德化县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 已知函数f(x)=x2﹣6x+7,x∈(2,5]的值域是( ) A.(﹣1,2]
B.(﹣2,2]
C.[﹣2,2] D.[﹣2,﹣1)
2. 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( ) A.
B.
C.
D.
x2y23. F1,F2分别为双曲线221(a,b0)的左、右焦点,点P在双曲线上,满足PF 1PF20,
ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为,则该双曲线的离心率为( )
2A.2 B.3 C. 21 D. 31
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查基本运算能力及推理能力. 4. 下列结论正确的是( )
A.若直线l∥平面α,直线l∥平面β,则α∥β. B.若直线l⊥平面α,直线l⊥平面β,则α∥β. C.若直线l1,l2与平面α所成的角相等,则l1∥l2
D.若直线l上两个不同的点A,B到平面α的距离相等,则l∥α
5. 如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=中错误的是( )
,则下列结论
A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值
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6. 函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=( ) A.ex+1 B.ex﹣1 C.e﹣x+1 D.e﹣x﹣1
7. 棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应截面面积 为S1、S2、S3,则( )
A.S1S2S3 B.S1S2S3 C.S2S1S3 D.S2S1S3 8. 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为( ) A.
B.
C.
D.
9. 在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺, 末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的( ) A.33% B.49% C.62% D.88% 10.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,3},B={0,1,4},则(∁UA)∪B为( ) A.{0,1,2,4} B.{0,1,3,4} C.{2,4} D.{4}
11.三个数a=0.52,b=log20.5,c=20.5之间的大小关系是( ) A.b<a<c B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a
A.64 B.72 C.80 D.112
12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识,意在考查空间想象能力与运算求解能力.
二、填空题
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13.函数y=lgx的定义域为 .
14.如图,在矩形ABCD中,AB3, BC3, E在AC上,若BEAC, 则ED的长=____________ 15.已知数列
的前项和是
, 则数列的通项__________
16.对于函数yf(x),xR,,“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”
的 ▲ 条件. (填“充分不必要”, “必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”)
17.设是空间中给定的个不同的点,则使
成立的点
的个数有_________个.
18.如图,E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD的中点,沿图中虚线将边长为2的正方形折起来,围成一个三棱锥,则此三棱锥的体积是 .
三、解答题
19.已知命题p:方程
2
表示焦点在x轴上的双曲线.命题q:曲线y=x+(2m﹣3)x+1与x轴
交于不同的两点,若p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数m的取值范围.
20.已知函数g(x)=f(x)+(1)求实数a的值;
(2)若函数g(x)存在单调递减区间,求实数b的取值范围;
﹣bx,函数f(x)=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直.
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(3)设x1、x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点,若b
,求g(x1)﹣g(x2)的最小值.
21.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,asinAsinB+bcos2A=(Ⅰ)求;
22
(Ⅱ)若c=b+
a.
a2,求B.
22.若已知
23.某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取了100份问卷进行统计,得到相关的数据如下表: 节能意识弱 节能意识强 总计 45 9 54 20至50岁 大于50岁 10 36 46
,求sinx的值.
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总计 55 45 100 (1)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关?
(2)据了解到,全小区节能意识强的人共有350人,估计这350人中,年龄大于50岁的有多少人? (3)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽5人,再从这5人中任取2人,求恰有1人年龄在20至50岁的概率.
24.已知函数f(x)=log2(x﹣3),(1)求f(51)﹣f(6)的值; (2)若f(x)≤0,求x的取值范围.
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德化县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】解:由f(x)=x﹣6x+7=(x﹣3)﹣2,x∈(2,5].
2
2
∴当x=3时,f(x)min=﹣2. 当x=5时,
2
.
∴函数f(x)=x﹣6x+7,x∈(2,5]的值域是[﹣2,2]. 故选:C.
2. 【答案】A
【解析】解:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10个,
取出的3个数可作为三角形的三边边长,根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共3个,
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=故选:A.
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件.
3. 【答案】D
2222【解析】∵PF,∴,即为直角三角形,∴,PFPFPFFPF0PFPFFF4c1212121212.
|PF1PF2|2a,则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2),
(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径 rPF1PF2F1F2312c2a2c,外接圆半径Rc.由题意,得2c2a2cc,整理,得
22c()2423,∴双曲线的离心率e31,故选D. a4. 【答案】B
【解析】解:A选项中,两个平面可以相交,l与交线平行即可,故不正确; B选项中,垂直于同一平面的两个平面平行,正确;
C选项中,直线与直线相交、平行、异面都有可能,故不正确; D中选项也可能相交. 故选:B.
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【点评】本题考查平面与平面,直线与直线,直线与平面的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.
5. 【答案】 D
【解析】解:∵在正方体中,AC⊥BD,∴AC⊥平面B1D1DB,BE⊂平面B1D1DB,∴AC⊥BE,故A正确; ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,∴EF∥平面ABCD,故B正确; ∵EF=
,∴△BEF的面积为定值×EF×1=
,又AC⊥平面BDD1B1,∴AO为棱锥A﹣BEF的高,∴三棱
锥A﹣BEF的体积为定值,故C正确;
∵利用图形设异面直线所成的角为α,当E与D1重合时sinα=,α=30°;当F与B1重合时tanα=直线AE、BF所成的角不是定值,故D错误; 故选D.
,∴异面
6. 【答案】D
xx
【解析】解:函数y=e的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣,
x
而函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e的图象关于y轴对称,
所以函数f(x)的解析式为y=e﹣(故选D.
7. 【答案】A 【解析】
x+1)
=e﹣x﹣1.即f(x)=e﹣x﹣1.
考
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点:棱锥的结构特征. 8. 【答案】C
【解析】解:正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形,所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上,在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个, 所以共有4×6=24个,
3
而在8个点中选3个点的有C8=56,
所以所求概率为故选:C
=
【点评】本题是一个古典概型问题,学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题.
9. 【答案】B 【
解
析
】
10.【答案】A
【解析】解:∵U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,3}, ∴CUA={2,4}, ∵B={0,1,4}, 故选:A.
∴(CUA)∪B={0,1,2,4}.
【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
11.【答案】A
【解析】解:∵a=0.52=0.25, b=log20.5<log21=0, c=20.5>20=1, ∴b<a<c. 故选:A.
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【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用.
12.【答案】C. 【
解
析
】
二、填空题
13.【答案】 {x|x>0} .
【解析】解:对数函数y=lgx的定义域为:{x|x>0}. 故答案为:{x|x>0}.
【点评】本题考查基本函数的定义域的求法.
21
14.【答案】
2
【解析】在Rt△ABC中,BC=3,AB=3,所以∠BAC=60°. 因为BE⊥AC,AB=3,所以AE=
3
,在△EAD中,∠EAD=30°,AD=3,由余弦定理知,ED2=AE2+AD22
3332121
-2AE·AD·cos∠EAD=+9-2××3×=,故ED=.
4224215.【答案】【解析】 当当
时,时,
,
,所以
两式相减得:令 答案:
得
16.【答案】必要而不充分 【解析】
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试题分析:充分性不成立,如yx2图象关于y轴对称,但不是奇函数;必要性成立,yf(x)是奇函数,
|f(x)||f(x)||f(x)|,所以y|f(x)|的图象关于y轴对称.
考点:充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法.
1.定义法:直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p⇒q”为真,则p是q的充分条件.
2.等价法:利用p⇒q与非q⇒非p,q⇒p与非p⇒非q,p⇔q与非q⇔非p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
3.集合法:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. 17.【答案】1
【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】设设
,则
因为
,
所以,所以
因此,存在唯一的点M,使故答案为: 18.【答案】
.
成立。
【解析】解:由题意图形折叠为三棱锥,底面为△EFC,高为AC, 所以三棱柱的体积:××1×1×2=,
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故答案为:.
【点评】本题是基础题,考查几何体的体积的求法,注意折叠问题的处理方法,考查计算能力.
三、解答题
19.【答案】 【解析】解:∵方程∴
⇒m>2
表示焦点在x轴上的双曲线,
若p为真时:m>2,
2
∵曲线y=x+(2m﹣3)x+1与x轴交于不同的两点, 2
则△=(2m﹣3)﹣4>0⇒m>或m
,
若q真得:或,
由复合命题真值表得:若p∧q为假命题,p∨q为真命题,p,q命题一真一假 若p真q假:若p假q真:
或
.
;
∴实数m的取值范围为:
【点评】本题借助考查复合命题的真假判定,考查了双曲线的标准方程,关键是求得命题为真时的等价条件.
20.【答案】
【解析】解:(1)∵f(x)=x+alnx, ∴f′(x)=1+,
∵f(x)在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直, ∴k=f′(x)|x=1=1+a=2, 解得a=1.
2
(2)∵g(x)=lnx+x﹣(b﹣1)x,
∴g′(x)=+x﹣(b﹣1)=
由题意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,
,x>0,
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即x++1﹣b<0有解, ∵定义域x>0, ∴x+≥2, x+<b﹣1有解,
只需要x+的最小值小于b﹣1, ∴2<b﹣1,
解得实数b的取值范围是{b|b>3}.
2
(3)∵g(x)=lnx+x﹣(b﹣1)x,
∴g′(x)=+x﹣(b﹣1)=
由题意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解, x1+x2=b﹣1,x1x2=1,
2
∵x>0,设μ(x)=x﹣(b﹣1)x+1,
,x>0,
22
则μ(0)=[ln(x1+x1﹣(b﹣1)x1]﹣[lnx2+x2﹣(b﹣1)x2]
=ln=ln=ln
+(x12﹣x22)﹣(b﹣1)(x1﹣x2) +(x12﹣x22)﹣(x1+x2)(x1﹣x2) ﹣(
﹣
),
∵0<x1<x2, ∴设t=
,0<t<1,
令h(t)=lnt﹣(t﹣),0<t<1, 则h′(t)=﹣(1+
)=
<0,
∴h(t)在(0,1)上单调递减,
2
又∵b≥,∴(b﹣1)≥
,
由x1+x2=b﹣1,x1x2=1, 可得t+≥
,
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2
∵0<t<1,∴由4t﹣17t+4=(4t﹣1)(t﹣4)≥0得0<t≤,
∴h(t)≥h()=ln﹣(﹣4)=故g(x1)﹣g(x2)的最小值为
﹣2ln2,
﹣2ln2.
【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值,考查函数的最小值的求法,解题时要认真审题,注意函数的单调性的合理运用.
21.【答案】
22
即sinB(sinA+cosA)=
sinA,
<2π,
)sin
22
【解析】解:(Ⅰ)由正弦定理得,sinAsinB+sinBcosA=
sinA
a2,得cosB=
2)a,
∴sinB=sinA, =
22
(Ⅱ)由余弦定理和C=b+222
由(Ⅰ)知b=2a,故c=(2+
2
可得cosB=,又cosB>0,故cosB=
所以B=45° 题进行了互化.
22.【答案】 【解析】解:∵∴sin(
)=﹣
)﹣
,∴
<
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问
=﹣.
]=sin(
.
)cos
﹣cos(
∴sinx=sin[(x+=﹣
﹣
=﹣
【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式,属于基础题.
23.【答案】
【解析】解(1)因为20至50岁的54人有9人节能意识强,大于50岁的46人有36人节能意识强,相差较大,所以节能意识强弱与年龄有关
(2)由数据可估计在节能意识强的人中,年龄大于50岁的概率约为
与
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∴年龄大于50岁的约有(人)
(人),
(3)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的
年龄大于50岁的5﹣1=4人,记这5人分别为a,B1,B2,B3,B4.
从这5人中任取2人,共有10种不同取法:(a,B1),(a,B2),(a,B3),(a,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4), 设A表示随机事件“这5人中任取2人,恰有1人年龄在20至50岁”, 则A中的基本事件有4种:(a,B1),(a,B2),(a,B3),(a,B4) 故所求概率为
24.【答案】
【解析】解:(1)∵函数f(x)=log2(x﹣3), ∴f(51)﹣f(6)=log248﹣log23=log216=4; (2)若f(x)≤0,则0<x﹣3≤1, 解得:x∈(3,4] 出错.
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,对数的运算性质,解答时要时时注意真数大于0,以免
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