2022届浙江省普通高中强基联盟高三下学期3月统测数学试题(word版)

高三年级数学试题

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B) 如果事件A，B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

kkPn(k)Cnp(1p)nk(k0,1,2,,n)

柱体的体积公式VSh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

1锥体的体积公式VSh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

3球的表面积公式S4R2 台体的体积公式V体的高

4球的体积公式VR3，其中R表示球的半径

3第Ⅰ卷（选择题，共40分）

1S1S1S2S2h，其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台3一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

x11．已知集合Myy|2x∣,xR，Nyy,xR，则（ ）

7A．MN B．NM C．MRN D．

RNM

y21的离心率等于（ ） 2．双曲线x92A．

103 B．10 C．3 D． 323．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

正视图 侧视图 俯视图

A．

32342 B． C． D．

33334．已知平面，，直线m，，则“m∥”是“m”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

x3y30x5．若x，y满足约束条件2xy30，则的最大值为（ ）

yxy10A．

54 B． C．4 D．5 49ex16．函数ysin2xx的部分图象大致为（ ）

e1A． B． C． D．

7．在ABC中，D为边BC上一点，AD6，BD3，ABC45，则sinADC的值为（ ） A．

1217233 B． C． D．

4434axp(x)2x2lnx,x018．已知函数p(x)x，若函数y，恰有两个零点，则（ ）

p(x),x0xA．a1 B．a0或a1 C．a33 D．a0或a 229．有5个人去并排的5个不同场馆锻炼，假定每人可以选择去任意一个场馆，则恰有2个场馆无人选择，且这2个场馆不相邻的选择方式共有（ ）

A．800种 B．900种 C．1200种 D．1500种

10．如图，在四棱锥QEFGH中，底面是边长为22的正方形，QEQFQGQH4，M为QG的中点．过EM作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V1，V2，则值为（ ）

V1的最小V2

A．

1111 B． C． D． 2345第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．已知i为虚数单位，且z(3i)1i，则z的虚部是________，|z|________． 12．已知随机变量X的分布列如下：

X 0 1 2 11pp P 2221则当p时，E(X)________；当0p1时，D(X)的最大值为________．

3

56513．已知(x2)(xm)a6xa5xa1xa0，m为常数，若a57，则m________，

a6a5a1________．

14．若正项数列an满足a1a21，且对任意的正整数n，有an2an1ann2，则a4________，

a2022________．

a23b215．已知实数a，b满足a2b20，则2的最小值为________．

ab24216．椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，MF1圆的离心率为________．

4NF1，MF2F1F2，则椭317．已知向量a，b，c满足abc0，(ab)(ac)0，|bc|9，则|a||b||c|的最大值是________．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）已知函数f(x)sinxcosxsinx． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期和值域；

2（Ⅱ）在锐角ABC中，f(A)1，求sinBC的值． 619．（本题满分15分）如图，在矩形ABCD中，2BCAB2，M是AB的中点，沿直线MC将BCM翻折成PCM，PCD60．

（Ⅰ）求证：PCDM；

（Ⅱ）求直线PM与平面PCD所成角的正弦值．

220．（本题满分15分）正项递增数列an的前n项和为Sn，4Snan4n1nN*．

（Ⅰ）求an的通项公式；

2（Ⅱ）若a11，bn0，bn12Sn1，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tnn1．

21．（本题满分15分）过抛物线y4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，过点B作直线MN交x轴于点M，交抛物线于点N，且B为MN的中点．

2

（Ⅰ）若F为AMN的重心，求点A的坐标； （Ⅱ）当ABN面积最小时，求点A的横坐标． 22．（本题满分15分）已知函数f(x)lnx（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

1a． ax（a0且a1）

x（Ⅱ）若f(x)1恒成立，证明：方程f(x)2a10有两根s,t(st)且

113a． st|a1|

2022年浙江省普通高中强基联盟统测

高三年级数学试题参考答案

1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D 9．B 10．A 11．525175， 12．， 13．1，2 14．6，2024 15． 16． 17．3310 55623717．解析：设aDA，bDB，cDC， 则AE192BC，ADAE3，|a|3． 223∵(ab)(ac)(DADB)(DADC)BACA0， ∵abc0，∴点D是ABC的重心， ∴BACA．∴ABC是直角三角形，

在BDC中，利用中线定理，得BD2CD22BE2DE245，

22222即|b||c|45，∴902|b||c|(|b||c|)，∴|a||b||c|3103．



18．解：（Ⅰ）f(x)11cos2x21sin2xsin2x， 4分 22242则最小正周期T， 5分

1212值域为,． 7分

22（Ⅱ）由f(A)1，得sin2A2， 8分 42， 9分 因为A为锐角，所以2A3,444所以2A44，解得A4． 10分

故sinBC33623． 14分 sinsincoscossin6464644619．（Ⅰ）证明：由题可知PCBC1，CDAB2，

由余弦定理得PD2PC2CD22PCCDcosPCD3， 3分 ∴PC2PD2CD2，∴PCPD． 5分 ∵PCPM，PM和PD是平面PDM内两条相交直线， ∴PC平面PDM， 6分 ∴PCDM． 7分

（Ⅱ）解：（方法一）设M到平面PCD的距离为h，直线PM与平面PCD所成角为． 依题意可知，DM2， 8分

∴DM2PM2PD2，∴DMPM，PDM的面积为

22． 9分 由（Ⅰ）知PCPD，∴PCD的面积为

12PCPD32， 10分 由（Ⅰ）知PC平面PDM，根据VMPCDVCPDM， 11分 得1h33213122，解得h63， 13分 ∴sinh6PM3． 15分 （方法二）取CM的中点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则A32,12,0，M12,12,0，C12,12,0，D32,12,0，P20,0,2， ∴PM112,,2，PC1,1,2222，CD(2,0,0)． 22设平面PCD的法向量n(x,y,z)，

则PCn12x12y22z0，且CDn2x0， 令y2，得平面PCD的一个法向量n(0,2,1)． 13分

设直线PM与平面PCD所成角为， 则sin|cosPM,n|PMn26|PM||n|133． 15分 9分

220．（Ⅰ）解：当n1时，4a1a13，解得a11或a13．

22当a11时，41a2a27，即a24a230，解得a21或a23，∴a23． 22当a13时，43a2a27，即a24a250，解得a25． 3分 2由4Snan4n1，

2当n2时，Sn1an14(n1)1，

2222两式相减得4ananan14，即an1an4an4an2，

2当n2时，a22，所以an1an2，即anan12(n2)， ∴an2n1，或an2n1． 7分

222（Ⅱ）证明：当a11时，an2n1，Snn，则Sn1(n1)，bn12． 2(n1)n22n3n22n3，则bn． b2n1(n1)2n∴

n22n3n22n3(n1)22bn1122n1n1(n1)2(n1)(n1)(n1)2(n1)111．

(n1)2nn1∴Tnb1b2bnn11n1． 15分 n122y12y2y3,y1，B,y2，N,y3，M(m,0)． 21．解：（Ⅰ）F(1,0)，设A444由题意，2y2y3，y1y24，∴y2488，y3．∴m2． 4分 y1y1y18y1y012∴2，∴y18，∴A(2,22)． 7分 y11683224y1y1（Ⅱ）lAN:y1y3y4xy1y34(x2)，∴AN恒过D(2,0)．

SSABN1S2AMN，设y10，

AMN13212|MD|y1y33y1． 11分 2y1y1设f(x)当0x232129612，则x(x0)f(x)21． 34xxxx6233时，f(x)0；当x6233时，f(x)0．

AMN取最小值，此时xA∴当y16233时，S333． 15分 222．（Ⅰ）解：f(x)的定义域为(0,)．

1axa1(x1)11aax2x1af(x)2a． 3分 22xxxx①当0a减； ②当a1111时，11，f(x)在(0,1)上单调递减，在1,1上单调递增，在1,上单调递2aaa11时，11，f(x)在(0,)上单调递减； 2a③当

1111a1时，011，f(x)在0,1上单调递减，在1,1上单调递增，在(1,)上单2aaa110，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减． 7分 a调递减； ④当a1时，

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，若f(x)1恒成立，则a1．

当a1时，f(x)maxf(1)1aa12a1，故a1． 9分 令g(x)f(x)2a1lnx1aax2a1，g(1)20， xa2a1a2a11aa2a1a2a11aglna12a1 a1a1a1a1a2a1a2a1a1a1aa2a11a12aa2a12a0，

a1a2a1a1a2a1a2a11aa2a1a2a11aglna12a1 a1a1a1a1a2a1a2a1a1a1aa2a11a12aa2a12a0，

a1a2a1a1a2a1a2a1，，使得g(s)g(t)0，又g(x)在区间t1,,1a1a1由零点存在定理知，存在s(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，故g(x)至多有两个零点，所以g(x)有且只有两个零点，方程f(x)2a10有两实根s，t． 13分

11a1a122a13a3a． 15分 sta2a1a2a1a1a1|a1|