第03讲 有理数的乘除、乘方

考点·方法·破译

1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.

2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.

3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.

5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.

经典·考题·赏析

【例１】计算

111111() ⑵ ⑶()() ⑷25000

2424243713⑸()()(1)()5697⑴

【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，

二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.

11111()()2424811111⑵()2424811111⑶()()()24248⑷2500003713371031⑸()()(1)()()569756973解：⑴【变式题组】

01．⑴(5)(6) ⑵()1121 ⑶(8)(3.76)(0.125)4⑷(3)(1)2(6)0(2) ⑸12(21111111)4261202．(9111124)50 3．(2345)()23452504．(5)323(6)3131313【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（ ）A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0

C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.

解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．【变式题组】

01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（ ）

A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞0

02．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．(山东烟台)如果a＋b＜0，b0，则下列结论成立的是（ ）aA．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0

04．(广州)下列命题正确的是（ ）

A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0 C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0【例３】计算

⑴(72)(18) ⑵1(2) ⑶(1313)() ⑷0(7)1025【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，

再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.

解：⑴(72)(18)72184733377131255⑶()()()()10251036⑵1(2)1()1()⑷0(7)0【变式题组】

01．⑴(32)(8) ⑵2(1) ⑶0(2) ⑷()(1)13131613173802．⑴293131153 ⑵()(3)(1)3 ⑶0()35243503．

113()(10.2)(3)245【例４】（茂名）若实数a、b满足

abab＝___________.0，则

abab【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得

出结果.

ab2(a0,b0)解：当ab＞0，；ab2(a0,b0)当ab＜0，

abab＝－1.0，∴ab＜0，从而

abab【变式题组】

01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（ ）

A．正数 B．0 C．负数 D．非负数02．若A．b都是非零有理数，那么

abab的值是多少？abab03．如果

xxy，试比较与xy的大小.0yxy【例５】已知x(2),y1⑴求xy2008223x3的值； ⑵求2008的值.

y【解法指导】an表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.

解：∵x(2),y1⑴当x2,y1时，xy当x2,y1时，xy20082232(1)200822008(2)(1)20082x323⑵当x2,y1时，20088y(1)2008x3(2)3当x2,y1时，200882008y(1)【变式题组】

01．（北京）若mn(m2)0，则m的值是___________.

02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求(x)y的值，这里n是正整数.

nn2n【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的

负担，135万用科学记数法表示为（ ）

A．0.135×106 B．1.35×106 C．0.135×107 D．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选B．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）

A．1.03×105 B．0.103×105 C．10.3×104 D．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数

法表示正确的是（ ）

A．25.3×105亩 B．2.53×106亩 C．253×104亩 D．2.53×107

亩

【例７】（上海竞赛）

1222k299222221100500022005000k100k50009999005000【解法指导】找出k100k5000的通项公式＝(k50)50原式＝

2221222k2992(150)2502(250)2502(k50)2502(9950)25021299222982＝[][]22222222(150)50(9950)50(250)50(9850)50492512502[](4950)2502(5150)2502(5050)2502＝222+149个＝99

【变式题组】

3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++20063311 B． C． D．1003100433410001111111102．（第10届希望杯试题）已知1.258112041110164011111111求的值.2581120411101640A．

演练巩固·反馈提高

01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）

A．互为相反数 B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C．都是负数 D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（ ）

A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞004．若|ab|＝ab，则（ ）

A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜005．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式mcd为（ ）

A．－3 B．1 C．±3 D．－3或106．若a＞ab的值m1，则a的取值范围（ ）aa1，bA．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞107．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④其中能判断a、b互为相反数的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

08．若ab≠0，则

ab的取值不可能为（ ）abA．0 B．1 C．2 D．－209．(2)(2)的值为（ ）

1110A．－2 B．(－2)21 C．0 D．－210

10．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正

确的是（ ）

A．2.89×107 B．2.89×106 C．2.89×105 D．2.89×104 11．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝9，则a＋b＋c＋d＝___________.12．(1)2n1(1)2n(1)2n1（n为自然数）＝___________.

xy2，试比较x与xy的大小.13．如果xyyabc1，求abc的值.14．若a、b、c为有理数且

abcabc15．若a、b、c均为整数，且abca1.求accbba的值.

32培优升级·奥赛检测

01．已知有理数x、y、z两两不相等，则

xyyzzx中负数的个数是（ ）,,yzzxxyA．1个 B．2个 C．3个 D．0个或2个02．计算211,213,217,2115,2131归纳各计算结果中的个位

数字规律，猜测22010123451的个位数字是（ ）

A．1 B．3 C．7 D．503．已知abcde＜0，下列判断正确的是（ ）

A．abcde＜0 B．ab2cd4e＜0 C．ab2cde＜0 D．abcd4e＜004．若有理数x、y使得xy,xy,xy,2345x这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ）yA．113 B．0 C． D．22224816326405．若A＝(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)，则A－1996的末位数字

是（ ）

A．0 B．1 C．7 D．906．如果(ab)20011,(ab)20021，则a2003b2003的值是（ ）

A．2 B．1 C．0 D．－107．已知a22,b33,c55,d66，则a、b、c、d大小关系是（ ）

A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c08．已知a、b、c都不等于0，且

55443322abcabc2005的最大值为m，最小值为n，则(mn)abcabc＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘

积的总和是___________.

15,3,4.25,5.75第一组：311第二组：2,3155第三组：2.25,,41210．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果

得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？

11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：，

111212312，，，，，，，213214334122451，，，，，，，，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当215432161F(m)＝时，求m的值和这m个数的积.

200112．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：

11,,1,2,4,8,16,32,64填入42方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.

32

64

x

13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且

111111A(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233mm111111B(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233nnm1n1证明：⑴A,B;

2m2n1 ⑵AB，求m、n的值.

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