＝ 鳓 数理化解题研究 ２０１８年第１６期总第４０１期 常见几何体的内切球与外接球问题 李冬禄 （辽宁省凌源中学摘１２２５００） 要：几何体与球有关的组合问题，一种是内切，一种是外接．纵观近几年高考题，这两种特殊的位置关 系在高考中既是考查的热点也是考查的难点，这是因为与球有关联的组合体，能很好地考查学生的空问想象 能力以及化归能力．下面就近几年高考中涉及的几何体外接球与内切球问题进行分析，找出其中的规律，以便 同学们更好地迎接高考． 关键词：几何体；外接球；内切球；构造 中图分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—０３３３（２０１８）１６—００２０—０２ 等的三棱锥，其外接球问题均可构造成对应的长方体进 行求解． 例２（２０１１辽宁）已知正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，点Ｐ、Ａ、 一、正方体的内切球与外接球 设正方体棱长为ａ，外接球半径为ＪＲ，内切球半径为 ｒ，则： 日、Ｇ都在半径为 的球面上，若 、胎、ＰＣ两两垂直，则 球心到截面ＡＢＣ的距离为——． 结论１：正方体的外接球半径 为正方体对角线的 一半，即：（２Ｒ） ＝３ａ 解析 由结论５知可将此三棱锥构造成正方体，三 棱锥的外接球即为正方体的外接球，由结论１知正方体 结论２：正方体的内切球半径ｒ为棱长的一半，即：ｒ ａ ’ 棱长为２，球心为正方体的中心，再由等体积法知Ｐ到面 结论３：与正方体棱相切的内切球半径ｒ为正方体面 对角线的一半，即：，：√２３－。． ｃ的距离为ｚ了／ｘ，球心到截面ＡＢｃ的距离为 ． Ｊ 练习： １．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 ４，体积为１６，则这个球的表面积是（２４，ｒｒ）． ２．如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分 别为６、４和３，那么它的外接球的体积是（ 盯）． 例１ （２０１３福建１２）已知某一 多面体内接于球构成一个简单组合 体，如果该组合体的正视图、俯视图 均如图１所示，且图中的四边形是边 长为２的正方形，则该球的表面积是 ● ３．三棱锥Ａ—ＢＣＤ，其中ＡＢ＝ＣＤ＝５，ＡＣ＝ＢＤ＝６，ＡＤ ＝ＢＣ＝７，则该三棱锥外接球的表面积为（５５，ｒｒ）． 解析易知球的内接几何体为 图１ 棱长为２的正方体，由结论１知球的 半径Ｒ＝ ，所以表面积为１２＇ｒｒ． 三、正四面体的外接球与内切球 设正四面体棱长为ａ，外接球半径为Ｒ，内切球半径 为ｒ，则： 二、长方体的外接球 设长方体的棱长为ａ、ｂ、ｃ，外接球半径为Ｒ，则： 结论４：长方体的外接球半径 为体对角线的一半， 即：（２Ｒ） ＝０ ＋ｂ。＋ｃ ． 结论６：正四面体的外接球问题可构造成正方体求 解．正四面体的棱长即为正方体的面对角线．即（２Ｒ） ＝ ／ ３（等ａ）。（如图２）． 结论７：正四面体的内切球半径可用等积法求解，且 结论５：三条棱两两垂直、三个侧面两两垂直、对棱相 收稿日期：２０１８—０２—１Ｏ 作者简介：李冬禄（１９７８一），男，硕士，中学高级教师，从事高中数学教学工作 一２０— ２０１８年第１６期总第４０１期 数理化解题研究 Ｐ ＝ 例５ （２０１２全国）已知三棱锥Ｓ—ＡＢＣ的所有顶点 都在球０的球面上，ＡＡＢＣ是边长为１的正三角形，Ｓｃ为 球０的直径，且ＳＣ＝２，则此棱锥的体积为（ ｃ Ａ． ）． Ｂ． ｃ． 。． ２ 图２ 图３ 解析ＡＡＢＣ的外接圆的半径ｒ＝孚，点０到面ＡＢＣ 的距离ｄ： ： ． Ｒ：ｒ＝３：１（如图３）． 分析Ｖｐ－ＡＢＣ－－ Ｉ Ｓ伽。删＝÷×４｜ｓ 。ｒ．·．ＰⅣ：４ｒ ＝ 例３正四面体的四个顶点都在表面积为３６，ｒｒ的球 面上，则该四面体的棱长为——． 解析由题知球半径为３，再由结论６知棱长为／６． 四、直棱柱的外接球问题 设直棱柱的高为ｈ，底面多边形的半径即外接圆半径 为ｒ，外接球半径为Ｒ，则： 结论８：根据勾股定理Ｒ与 、ｒ的关系为： ＝（要）＋ｒ２． 例４（２０１３辽）已知直三棱柱ＡＢＣ—Ａ Ｂ。Ｃ 的６个 顶点都在球０的球面上．若ＡＢ＝３，ＡＣ＝４，ＡＢ￣ＡＣ，ＡＡ ＝ １２，则球０的半径为（ ）． Ａ．３￣－ｆ Ｂ下．２ ｃ． Ｄ．３Ｖ－ｆ６ 解析由题知底面ＡＢＣ的外接圆半径ｒ＝÷，由结论 ８知，Ｒ：＇．１３ 练习：１．（２０１０新课标）设三棱柱的侧棱垂直于底面， 所有棱长都为ａ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积 为（Ｂ）． ｎ Ｂ．÷ ｃ． Ｄ．５ ２．（２００９全国１）直三棱柱ＡＢＣ—Ａ Ｂ。Ｃ 的各顶点都 在同一球面上，ＡＢ＝ＡＣ：ＡＡ ＝２， ＢＡＣ＝１２０。，则此球 的表面积等于（２０＇ｒｒ）． ３．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底 面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱 ９ｒ￣ＮＮＫＮ ３，则这个球的体积为（了４ １Ｔ），． 五、特殊棱锥的外接球问题 结论９：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形， 公共斜边就是其外接球的半径，反之亦成立． ＳＣ为球０的直径 点Ｓ到面ＡＢＣ的距离为２ｄ＝ ３ 此棱锥的体积为 Ｊｓ…×２ｄ＝ １＝ ×孚× ： ６． 练习：（２０１１辽１２）已知球的直径ＳＣ＝４，Ａ，Ｂ是该球 球面上的两点，Ａ日＝√ ，／ＡＳＣ＝／ＢＳＣ＝３０。，则棱锥ｓ— ＡＢＣ的体积为（Ｃ）． Ａ． Ｂ．ｚ／Ｙ Ｃ． Ｄ．１ 六、几何体的最值问题 例６ （２０１０全国１）已知在半径为２的球面上有Ａ、 日、ｃ、Ｄ四点，若ＡＢ＝ＣＤ＝２，则四面体ＡＢＣＤ的体积的最 大值为（Ｂ）． Ａ． Ｂ． ｃ． 。． 解设ＡＢ，ＣＤ中点为 、Ⅳ，则球心到ＡＢ和ＣＤ的距 离相等，即ＯＭ＝ＯＮ＝ ．面当ＯＭＯＮ在同一条直线上， ＡＢ￣ＣＤ时，四面体体积最大，Ｖ：÷ｓ△ ×ｃＤ＝竽． 练习：（２０１５新课标２）已知Ａ，曰是球０的球面上两 点，ＡＡＯＢ＝９０。，Ｃ为该球面上的动点，若三棱锥０一ＡＢＣ 体积的最大值为３６，则球０的表面积为（Ｃ）． Ａ．３６＂ｒｒ Ｂ．６４，ｒｒ Ｃ．１４４ Ｄ．２５６ａｒ 总之，几何体与球的有关组合问题，是高考的常考考 点，如果能熟练掌握常见几何体的外接球与内切球的有 关结论，在高考中就会得到事半功倍的效果． 参考文献： ［１］乔晓林．巧解几何体的外接球问题［Ｊ］．中学课程 辅导，２０１４（９）． ［２］卫福山．几何体的内切与外接球问题［Ｊ］．中学数 学研究，２０１０（１２）． ［责任编辑：杨惠民］ 一２１—