•孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为 ．
𝑚𝑛
16．（3分）（2020•孝感）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y=𝑥和y=𝑥（k＜0）上，
4
𝑘
𝐴𝐶𝐵𝐷
23
=，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于
点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为 ．
4
三、用心做一做，显显自己的能力!（本大题共8小题，满分72分．解答写在答题卡上） 17．（6分）（2020•孝感）计算：√−8+|√3−1|﹣2sin60°+（）0．
3
14
18．（8分）（2020•孝感）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H． 求证：EG＝FH．
19．（7分）（2020•孝感）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数﹣1，2，5，8． （1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为 ；
（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．
20．（8分）（2020•孝感）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为 ；
（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cos∠BCE的值为 ；
（3）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为 ．
5
21．（10分）（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k2﹣2＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
22．（10分）（2020•孝感）某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，已知1kg乙产品的售价比1kg甲产品的售价多5元，1kg丙产品的售价是1kg甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍． （1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买40kg农产品最少要花费多少元？
23．（10分）（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α． （1）如图1，若α＝60°， ①直接写出
𝐷𝐹𝐷𝐶
1
的值为 ；
②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 ； （2）如图2，若α＜60°，且
𝐷𝐹𝐷𝐶
=，DE＝4，求BE的长．
3
2
6
24．（13分）（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标： A ，B ，C ，D ；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=3，求a的值和CE的长； （3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH． ①用含t的代数式表示f；
②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．
4
7
2020年湖北省孝感市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选，相信自己的判断!（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，不涂，错涂或多涂的，一律得0分） 1．（3分）（2020•孝感）如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（ ） A．﹣2℃
B．+2℃
C．+3℃
D．﹣3℃
【解答】解：“正”和“负”相对， 如果温度上升3℃，记作+3℃， 温度下降2℃记作﹣2℃． 故选：A．
2．（3分）（2020•孝感）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．140°
【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠EOD＝90°， ∵∠BOE＝40°，
∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°， ∴∠AOC＝∠BOD＝50°． 故选：B．
3．（3分）（2020•孝感）下列计算正确的是（ ） A．2a+3b＝5ab C．2a•3b＝6ab
B．（3ab）2＝9ab2 D．2ab2÷b＝2b
【解答】解：2a和3b表示同类项，不能计算，因此选项A不符合题意； （3ab）2＝9a2b2，因此选项B不符合题意； 2a•3b＝6ab，因此选项C符合题意；
8
2ab2÷b＝2ab，因此选项D不符合题意； 故选：C．
4．（3分）（2020•孝感）如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左侧看到的是两列两层，其中左侧的一列是两层，因此选项C的图形符合题意， 故选：C．
5．（3分）（2020•孝感）某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：
年收入/万元 人数/人
4 3
6 4
8 2
10 1
则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ） A．4，6
B．6，6
C．4，5
D．6，5
【解答】解：10名员工的年收入出现次数最多的是6万元，共出现4次，因此众数是6， 将这10名员工的年收入从小到大排列，处在中间位置的数是6万元，因此中位数是6， 故选：B．
6．（3分）（2020•孝感）已知x=√5−1，y=√5+1，那么代数式A．2
【解答】解：原式=＝x+y
当x=√5−1，y=√5+1， 原式=√5−1+√5+1 ＝2√5． 故选：D．
7．（3分）（2020•孝感）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电
B．√5 𝑥(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)
𝑥(𝑥−𝑦)𝑥3−𝑥𝑦2𝑥(𝑥−𝑦)
的值是（ ）
C．4 D．2√5
9
阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为（ ）
A．I=
24 𝑅𝐾
B．I=
36 𝑅C．I=
48 𝑅D．I=
64 𝑅【解答】解：设I=𝑅，把（8，6）代入得： K＝8×6＝48，
故这个反比例函数的解析式为：I=故选：C．
8．（3分）（2020•孝感）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（ ） A．y＝﹣x2﹣2
B．y＝﹣x2+2
C．y＝x2﹣2
D．y＝x2+2
48
． 𝑅【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2， ∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2）， ∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2）， ∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2， 故选：A．
9．（3分）（2020•孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
10
A．
B．
C．
D．
【解答】解：①当点P在AB上运动时，
y=2AH×PH=2×APsinA×APcosA=2×x2×4=8x2，图象为二次函数； ②当点P在BC上运动时，如下图，
1
1
1
√3√3
11
由①知，BH′＝ABsinA＝4×则y=
1
=2，同理AH′＝2√3， 211
×AH×PH=（2√3+x﹣4）×2＝2√3−4+x，为一次函数； 22③当点P在CD上运动时，
同理可得：y=2×（2√3+6）×（4+6+2﹣x）＝（3+√3）（12﹣x），为一次函数； 故选：D．
10．（3分）（2020•孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）
1
A．
45
B．
154
C．4 D． 2
9
【解答】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF， ∴AE＝AF，DE＝BF， 又∵AG⊥EF， ∴H为EF的中点， ∴AG垂直平分EF， ∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x， ∴EG＝8﹣x， ∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，
12
解得x=
15， 4154
∴CE的长为故选：B．
，
二、细心填一填，试试自己的身手!（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）（2020•孝感）原子钟是北斗导航卫星的“心脏”，北斗卫星上的原子钟的精度可以达到100万年以上误差不超过1秒．数据100万用科学记数法表示为 1×106 ． 【解答】解：100万＝1000000＝1×106， 故答案：1×106．
12．（3分）（2020•孝感）有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若
31
其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ﹣81 ． 【解答】解：设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x， 依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567， 解得：x＝﹣81． 故答案为：﹣81．
13．（3分）（2020•孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为 （
53√3−1.6） m．（结果保留根号）
【解答】解：如图，
在Rt△DEA中，∵cos∠EDA=𝐷𝐴， ∴DA=𝑐𝑜𝑠45°=5√2（m）； 在Rt△BCF中，∵cos∠BCF=𝐶𝐵， ∴CB=𝑐𝑜𝑠30°=
𝐷𝐸
5
𝐶𝐹
5
10√3（m）， 313
∴BF=BC=
125√3（m）， 3∵AB+AE＝EF+BF，
∴AB＝3.4+3−5=3−1.6（m）． 答：AB的长为（故答案为：（
53
535√35√3√3−1.6）m．
， √3−1.6）
14．（3分）（2020•孝感）在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A类：总时长≤5分钟；B类：5分钟＜总时长≤10分钟；C类：10分钟＜总时长≤15分钟；D类：总时长＞15分钟），将调查所得数据整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．
该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有 336 人．
【解答】解：本次抽取的学生有：10÷10%＝100（人）， B类学生有：100﹣10﹣41﹣100×21%＝28（人）， 1200×100=336（人），
即该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有336人， 故答案为：336．
15．（3分）（2020•孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为
14
28
S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为 𝑚
𝑛
√3+1 ． 2
【解答】解：设直角三角形另一条直角边为x，依题意有 2x2=2m2， 解得x=m，
由勾股定理得（m）2+（n+m）2＝m2，
21
12121
m2﹣2mn﹣2n2＝0，
解得m1＝（﹣1−√3）n（舍去），m2＝（﹣1+√3）n， 则的值为𝑚𝑛
√3+1． 2√3+1． 2
故答案为：
16．（3分）（2020•孝感）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y=𝑥和y=𝑥（k＜0）上，
4
𝑘
𝐴𝐶𝐵𝐷
=，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于
31322
点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为 ．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，
∴∠AOM+∠DON＝∠ODN+DON＝90°， ∴∠AOM＝∠ODN， ∵∠AMO＝∠OND＝90°，
15
∴△AOM∽△ODN， ∴
𝑆△𝐴𝑂𝑀𝑆△𝑂𝐷𝑁
=（
𝑂𝐴
𝑂𝐷
）2，
4
𝐴𝐶𝐵𝐷
∵A点在双曲线y=𝑥，∴S△AOM=∴
2𝑆△𝑂𝐷𝑁
=，
3
2
=（），
39
𝑂𝐴21
×4＝2，=， 2𝑂𝐷322
∴S△ODN=2，
∵D点在双曲线y=（k＜0）上， ∴|k|=，
21
92𝑘𝑥∴k＝﹣9，
∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F， ∴S△OEF=2×4+2×9=2， 故答案为
1321
1
13
．
三、用心做一做，显显自己的能力!（本大题共8小题，满分72分．解答写在答题卡上） 17．（6分）（2020•孝感）计算：√−8+|√3−1|﹣2sin60°+（）0．
3
14
【解答】解：原式＝﹣2+√3−1−√3+1 ＝﹣2．
18．（8分）（2020•孝感）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H． 求证：EG＝FH．
16
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA， ∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，{𝐵𝐸=𝐷𝐹，
∠𝐸𝐵𝐺=∠𝐹𝐷𝐻∴△BEG≌△DFH（ASA）， ∴EG＝FH．
19．（7分）（2020•孝感）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数﹣1，2，5，8． （1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为
12∠𝐸=∠𝐹
；
（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．
【解答】解：（1）4张卡片，共4种结果，其中是“偶数”的有2种，因此抽到偶数的概率为=，
4
22
1
故答案为：；
2
1
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中“两数差的绝对值大于3”的有6种， ∴P（差的绝对值大于3）=16=8．
20．（8分）（2020•孝感）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并填空．
17
63
（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为 （2，﹣4） ；
（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cos∠BCE的值为
√5 ； 5（3）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为 （0，4） ．
【解答】解：（1）如图所示，线段CD即为所求，点D的坐标为（2，﹣4）； （2）如图所示，线段AE即为所求，cos∠BCE=
𝐶𝐸√10√5==； 𝐵𝐶√505（3）如图所示，点F即为所求，点F的坐标为（0，4）．
故答案为：（2，﹣4）；
√5；（0，4）． 5
1
21．（10分）（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k2﹣2＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
18
【解答】解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
2
1
＝4k2+4k+1﹣2k2+8 ＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0， ∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=k2﹣2， ∵x1﹣x2＝3， ∴（x1﹣x2）2＝9， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9， ∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
21
1
2化简得k2+2k＝0， 解得k＝0或k＝﹣2．
22．（10分）（2020•孝感）某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，已知1kg乙产品的售价比1kg甲产品的售价多5元，1kg丙产品的售价是1kg甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍． （1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买40kg农产品最少要花费多少元？
【解答】解：（1）设1kg甲产品的售价为x元，则1kg乙产品的售价为（x+5）元，1kg丙产品的售价为3x元，根据题意，得：
2703𝑥
=
60𝑥+5
×3，
解得：x＝5，
经检验，x＝5既符合方程，也符合题意， ∴x+5＝10，3x＝15．
19
答：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元；
（2）设40kg的甲、乙、丙三种农产品搭配中丙种产品有xkg，则乙种产品有2mkg，甲乙种产品有（40﹣3m）kg， ∴40﹣3m+m≤2m×3， ∴m≥15，
设按此方案购买40kg农产品所需费用为y元，根据题意，得： y＝5（40﹣3m）+20m+15m＝20m+200， ∵20＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m＝5时，y取最小值，且y最小＝300，
答：按此方案购买40kg农产品最少要花费300元．
23．（10分）（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α． （1）如图1，若α＝60°， ①直接写出
𝐷𝐹𝐷𝐶
的值为
12 ；
3√32②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 （2）如图2，若α＜60°，且
𝐷𝐹𝐷𝐶
23
−π ；
32
=，DE＝4，求BE的长．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，AD，
20
∵AF是⊙O的切线， ∴∠OAF＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴∠BAD＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∵OA＝OB＝OD，
∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∠OAD＝∠ADO＝60°， ∵∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADF＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠OAD， ∴OA∥DF，
∴∠F＝180°﹣∠OAF＝90°， ∵∠DAF＝30°， ∴AD＝2DF， ∵∠ABD＝∠CBD， ̂=𝐶𝐷̂， ∴𝐴𝐷∴AD＝CD， ∴CD＝2DF， ∴
𝐷𝐹𝐷𝐶
=，
2
1
21
故答案为：；
2
1
②∵⊙O的半径为2， ∴AD＝OA＝2，DF＝1， ∵∠AOD＝60°，
160𝜋×21
∴阴影部分的面积为：S梯形AODF﹣S扇形OAD=2⋅𝐴𝐹⋅(𝐷𝐹+𝑂𝐴)−360=2×√3(1+
2
2)−360=2−3π； 故答案为：
3√32
−π； 23
60𝜋×43√32
（2）如图2，连接AD，连接AO并延长交⊙O于点H，连接DH，则∠ADH＝90°，
∴∠DAH+∠DHA＝90°， ∵AF与⊙O相切，
∴∠DAH+∠DAF＝∠FAO＝90°， ∴∠DAF＝∠DHA， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ̂=𝐶𝐷̂， ∵𝐴𝐷
∴∠CAD＝∠DHA＝∠DAF， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，
∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC， ∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，
22
∴∠ADF＝∠ADB， 在△ADF和△ADE中 ∵{𝐴𝐷=𝐴𝐷，
∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐸∴△ADF≌△ADE（ASA）， ∴DF＝DE＝4， ∵
𝐷𝐹𝐷𝐶
∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐸
=，
3
2
∴DC＝6，
∵∠DCE＝∠ABD＝∠DBC，∠CDE＝∠CDE， ∴△CDE∽△BDC， ∴
𝐶𝐷𝐷𝐵
=
𝐷𝐸𝐶𝐷
，即
6
𝐵𝐷
=，
6
4
∴BD＝9，
∴BE＝DB﹣DE＝9﹣5＝5．
24．（13分）（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：
A （﹣3，0） ，B （﹣1，0） ，C （0，18） ，D （﹣2，﹣6） ； （2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=3，求a的值和CE的长； （3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH． ①用含t的代数式表示f；
②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．
4
23
【解答】解：（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18， 令y＝0，则x＝﹣1或﹣3；当x＝0时，y＝18，函数的对称轴为x＝﹣2， 故点A、B、C、D的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）； 故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；
（2）y＝ax2+4ax+4a﹣6，令x＝0，则y＝4a﹣6，则点C（0，4a﹣6）， 函数的对称轴为x＝﹣2，故点D的坐标为（﹣2，﹣6）， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6， 令y＝0，则x=𝑎−2，故点E（−2，0），则OE=𝑎−2，
𝑎
3
3
3
tan∠AED=
𝑂𝐶4𝑎−642
=3=，解得：a=， 𝑂𝐸33𝑎−2
10
5
故点C、E的坐标分别为（0，−3）、（，0），
2则CE=√(3)2+(2)2=6；
（3）①如图，作PF与ED的延长线交于点J，
10
5
25
24
由（2）知，抛物线的表达式为：y=x2+x−
238310， 35
故点A、C的坐标分别为（﹣5，0）、（0，−3），则点N（0，−3）， 由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y=−x−； 设点P（t，t2+3t−3），则点F（t，−3t−3）；
3则PF=−3t2﹣3t+3，
由点E（，0）、C的坐标得，直线CE的表达式为：y=3x−3，
2则点J（t，t−
34
1055），故FJ=−t+， 3335
4
10
2
5
2
8
10
1
5
1
35310
∵FH⊥DE，JF∥y轴，
故∠FHJ＝∠EOC＝90°，∠FJH＝∠ECO， ∴△FJH∽△ECO，故则FH=
𝐹𝐻𝑂𝐸
=
𝐹𝐽𝐶𝐸
，
𝑂𝐸
×𝐹𝐽=−𝑡+1， 𝐶𝐸2
5
2
8
f＝PF+FH=−3t2﹣3t+3+（﹣t+1）=−3t2﹣4t+3； ②f=−t2﹣4t+=−（t+3）2+
2
23832326
（﹣5＜t≤m且m＜0）； 38
∴当﹣5＜m＜﹣3时，fmax=−3m2﹣4m+3； 当﹣3≤m＜0时，fmax=3．
26
25
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