2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（ ） A．点P在圆内
B．点P在圆上
C．点P在圆外
D．不能确定
2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（ ） A．2π
B．π
C．π
D．π
4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为∠ACO的度数为（ ）
的中点，若∠BAD＝20°，则
1
A．30°
B．45°
C．55°
D．60°
7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．
B．
C．
2
D．
8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x+2x+k只有一个交点，则k的值为（ ） A．0
B．2
C．6
D．10
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（ ）
A．CD•AC＝AB•BC C．BC＝BD•AB
2
B．AC＝AD•AB D．AC•BC＝AB•CD
2
10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（ ） A．
cm
2
B．36cm
2
C．18cm
2
D．cm
2
11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（ ）
2
A．AB＝ED C．∠B＝90°﹣
B．EA⊥BC D．∠EAC＝90°+
12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是 ． 14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件 ．
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB的长为 ．
3
16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为 ．
17．二次函数y＝x+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为 ．
2
x y ﹣2 7 ﹣1 2 0 ﹣1 1 ﹣2 2 3 2 4 7 m 18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为 ．
三．解答题（共7小题） 19．解方程：x﹣7x﹣30＝0．
20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率： （1）两次取出的小球的标号相同； （2）两次取出的小球标号的和等于4．
21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
4
2
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小； （2）如图②，若点F为
的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．
22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且
＝，CE交BD于点F．
（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；
（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．
23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． （1）求证：△ABE∽△DCA；
5
（2）在旋转过程中，试判断等式BD+CE＝DE是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
222
25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点
2
E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．
6
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（ ） A．点P在圆内
B．点P在圆上
C．点P在圆外
D．不能确定
【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm， 即OP＝6， ∴点P在⊙O上． 故选：B．
2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不中心对称图形，故本选项不合题意； D、不中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（ ） A．2π
B．π
C．π
，计算即可．
D．π
【分析】根据弧长公式l＝
7
【解答】解：弧长＝故选：D．
＝，
4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】利用列表法展示所以36种等可能的结果数，找出向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，然后根据概率公式进行计算． 【解答】解：列表如下：
共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．
故选：D．
5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（
A．
B．
C．
D．
【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3， ∴△ABC∽△DEF，
8
）
∴＝，即＝，
解得，DE＝， 故选：B．
6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为∠ACO的度数为（ ）
的中点，若∠BAD＝20°，则
A．30°
B．45°
C．55°
D．60°
【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD＝20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC＝OA，即可求得∠ACO的度数 【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C为∴OC⊥AD， ∵∠BAD＝20°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO＝故选：C．
7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
＝
＝55°，
的中点，
A．
B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
9
【解答】解：根据题意得：AB＝∴BC：AC：AB＝1：
：：
，
＝，AC＝2，BC＝＝，
A、三边之比为1：B、三边之比
：2
，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； ：2：
，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
C、三边之比为1：D、三边之比为2：
故选：A．
8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x+2x+k只有一个交点，则k的值为（ ） A．0
B．2
2
2
C．6 D．10
【分析】直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x+2x+k只有一个交点，则把y＝﹣4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＝0，据此即可求解． 【解答】解：根据题意得：x+2x+k＝﹣4x+1， 即x+6x+（k﹣1）＝0， 则△＝36﹣4（k﹣1）＝0， 解得：k＝10． 故选：D．
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（ ）
2
2
A．CD•AC＝AB•BC C．BC＝BD•AB
2
B．AC＝AD•AB D．AC•BC＝AB•CD
2
【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．
【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC＝AD•AB，BC＝BD•AB，B、C正确，不符合题意； 故选：A．
10
2
2
10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（ ） A．
cm
2
B．36cm
2
C．18cm
2
D．cm
2
【分析】作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH＝PG+PQ+QH＝9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示： ∵△GHM是等边三角形， ∴∠MGH＝∠GHM＝60°， ∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠ABC＝120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形， ∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形， ∴AG＝BH＝3cm，∠MGH＝∠GHM＝60°，∠AGH＝∠FGM＝60°， ∴∠BAF+∠AGH＝180°， ∴AB∥GH，
∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，
∴PQ＝AB＝6cm，∠PAG＝90°﹣60°＝30°， ∴PG＝AG＝cm， 同理：QH＝cm， ∴GH＝PG+PQ+QH＝9cm， ∴△GHM的面积＝故选：A．
GH＝
2
cm；
2
11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（ ）
11
A．AB＝ED C．∠B＝90°﹣
B．EA⊥BC D．∠EAC＝90°+
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝α，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α， ∴AB＝AD，∠BAD＝α， ∴∠B＝故选：C．
12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
＝90°﹣
，
A． B． C． D．
【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决． 【解答】解：当0≤t≤2时，S＝有最小值（0，0），开口向上， 当2＜t≤4时，S＝
﹣
＝
＝
，即S与t是二次函数关系，
，即S与t是二次函数关系，开口向下，
12
由上可得，选项C符合题意， 故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是
．
【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率． 【解答】解：∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张， ∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是故答案为
．
2
，
14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件 AC＝DC•BC（答案不唯一） ．
【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案． 【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD＝∠BAC； 如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有： ①∠DAC＝∠B或∠ADC＝∠BAC； ②AC＝DC•BC；
故答案为：AC＝DC•BC（答案不唯一）．
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB的长为 4 ．
2
2
【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为
，
的值为
，可求出AB的长，则DB的长可求
13
出．
【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分， ∴S△ADE＝S四边形DBCE， ∴
＝，
∴＝，
∵AD＝4， ∴AB＝4
．
﹣4．
∴DB＝AB﹣AD＝4故答案为：4
﹣4．
16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为 20cm ．
【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA＝CE，DE＝DB，然后三角形周长的定义得到△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于
PA+PB．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PB＝PA＝10cm， ∵CA与CE为⊙的切线， ∴CA＝CE， 同理得到DE＝DB，
∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC ∴△PDC的周长＝PA+PB＝20cm，
14
故答案为20cm．
17．二次函数y＝x+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为 ﹣1 ．
2
x y ﹣2 7 ﹣1 2 0 ﹣1 1 ﹣2 2 3 2 4 7 m 【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值． 【解答】解：根据图表可以得到， 点（﹣2，7）与（4，7）是对称点， 点（﹣1，2）与（3，2）是对称点， ∴函数的对称轴是：x＝1，
∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点， ∴m＝﹣1．
18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为 ﹣1 ．
【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值． 【解答】解：如图所示：连接AM．
15
∵四边形ABCD为正方形， ∴AC＝
＝
＝
．
∵点D与点M关于AE对称， ∴AM＝AD＝1．
∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．
如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值． ∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝故答案为：
﹣1．
﹣1，
三．解答题（共7小题） 19．解方程：x﹣7x﹣30＝0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：x﹣7x﹣30＝0， （x﹣10）（x+3）＝0，
22
x﹣10＝0，x+3＝0， x1＝10，x2＝﹣3．
20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率： （1）两次取出的小球的标号相同； （2）两次取出的小球标号的和等于4．
【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；
（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率． 【解答】解：（1）如图，
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，
16
其中两次摸出的小球标号相同的有4种， 所有两次摸出的小球标号相同的概率为
（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种， 所以其概率为
．
＝；
21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小； （2）如图②，若点F为
的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．
【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案；
（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为角形，继而求得答案． 【解答】解：（1）连接OD， ∵OA为半径的圆与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB＝90°，
∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ADO＝25°， ∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°，
17
的中点，易得△AOF是等边三
∴∠BOD＝2∠OAD＝50°， ∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°； （2）连接OF，OD，
由（1）得：OD∥AC， ∴∠AFO＝∠FOD， ∵OA＝OF，点F为
的中点，
∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD， ∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝30°， ∵OA＝OD＝2， ∴OB＝2OD＝4， ∴AB＝OA+OB＝6．
22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且
＝，CE交BD于点F．
18
（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；
（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由． 【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，可得（Ⅱ）由PB∥DC，可得
，由此即可解决问题；
，可得PA的长．
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵∴
，
，
又∵BF＝15， ∴∴
， ；
（Ⅱ）解：能．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴PB∥DC，AB＝DC＝8， ∴∴∴PA＝
， ， ．
23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
19
（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；
（2）设AB＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得： x（100﹣2x）＝450 解得：x1＝5，x2＝45
当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去； 当x＝45时，100﹣2x＝10＜20 答：AD的长为10m； （2）设AB＝xm，则
S＝x（100﹣x）
＝﹣（x﹣50）+1250，（0＜x≤70） ∴x＝50时，S的最大值是1250．
答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．
24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． （1）求证：△ABE∽△DCA；
（2）在旋转过程中，试判断等式BD+CE＝DE是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2
2
2
2
20
【分析】（1）由图形得∠BAE＝∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA＝∠BAD+45°，可得∠BAE＝∠CDA，根据∠B＝∠C＝45°，证明两个三角形相似；
（2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°， ∴∠BAE＝∠CDA， 又∠B＝∠C＝45°， ∴△ABE∽△DCA；
（2）解：成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，
则CE＝BH，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°． 连接HD，在△EAD和△HAD中，
，
∴△EAD≌△HAD（SAS）． ∴DH＝DE．
又∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°， ∴BD+BH＝HD，即BD+CE＝DE．
25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点
2
2
2
2
2
2
2
E的坐标；
21
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．
【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△
ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可
求出一次函数解析式；
（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠
HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最
小值即可．
【解答】解：（1）将二次函数y＝ax（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）﹣2， ∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0， ∴
，
，即y＝
．
2
2
∴抛物线的解析式为y＝令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝4， ∵△ABD的面积为5， ∴
＝5，
∴yD＝，代入抛物线解析式得，，
22
解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴D（4，），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝．
），则M（a，
），
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，
∴
∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝
，
，此时E点坐标为（
）．
＝
＝
，
＝
，
∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是
（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，
23
∵E（），OA＝1，
，
∴AG＝1+＝，EG＝
∴，
∵∠AGE＝∠AHP＝90° ∴sin∴
，
，
∵E、F关于x轴对称， ∴PE＝PF，
∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小， ∵EF＝∴∴
．
，∠AEG＝∠HEF，
＝
，
∴PE+PA的最小值是3．
24
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