2007江苏高考数学

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学

参考公式：

n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：Pk)Ckpk(1p)nkn(n 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。

1．下列函数中，周期为

2的是 A．y=sinx B．y=sin2x C．ycosx2 4 D．y=cos4x

2．已知全集U=Z，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x︱x2=x｝，则A∩CUB为

A．｛-1，2｝ B．｛-1，0｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y=0，则它的离心

率为

A．5 B．52 C．3 D．2

4．已知两条直线m,n，两个平面α，β，给出下面四个命题：

①m//n,mn ②//,m,nm//n ③m//n,m//n// ④//,m//n,mn 其中正确命题的序号是

A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．②、③ 5．函数f(x)sinx3cosx(x[,0])的单调递增区间是

A．[,5] B．[5,666] C．[3,0] D．[6,0] 6．设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x－1，则有

A．f(13)f(322312)f(3) B．f(3)f(2)f(3)

C．f(23)f(13)f(32) D．f(32)f(23)f(13)

7．若对于任意实数x，有x3

=a0+a1（x－2）+a2（x－2）2

+a3（x－2）3

，则a2的值为

A．3 B．6 C．9 D．12

8．设f(x)lg(21xa)是奇函数，则使f（x）<0的x的取值范围是 A．（-1，0） B．（0，1） C．（-∞，0） D．（-∞，0）∪（1，+∞） 9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x都有f（x）≥

0，则f(1)f'(0)的最小值为

A． 3 B．

52 C．2 D．

32

10．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A=｛（x，y）︱x+y≤1且x≥0，y≥0｝，则平面区域B{(xy,xy)|(x,y)A}的面积为 A．2 B．1 C．12 D．

14

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．。 11．若cos()15,cos()35，.则tana·tanβ= .

12．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同选修方案。（用数值作答） 13．已知函数（fx）=x3－12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m= ▲ . 14．正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是 15．在平面直角坐标系xOY中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆x2y225161上，则

sinAsinCsinB 。

16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点

A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d= ，其中t∈[0，60]。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）

1

高考数学（6）

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）

18．（本小题满分12分）如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1

上，且AE=FC1=1，

（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（4分） （2）若点G在BC上，BG23，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM面BCC1B1；（4分） （3）用表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tan。（4分）

19．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2

相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:yc交于P，Q。

（1）若OAOB2，求c的值；（5分）

（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

20．（本小题满分16分）

已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列｛bn｝

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高考数学（6）

的前n项和。

（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m－1）a1；（4分）

已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f(x)bx2cxd，

）g(x)ax3bx2cxd，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x）（2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛bn｝中每一项都是数列｛an｝中的项；（8分） =0的根，反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。 （3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加（1）求d的值；（3分）

以说明；若不存在，请说明理由；（4分） （2）若a=0，求c的取值范围；（6分）

（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围。（7分）

21．（本小题满分16分）

3

高考数学（6）

4

高考数学（6）

参考答案

1．D 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．B 11．

1 12．75 13．32 14．6525 15．

54 16．100sint60

17．解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为

P25252C510.8100.820.230.05.

（2）5次预报中至少有2次准确的概率为 1P50P511C6501151510.8C50.810.8

10.000320.00640.99.（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为

18．解法一：（1）如图：在DD1上取点N，使DN=1，连结EN，则AE=DN=1，CF=ND1=2

因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形。 从而ENAD，FD1∥CN。

又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE。 （2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BCM=∠CFB，BM=BC·tan∠CFB=BG·∠CFB=BC·

BC231.CF32

因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM 又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1 （3）如图，连结EH

因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF 于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM=0 因为∠MBH=∠CFB，所以

MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB

BMBCBC2CF21332223,13

tanEM13MH解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则BE3,0,1,BF0,3,2,BD13,3,3 所以BD1BEBF

故BD1、BE、BF共面 又它们有公共点B，

所以E、B、F、D1四点共面。

（2）如图，设M（0，0，z）则CM0,23,z

而BF0,3,2，由题设得

GMBF233z20，得z=1

因为M（0，0，1），E（3，0，1），有ME=（3，0，0）

又BB10,0,3，BC0,3,0，所以MEBB10,MEBC0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC 故ME⊥BB1，平面BCC1B1

（3）设向量BPx,y,3⊥截面EBFD1，于是BPBE,BPBF

以BP而BE3,0,1,BF0,3,2，得BPBE3x30,BPBF3y60，解得x=-1，y=-2，所

1,2,3.

又BA3,0,0⊥平面BCC

1B1，所以BP和BA的夹角等于θ或л-θ（θ为锐角） 于是

cosBPBABPBA114 故tan13

19．（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x2得x2－kx－c=0

令A（a，a2），B（b，b2），则ab=﹣c

因为OAOBaba2b2cc22，解得c=2，或c=﹣1（舍去）故c=2 （2）由题意知Qab2,c，直线AQ的斜率为

a2ca2kabAQaabab2a

22又r=x2的导数为r′=2x，所以点A处切线的斜率为2a

因此，AQ为该抛物线的切线 （3）（2）的逆命题成立，证明如下：

设Q（x0，﹣c）若AQ为该抛物线的切线，则kAQ=2a

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高考数学（6）

22又直线AQ的斜率为kacabAQaxaab，所以

a0ax0ax2a

0得2axb0=a2+ab，因a≠0，有x0a2

20．解：设{an}的公差为d，由a1b1,a2b2a1，知d0,q1，da1q1（a10）

（1）因为bk1kam，所以a1qa1m1a1q1，

qk11m1q12mm1q，

1所以S11qka1m1m1qk1a1qqm1a1

（2）b3a1q2,aia1i1a1q1，由b3ai，

所以q21i1q1,q2i1qi20,解得，q1或qi2，但q1，所以

qi2，因为i是正整数，所以i2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为

bna1qn1nN，设数列{an}中的某一项ammN=a1m1a1q1

现在只要证明存在正整数m，使得bn1nam，即在方程a1qa1m1a1q1 中m有正整数

解即可，qn11m1q1,m1qn11q11qq2qn2，

所以：m2qq2qn2，若i1，则q1，那么b2n1b1a1,b2nb2a2，当i3时，

因为a1b1,a2b2，只要考虑n3的情况，因为b3ai，所以i3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn1n}中任意一项为bna1qnN与数列{a}的第2qq2n2nq项相等，从而结论成

立。

（3）设数列{bn}中有三项bm,bn,bpmnp,m,n,pN成等差数列，则有

2a11qna11y,x,yN，所以211qmap1q,设nmx,pnqxqy，令x1,y2，则q32q10,q1q2q10，因为q1，所以q2q10，所以q512舍去负值，即存在q512使得{bn}中有三项bm,bm1,bm3mN成等差数列。 21．解（1）设x0是fx0的根，那么fx00，则x0是g(f(x))0的根，则gfx00,即g00，所以d0。

（2）因为a0，所以fxbx2cx,gxbx2cx，则g(f(x))fxbfxc

=bx2cxb2x2bcxc=0的根也是fxxbxc0的根。

（a）若b0，则c0，此时fx0的根为0，而g(f(x))0的根也是0，所以c0， （b）若b0，当c0时，fx0的根为0，而g(f(x))0的根也是0，当c0时，

fx0的根为0和cb，而bfxc0的根不可能为0和cb，所以bfxc0必

无实数根，所以bc24b2c0,所以c24c0,0c4，从而0c4

所以当b0时，c0；当b0时，0c4。

（3）a1,f(1)0，所以bc0，即fx0的根为0和1， 所以cx2cx2ccx2cxc=0必无实数根，

（a）当c0时，t=cx2cx=c12cccx244，即函数htt2ctc在t4，

2ht0恒成立，又htt2ctccc2t2c4，所以htminhc40，即c21616c24c0,所以0c3；

（b）当c0时，t=cx2cx=c12cc2cx244，即函数httctc在t4，

2ht0恒成立，又htt2ctctc2cc24，所以htcminh20，

cc240，而c0，所以cc2

4

0，所以c不可能小于0， （c）c0,则b0,这时fx0的根为一切实数，而gfx0，所以c0,符合要求。所以0c163 6