5线性规划第五章习题

1. 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时

及A、B两种原材料的消耗，如下表所示. Ⅰ Ⅱ 设备 1 2 8台时 原材料A 4 0 16kg 原材料B 0 4 12kg 该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元.问应如何安排计划使该工厂获利最大？是建立数学模型.

解：设生产Ⅰ、Ⅱ两种产品分别为x1,x2件.使利润最大就是使

f2x13x2

最大；受原材料的限制得到如下不等式： 4x1

16, 4x112,

受设备台时的限制得不等式： x12x28,

生产量非负：x1,x20.于是得到生产方案的数学模型：

maxf2x13x2，

4,x1x23,s.t. x12x28,x1,x20.2. 计划由甲、乙、丙三个发点运输某种粮食到A、B、C三个加工厂.它们各自的供应

量和需求量以及各供应地至各需求地的总单位运输价如下表所示.

收点 供点 A厂 B厂 C厂 供应量 甲 12 9 9 20 乙 7 4 3 30 丙 6 5 2 50 需求量 25 50 25 100 试作出运费最省的调运计划方案的数学模型.

解：设甲调运到A、B、C三个加工厂的粮食分别为x11,x12,x13吨，乙调运到A、B、C三个加工厂的粮食分别为x21,x22,x23吨，丙调运到A、B、C三个加工厂的粮食分别为

x31,x32,x33吨，使运费最省就是使

f12x119x129x137x214x223x236x315x322x33 最小；调运量不能超过发点供应量： x11x12x1320, x21x22x2330, x31x32x3350, 调运量要满足收点的需求量： x11x21x3125, x12x12x3250, x13x23x3325,

调运量非负：xij0,i1,2,3,j1,2,3.于是得到调运方案的数学模型：

minf12x119x129x137x214x223x236x315x322x33

x11x12x1320,x21x22x2330,x31x32x3350,s.t.x11x21x3125, xxx50,123212x13x23x3325,xij0,i1,2,3,j1,2,3.3. 某班有男同学30人，女同学20人，星期天准备去植树.根据经验，一天男同学平均

每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水，女同学平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水. 问怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多.写出数学模型. 解：设挖坑、栽树、浇水的男生分别为x11,x12,x13人，挖坑、栽树、浇水的女生分别为

x21,x22,x23人，要使植树最多使

f20x1130x1225x1310x2120x2215x23 最大；受人数限制得到不等式： x11x12x1330,

x21x22x2320,

挖坑、栽树、浇水的树的棵数应相同，得到等式：

20x1110x2130x1220x2225x1315x23 挖坑、栽树、浇水的学生非负：x11,x12,x13,x21,x22,x230. 于是得到安排植树的数学模型:

maxf20x1130x1225x1310x2120x2215x23

x11x12x1330,xxx20,212223s.t.

20x10x30x20x25x15x,211222132311x11,x12,x13,x21,x22,x230.

4. 某农场计划在100亩土地上种植甲、乙两种农作物，种植这两种农作物所需费用（包

括种子、肥料、劳动等）每亩各需1000元和1900元. 收获后，农场必须将作物贮藏一段时间后再销售，甲种作物每亩平均产量为1500kg，乙种作物每亩平均产量为800kg，而投入资本量最多130000元，贮藏量限制在80000kg.. 如果净利润（在所在费用减去后）甲种作物1.20元/kg，乙种作物1.80元/kg, 农场应怎样安排种植才能取得最大利润？建立数学模型.

解：设x亩种植甲种作物，y亩种植乙种作物. 使利润最大就是使

f1.21500x1.8800y

最大；受总亩数限制得不等式：xy100,

, 受投入资本限制得不等式：1000x1900y130000, 受投入贮藏量限制得不等式：1500x800y80000种植亩数非负：x,y0.于是得到安排种植的数学模型：

maxf1800x1440y

xy100,1000x1900y130000, s.t.,1500x800y80000x,y0.5. 判别下列数学模型是否为线性规划模型.（a,b,c为常数，x,y为变量）

（1）maxf3x15x27x3

x12x26x38,5xx8x20,123 s.t.

12,3x14x2x1,x20.解：是线性规划模型.因为目标函数是线性函数，约束条件是线性不等式或等式.

（2）maxfncj1jxj,

naijxjbi,(i1,2,,m), s.t.j1

x0(j1,2,,n).j解：不是线性规划模型.因为目标函数不是线性函数. （3）minfmnai12iixb2jyj,

j12s.t.xiyjcij(i1,2,,n;j1,2,,n).

解：是线性规划模型. 因为目标函数是线性函数，约束条件是线性不等式.

7. 将下列数学模型化为标准形式：

（1）maxf2x13x2,

x12x28,4x16,1



x12,2x1,x20;

解：引入松弛变量x3,x4,x5得到该问题的标准形式如下： minf2x13x2,

x12x2x38,4xx416,1 

x2x512,x1,x2,x3,x4,x50;（2）maxfx12x23x3,

x1x2x37,xxx2,123 

3x1x22x35x1,x20解：用x4x5替换x3，引入松弛变量x6,x7,x8得到该问题的标准形式如下：

minfx12x23x43x5,

x1x2x4x5x67,xxxxx2,12457 3xx2x2xx512458x1,x2,x4,x5,x6,x7,x80

8. 写出线性规划问题

maxf2x1x2x3,

2x1x2x32,x32, x1x,x,x0123所有基与典式，及相应的基解.

解：化为标准形式：minff2x1x2x3,

2x1x2x32,x32, x1x,x,x01232112，Ab1231012，c2,1,1.

它有三个基：1,2,1,3,2,3. 1）当B1,221011012111时，，， BBABb1012011211 cB2,1，cBBAc0,0,2，cBBb6.相应的典式如下： f62x3 x12x3

x22x3基解为x2,2,0.

T2）当B1,321111100111时，，， BBABb11120112 cB2,1，cBB1Ac0,2,0，cBB1b2.相应的典式如下： f22x2 基解为x0,0,2.

Tx1x2

x2x233）当B2,311111100111时，，， BBABb01011012 cB1,1，cBB1Ac2,0,0，cBB1b2.相应的典式如下： f22x1 基解为x0,0,2.

Tx2x1

x32x1

9. 判断下列集合是否为凸集？它有没有极点？ （1）(x1,x2)x1x25,x10,x20 解：是凸集，有极点(0,0),(0,5).

22（2）(x1,x2)x1x21

解：是凸集，无极点.