2023-2024学年安徽省高三下学期高考数学预测模拟卷(6月)含解析

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合A.Ax|4x213x0

B.，By|y

x23

，则AB（）D.0,20,3C.2,4

13

133,4

【正确答案】D【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，再根据根式的性质求出集合B，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由4x213x0，即x4x130，解得0x所以Ax|4x13x0x|0x由13

，42

13，4

x20，所以x233，所以By|y所以AB3,故选：D．x23y|y3，13

．4

2.若复数z满足1iz1i，则z的虚部是（）A.i【正确答案】DB.1C.2i2D.22【分析】根据复数的除法运算求得复数z，即可确定答案.【详解】因为1iz1i，所以z

1i1i

2(1i)22i，222故z的虚部是故选：D2，22

（a0，且a1）的图象恒过定点P.若点P在幂函数fx的33.已知函数ya

x3



图象上，则幂函数fx的图象大致是A.B.C.D.【正确答案】A【分析】首先求出函数过定点P的坐标，再求出幂函数的解析式，即可判断.2（a0，且a1）321210x3

令x30，则ya，即x3，y故函数ya（a0，且a1）3333【详解】解：yax31的图象恒过定点P3,.3设fxx

则f33

11解得1，fxx3故fx的图象大致是A故选：A

本题考查指数型函数过定点问题，待定系数法求幂函数解析式以及幂函数的图象的识别，属于基础题.4.已知数列an中，a12，anan15，则数列an前11项的和S11（）A.22【正确答案】BB.27

C.28

D.55

【分析】根据数列的递推公式求出数列的奇数项都等于2，偶数项都等于3，进而求解.【详解】依题意a12，anan15，则an1an25，两式相减得到an2an，又a25a13，所以数列的奇数项都等于2，偶数项都等于3，所以S11523227，故选：B．5.已知函数fxA.1212

1，则不等式f2x3fx的解集为（）xx2244x1B.2,11,1

,13,2

1,13,3,13,C.

D.【正确答案】B【分析】确定函数fx的图象关于1,1中心对称，fx在1,上单调递减，且fx1，不等式转化为2x3x21或x212x3或12x3x2，解得答案.2xx

【详解】依题意，x1，fxx，

44x12x1121x12x12x1故f1xf1xx111x1x122，x144x44x4444故函数fx的图象关于1,1中心对称，121yy1，，单调递减，2x24x4x1121

x11，故fx在1,上单调递减，且fxx2244x1当x1时，y

函数fx的图象关于1,1中心对称，fx在,1上单调递减，而f2x3fx

fx1，，故2x3x

2

2

1或x212x3或12x3x2，解得1x1或x3，故所求不等式的解集为1,13,，故选：B.x2y2

6.已知椭圆221a1b10的离心率为a1b1

2，双曲线2x2y221a20，b20与椭圆有相同的焦点F1，F2，M是两曲线的一个公共点，2a2b2若F1MF260，则双曲线的渐近线方程为A.y

2x2B.yxD.y3xC.y2x【正确答案】A【详解】试题分析：由题意得，设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令M在双曲线的右支上，由双曲线的定义MF1MF22a2，由椭圆的定义可知MF1MF22a1，又因为F1MF260，所以MF1MF22MF1MF2cos604c2，解得MF1a1a2,MF2a1a2，代入上式得2(a1a2)(a1a2)4c，即a13a24c，由2222222222c222222，则2ca1,a2c，a123b2122222yxbcac即有2，则渐近线方程为，即为yx，故选A.2a232考点：双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、双曲线的标准方程及其简单的几何性质，以及圆锥曲线的定义等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中熟记圆锥曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质是解答的关键.7.小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）A.20160【正确答案】AB.20220C.20280D.20340【分析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，分类讨论求出分堆情况，再进行排列，求出最后答案.【详解】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能；若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有C4C312种可能；22若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有C4A212种可能；31小计：1+12+12=25；（2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型若是“10=4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；若是“10=4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，“4+2+2”中各一个H，“2+2”中除了一个H外，另一个互异，故有C33种可能；若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有C3A26种可能；若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+C3C3C210种可能；YXZH※H※H※※H※H※※※HH※H※H※H※H※2

2

1

2

2

2

若是“10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；小计：C403610076；1（3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），故有C2C24种可能；若是“12=3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2种可能；若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2种可能.小计C4954；诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“14=4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有C33种可能，故此小类有3种可能；若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；小计3C412；（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能；综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为168A5=16812020160种.故选：A比较复杂一些的排列组合问题，要结合分类加法原理和分步乘法原理进行求解，特别是分类标准，要做到不重不漏，本题中，应用的是把8,10,12,14,16分为5个数（从1到4）的和的分类标准，可以做到不重不漏.8.在梯形ABCD中，AB//CD，DAB90，AB2，CDAD1，若点M在线5

1

2

2

1

1



段BD上，则AMCM的最小值为（A.）C.-

35B.

92035D.920【正确答案】B【分析】根据AB//CD，DAB90，AB2，CDAD1，建立空间直角坐标系，设BMBD,01，得到M(22,)，再求得AM,CM的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：

因为AB//CD，DAB90，AB2，CDAD1，所以B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设BMBD,01所以M(22,)，



所以AM(22,)，CM(12,1)，279所以AM·CM2212152725，

1020

当=

97

时，AM·CM的最小值为，1020故选：B.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）

9.如图，正方体ABCDEFGH的棱长为1，点P为BF的中点，下列说法正确的是（）A.FDCHB.FG//平面ACHC.点P到平面AGC的距离为D.222PH与平面CGHD所成角的正弦值为3【正确答案】ACD【分析】连接FD、GD，证明CH平面FGD，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据BC//FG，BC与平ACH交与点C即可判断B；连接FH、EG交于Q，证明BF//平面AEGC，从而可得点P到平面AEGC的距离即为点F到平面AEGC的距离，即可判断取CG中点M，连接PM、证明PM平面CGHD，从而可得PH与平面CGHDC；MH，所成角即为PHM，从而可判断D.【详解】对于A选项，连接FD、GD，在正方体ABCDEFGH中，FG平面CDHG，CH平面CDHG，所以FGCH，因为四边形CDHG是正方形，所以DGCH，因为DGFGG，DG、FG平面FGD，所以CH平面FGD，又FD平面FGD，所以FDCH，故A正确；对于B选项，在正方体ABCDEFGH中，有BC//FG，且BC与平ACH交与点C，故FG与平面ACH不平行，故B错误；对于C选项，连接FH、EG交于Q，在正方体ABCDEFGH中，AE平面EFGH，又FH平面EFGH，所以FHAE，因为四边形EFGH是正方形，所以FHEG，因为EGAEE，AE、EG平面AEGC，所以FH平面AEGC，因为BF//CG，BF平面AEGC，CG平面AEGC，所以BF//平面AEGC，所以点P到平面AEGC的距离即为点F到平面AEGC的距离，即为FQ，又正方体ABCDEFGH棱长为1，则FQ

22，则点P到平面AGC的距离EF

22为2，故C正确；2对于D选项，取CG中点M，连接PM、MH，因为四边形BCGF是正方形，点P为BF的中点，所以PM//FG，因为FG平面CGHD，所以PM平面CGHD，又HM平面CGHD，所以PMHM，所以PH与平面CGHD所成角即为PHM，则sinPHM

PM

PHPMPM2HM2PMPM2GM2GH21112122223，则PH与平面CGHD所成角的正弦值为2，故D正确．3故选：ACD．x1e

10.已知0，若关于x的方程xlnx0存在正零点，则实数的值可x能为（）A.1eB.12C.eD.2【正确答案】CD【分析】将式子变形为e

xlnx1t1

xlnx0，构造函数htet，和pxxlnx，即可利用导数求解单调性，即可求最值.ex1ex1xlnx1【详解】依题意，xlnxlnxxlnxexlnx0，xe

令txlnx，故问题转化为et1t0有解.设hte

t1

t，则htet11，故当t,1时，ht0，ht单调递减，当t1,时，ht0，ht单调递增，故hxh1，而h10，所以ht存在唯一零点t1，即1xlnx在0,有解，即1lnxlnx，令pxxlnx，则px1

1x1

，xx故当x0,1时，px0，当x1,时，px0，故函数px在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故1lnp11，解得1，故实数的取值范围为1,，故选：CD.本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.11.下列命题中正确的命题是（）A.x(,0)，使2x3x；B.若sincos1，则sin4cos41；C.已知a，b是实数，则“()()”是“log3alog3b”的必要不充分条件；a

b

1313cos222．D.若角的终边在第一象限，则的取值集合为2，

sincos

22sin

【正确答案】BCD【分析】根据指数函数的性质，得到()1，可判定A不正确；由三角函数的基本关系x

23式，可判定B正确；由指数函数与对数函数的性质，结合充分、必要条件的判定，可判定Cπ

(kπ,kπ),kZ，分类讨论，结合三角函数的符号，可判定D正确．242x

【详解】对于A中：当x0时，()1，即2x3x，所以A不正确；3正确；求得对于B中：若sincos1，则sincos12sincos1，2

sin1sin0

所以2sincos0，可得或，此时sin4cos41，cos0cos1

所以B正确；对于C：由()()，可得ab，又由log3alog3b，可得则ab0，a

b

所以“()()”是“log3alog3b”的必要不充分条件，所以C正确；a

b

1313

1313

对于D：由角的终边在第一象限，可得π

(kπ,kπ),kZ，24cos

222

当k为偶数时，在第一象限时，可得；2sincos22sin

cos

222

当k为奇数时，在第三象限时，可得，2sincos22sin

cos222，所以D正确．所以的取值集合为2，

sincos

22sin

故选：BCD．12.已知定义在R上的函数fx满足fxfx0，fx2fx0，且当x0,1时，fx2x1，若函数yfxlogax1在0,上至少有三个不同2

的零点，则下列结论正确的是（）A.fx的图象关于直线x=1对称B.当x4,5时，fx2x52

C.当x2,3时，fx单调递减【正确答案】ABD3

D.a的取值范围是0,3



【分析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案.【详解】根据题意得：fxfx0知fx是偶函数，由fx2fx0知fx是周期为2的周期函数，因为当x0,1时，fx2x1，所以有如图的函数图象，2对于A：由图可知fx图象关于x=1对称，所以A正确；对于B：当x4,5时，fxfx42x5，所以B正确；对于C：当x2,3时，由周期为2可知fx单调性与x0,1时fx的单调性相同，易知当x2,3时，fx单调递增，所以C错误；对于D：设gxlogax1，则函数yfxlogax1在0,+¥

2()上至少有三个不同的零点，)上至少有三个不同的交点，等价于函数fx与gx图象在0,+¥

(结合图象可知，则有g2f2，即loga212，解得0a故选：ABD.3，所以D正确.3三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.为了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.99.8支出y（万元）6.27.58.0t根据上表可得回归直线方程$y0.76x0.4，则t＝_______．【正确答案】8.5【分析】根据线性回归直线过中心点(x,y)，分别求出收入和支出的平均数，代入即可得解.【详解】分别求出收入和支出的平均数，可得：x

8.28.610.011.311.9

10，56.27.589.8t31.5ty，55代入$y0.76x0.4可得：31.5t

=0.7610+0.4，5解得：t8.5，故答案为.8.5

本题考查了线性回归直线方程，考查了线性回归直线过中心点(x,y)的性质，易错点为直接代统计数据，计算量不大，属于基础题.b14.若ax2的展开式中x3项的系数为-160，则a2b2的最小值为_______x

【正确答案】166

3b3

【分析】求出ax2的展开式的通项公式，得到C3ab160，求出ab8，6

x

6

再利用重要不等式，求出最小值.6rrrbrr6r

【详解】ax2展开式的通项公式为Tr1C6ax2bx1C6abx123r，x

6

令123r3，解得：r3，3333故T4C36abx，所以C6ab160，3

3

解得：ab8，所以a2b22ab16，当且仅当ab22时，等号成立，故a2b2的最小值为16.故16x2y215.已知椭圆21(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长ab

为8，则椭圆的长轴长为______【正确答案】10【分析】将圆的普通方程化为标准方程可得圆心，即椭圆焦点，再根据椭圆a,b,c的关系和它们的几何意义列式计算即可.【详解】由x2y26x80得x3y21，其圆心为3,0，2x2y2

即椭圆21(ab0)的一个焦点是3,0，ab所以a2b29，又2b8，得a225，即a5，所以2a10，椭圆的长轴长为10.故10.16.已知三棱锥PABC中，PB平面ABC，ABBCPB23，AC6，则三棱锥PABC外接球的体积为______．【正确答案】2015π【分析】将三棱锥PABC补成直三棱柱TPSABC，直三棱柱的外接球即为三棱锥PABC的外接球，确定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圆半径，进而求得三棱锥外接球半径，即可得答案.【详解】因为ABBCPB23，AC6，所以在ABC中，根据余弦定理可得：AC2AB2BC22ABBCcosABC，即36(23)2(23)22(23)2cosABC．所以cosABC所以∠ABC=120°，所以底面ABC是顶角为120°的等腰三角形．由题意将三棱锥PABC补成如图所示的直三棱柱TPSABC，1，2则该直三棱柱的外接球即为三棱锥PABC的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上．设ABC外接圆的半径为r，三棱锥PABC外接球的半径为R，由正弦定理得，2r

AC643，sinABC322PB所以r23，R2r212315，2所以三棱锥PABC外接球的体积为V故2015π43πR2015π，3四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a4a618，S11121.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bnan32，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.nn2

【正确答案】（1）an2n1；（2）Tnn2

【分析】（1）结合等差数列下标性质可得a4a62a518，再由前n项和公式S11

11a1a11211a6121，即可求解；nn1（2）由（1）bnan32(n1)2，再结合错位相减法即可求解；【详解】（1）设数列an的公差为d，∵a4a62a518，∴a59，S11

11a1a11211a6121，∴a611，∴da6a51192，∴ana5(n5)d92(n5)2n1.（2）由（1）可知bnan32(2n13)2(n1)2

n

n

234n1

，n1∴数列bn的前n项和为Tn223242(n1)2

，2Tn223324425n2n1(n1)2n2，两式作差，得Tn22223242n1(n1)2n28

812n112n2

(n1)2

n282n28(n1)2n2n2n2，∴Tnn2

.本题考查等差数列通项公式的求解，错位相减法求解数列的前n项和，属于中档题18.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinA3cosC（1）求B的大小；（2）若B为锐角，求sinAsinBsinC的取值范围．3sinC

．tanB【正确答案】（1）（2）3,π2π或3333

2

【分析】（1）利用条件，切化弦得到2sinAsinB3cosCsinB3sinCcosB，再利用正弦的和角公式及诱导公式得到sinB

3，即可求出结果；2

π，6

（2）利用（1）中结果，用A表示出C，通过化简变形得到sinAsinC3sinA再利用ysinx的图像与性质即可求出结果.【小问1详解】由2sinA3cosC

3sinC3sinCcosB

，得到

tanBsinB2sinAsinB3cosCsinB3sinCcosB，即2sinAsinB3(cosCsinBsinCcosB)，所以2sinAsinB3sin(BC)3sin(πA)3sinA，又A(0,π)，所以sinA0，则sinB【小问2详解】∵角B是锐角，由（1）知B2ππ3，又B(0,π)，所以B或B.332π2π,CA，333133π2πsinAsinCsinAsinAsinAcosAsinAsinAcosA3sinA222263,ππ5ππ12π

A0,，所以A,，故sinA,1，所以6666233sinAsinC,3，又sinB3,22

333,所以sinAsinBsinC的取值范围是．2

19.近年来，各平台短视频、网络直播等以其视听化自我表达、群圈化分享推送、随时随地传播、碎片化时间观看等特点深受人们喜爱，吸引了眼球赚足了流量，与此同时，也存在功能失范、网红乱象、打赏过度、违规营利、恶意营销等问题．为促使短视频、网络直播等文明、健康，有序发展，依据《网络短视频平台管理规范》《网络短视频内容审核标准细则》等法律法规，某市网信办、税务局、市场监督管理局联合对属地内短视频制作、网络直播进行审查与监管．（1）对短视频、网络直播的整体审查包括总体规范、账户管理、内容管理等三个环节，三个环节均通过审查才能通过整体审查．设某短视频制作团队在这三个环节是否通过审查互不影响，且各环节不能通过审查的概率分别为①求该团不能通过整体审查的概率：．②设该团队通过整体审查后，还要进入技术技能检测环节，若已知该团队最终通过整体审查和技术技能检测的概率为35%，求该团队在已经通过整体审查的条件下通过技术技能检测的概率；（2）某团队为提高观众点击其视频的流量，通过观众对其视频的评论分析来优化自己的创作质量，现有100条评论数据如下表：时间对视频作品否满意改拍前视频满意不满意合计281240改拍后视频573608515100合计4131

,,．25485试问是否有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联？n(adbc)2

参考公式：，nabcd

(ab)(cd)(ac)(bd)2

P2x00.10.050.010.0050.001xn2.7063.8416.6357.87910.828【正确答案】（1）①（2）有515

；②1007【分析】（1）利用对立事件性质与条件概率公式即可求解；（2）代入公式即可求出值，再与表格数据对比即可求解.【小问1详解】①由题意该团队不能通过审查的概率为：11





413151

；11

25485100②假设该团队通过审查的事件为A.通过技术技能检测的事件为B，则由题意，P(A)

P(AB)3554935

；，P(AB)，则P(BA)P(A)497100100【小问2详解】100(2835712)2

根据题意得11.76510.828，851540602

所以有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联.20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1底面A1B1C1，A1C的中点为O，四面体1

OA1B1C1的体积为，四边形BCC1B1的面积为22.3（1）求O到平面BCC1B1的距离；（2）设AB1与A1B交于点O，ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形且AA1A1B1.求直线B1O与平面A1BC所成角的正弦值.【正确答案】（1）22（2）24221【分析】（1）由O为A1C的中点可得VCA1B1C12VOA1B1C1，而VA1B1C1CVCA1B1C1，利用等体积法即可求解点面距离；（2）以C1B1，C1A1，C1C所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C1xyz，求解平面A1BC的法向量，利用空间向量求解线面角即可.【小问1详解】解：因为O为A1C的中点，VOA1B1C1

12

，所以VCA1B1C12VOA1B1C1，33设O到平面BCC1B1的距离为h，则A1到平面BCC1B1的距离为2h，因为VA1B1C1CVCA1B1C1即1

S△B1C1C2h，3211S332BCC1B1

2h，

即211222h，得h2，即O到平面BCC1B1的距离.3322【小问2详解】因为ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形，由（1）知B1C1AC112h所以AA1A1B12，如图，以C1B1，C1A1，C1C所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C1xyz.2，则点A10,2,0，B

20,2,0,2，C0,0,2，O2,1，B1

2,0,0.22,2,2，A1C0,2,2，B1O2,2,1.



设平面A1BC的法向量为nx,y,z，则A1B

n

A1Bx,y,z2,2,22x2y2z0,x0

则由解得.y2nA1Cx,y,z0,2,22y2z0,





令z1，则y2，于是平面A1BC的一个法向量为n0,2,1.所以直线B1O与平面A1BC所成角的正弦值为20,2,12,,12nB1O14nB1O

322242.21422242.21故直线B1O与平面A1BC所成角的正弦值为x2y2

21.已知双曲线C:21a0,b0的实轴长为22，C的一条渐近线斜率为2ab



2，直线l交C于P，Q两点，点M22a,b在双曲线C上.（1）若直线l过C的右焦点，且斜率为1，求PMQ的面积；（2）设P，Q为双曲线C上异于点M

2a,b的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，若k1k22k1k2，求证：直线PQ过定点.【正确答案】（1）623（2）证明见详解.【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义求出双曲线的方程联立进行求解即可；（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.【小问1详解】如图：x2y2因为双曲线C:21a0,b0的实轴长为22，2ab

所以2a22，即a2.又因为C的一条渐近线斜率为

2，2x2b2所以，所以b1，故双曲线C:y21.2a2则其右焦点坐标为3,0，因为直线l过C的右焦点，且斜率为1，所以直线l的方程为：yx3，设Px1,y1，Qx2,y2.yx3联立x2得：x243x80，2y12所以由韦达定理得：x1x243，x1x28.所以PQ

xx1k21224x1x22483242，点M2,1到直线l的距离为.d

332所以SPMQ1133PQd42623.222【小问2详解】证明：如图设直线PQ的方程为：xmyn，设Px1,y1，Qx2,y2.xmyn

222m2y2mnyn20联立x2得.2y12Δ4m2n24m22n228m2n220，即m2n222mnn22

所以：y1y22，y1y22.m2m2而M2,1，则k1

y11y21

，k2.x12x22y1-1y2-1y-1y2-1+=21×x1-2x2-2x1-2x2-2因为k1k22k1k2，所以整理的：y11x22y21x122y11y21

，x2x2x2x2x2x2121212所以y11x22y21x122y11y21，所以：y1x2y2x1x2x122y1y2，所以y1my2ny2my1nmy2nmy1n22y1y2，整理得：2m2y1y2nmy1y22n20，2m2n22代入韦达定理得：m22

2mnnmm22

2n2m22m220，所以2m2n22mnnm2n2m20，22整理得：m2n22m2n0，即mnmn20，则mn或m2n.当mn时，直线线PQ的方程为：xnynny1，所以过定点0,1；当m2n时，直线线PQ的方程为：x2nynn1y2y，所以过定点2,1.即为M2,1，因为P，Q为双曲线C上异于点M2,1的两动点，所以不符合题意.故直线PQ过的定点为0,1.与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理建立关系即可解决问题.22.已知函数f(x)

a2

xx(lnxb1)，a,bR.2（1）当b=-1时，讨论函数fx的零点个数；（2）若fx在0,上单调递增，且ce2ab，求c的最大值.a22a1时，函数fx有两个零点；当或0时，即a

2ee2e

2a1或a0时，函数fx有一个零点；当即a时，函数fx无零点；（2）c的最2ee【正确答案】（1）当0a大值为2.aa

fxx【分析】（1）整理得xlnx，故函数零点的个数取决于yxlnx的零点22

个数，等价转化为y

alnx

与y的值域之间的关系，利用导数求解即可求得结果；2x（2）根据题意，fx0恒成立，据此求得a,b范围；再构造函数求得2ab的最小值，即可求得c的最大值.【详解】（1）当b1时，fxx故fx的零点个数，取决于y

a

xlnx，2

a

xlnx的零点个数.2alnxlnx1lnx

分离参数可得，令hx，则hx，2xxx2令hx0，解得x0,e；令hx0，解得xe,；故hx在0,e单调递增，在e,单调递减.1

，又h10，当x1时，hx0恒成立.ea1a2

故当或0，即a0或a时，fx有一个零点；2e2e故hxmaxhe当a12

0,，即0a时，fx有两个零点；2eea12

，即a时，fx没有零点.2ee当（2）根据题意，fxgxaxlnxb0在x0时恒成立.当a0时，gxlnxb，显然不存在b使得gx0恒成立；当a0时，gx是单调减函数，且x趋近于正无穷时，gx趋近于负无穷，不满足题意；当a0时，gx故gx在0,

ax111

，令gx0，解得x；令gx0，解得0x；xaa



11单调递减，在,单调递增，aa

1

1lnab0成立即可.a

要满足题意，只需g

综上所述，若gx0在x0恒成立，则a0且1lnab0，即b1lna，则2ab2a1lna,(a0)，令ma2alna1,(a0)，则ma令ma0，解得a

11

；令ma0，解得0a，222a1

，a故ma在0,



11

,单调递减，在单调递增.22

故mam

1

ln2，即2abln2，2

则e2abeln22.又ce2ab，故ce故c的最大值为2.本题考查利用导数研究函数的零点问题，涉及利用导数研究恒成立问题，以及双变量问题，属综合困难题.2abmin2，