线性代数考题及答案 (3)

一、选择题（每题3分，共15分）

1a12若矩阵A01a2的秩r(A)2,则a的值为_____________10121.

(A)0(B)0或-1(C)-1(D)-1或者1

*设A为正交矩阵，且|A|1,则A_____________ 2.(A) A T (C) A

(B) - A T •D ） - A

TT3.设,是n维列向量,0,n阶方阵AE,n3，则在A的 n个特征值中,必然______________

(A) 有n个特征值等于1 (B) 有n1个特征值等于1 (C) 有1个特征值等于1 (D) 没有1个特征值等于1

4.设A,B为n阶方阵，且秩相等，既r(A)r(B),则______________

(A)r(A－B)0(B)r(AB)2r(A)(C)r(A,B)2r(A)(D)r(A,B)r(A)r(B)

5.设矩阵Amn的秩r(A)n,则非齐次线性方程组Axb_____________ (A) 一定无解 (B) 可能有解

(C) 一定有唯一解 (D) 一定有无穷多解

二、填空题（每题3分，共15分）

**|2A|=_____________ |A|2nA1.设是阶方阵A的伴随矩阵，行列式，则

2. D中第二行元素的代数余子式的和

111111111111D =

A

j1

4

2j

=__________ ,其中

1111

212f(xx,x)x4x2x2ax1x12x2x3正定,则实常数 1,231233. 已知实二次型

a的取值范围为________________

________________BA4. 2n阶行列式 ,其中n阶矩阵 a0000b0a00b0AB000ab00 

101020，101nn1而n2为正整数，则A2A______ 5. 设A=三、计算题(每题9分,共54分) 1. 计算n阶行列式

x1mx2x3xnABx1Dn•

x2mx3x2x3xn•xnm

x120060011AXBAABX0，其中,A010,B012001021 2. 求矩阵X使

2x1x2a3x3a4x4d1x12x2b3x3b4x4d2cxcx2x3xd22343有三个解向量 3. 设非齐次线性方程组11123112214 1＝1， 2＝1， 3＝2

求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中

4. 已知实二次型 f(x1,x2,x3)=2x13x23x32x2x3(0)经过正交

222y2y5yXQY123变换,化为标准形,求实参数及正交矩阵Q

222ai,bj,ck,dt为已知常数)

x1x2x33x402xx3x5x112343x12x2ax37x415. 设线性方程组为 x1x23x3x4b，问a,b各取何值时，线性

方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解

446. 在四元实向量构成的线性空间R中,求a使1,2,3,4为R的基,并求由

基1,2,3,4到1,2,3,4的过渡矩阵P,其中

11110111123400110001    11111110123400a2a1100   

四、证明题(每题8分,共16分)

1. 设 1,2,3 是欧氏空间V的标准正交基,证明:

13也是V的标准正交基

1(21223)2(21223)3(12223)1313

T2. 设fXAX是n元实二次型,有n维实列向量X1,X2,使X1AX10，

TX2AX20, 证明:存在n维列实向量X00,使X0AX0=0

TT线性代数考试A 参考答案

一、选择题

1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(B) 二、填空题

*2n1|2A|21. ； 2. 0； 3.

|a|722n2； 4.(ab)； 5.An2An10

三、计算题

1. 解 各列加到第一列，提出公因式

1nx2xnxn•xnm =

n1x2xn0•1xmDn(xim)•2i1

0m(xim)•i1001

=

n1x28分

nm

n1(1)m(xim)i1 9分

11(ABA)XBA2. 3分

010030030002X012011/2X020021 01/21 9分

3. 由题设条件知1,2,

3是AXb的三个解，因此

2113363－1＝1， 3－2＝1 212是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵A的秩r(A)2 又A中有二阶子式1因此

50，r(A)2，因此r(A)＝2

3分

3－1，3－2为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解：

13323412＋， k1,k2为任意常数

2161 k1k2 9分

200A0303f有特征值 11,22,35 4.的矩阵

2|A|2(9)123,0,得2

由

A对应的线性无关的特征向量

2分

，

A对应的单位正交特征向量

011112000311 5分 ，

013121 8分 ，

，

于是正交变换X = QY中的正交矩阵

0111211200

01121Q(,,)123= 200101 9分

13011130111121351011A32a7100a4101131b0002b2 3分 5.

当a4时，方程组有唯一解 当a4，b2时，方程组无解 5分 当a4，b2时，r(A)r(A)＝3 < 4，方程组有无穷多组解,其通解为

2111k1000＋， k为任意常数

6. 解：a1 2分

设

9分

A(1,2,3,4),B(1,2,3,4), 则

设

10A00 111111011001，

111111Ba2a01101000

4分

四、证明题 1. 证：因为

(1,2,3,4)(1,2,3,4)P,则

22121aa110PA1Ba11a001100

9分

(1,2)21(4(1,1)2(2,2)2(3,3))0,(1,3)(2,3)09

4分

1(1,1)(4(1,1)4(2,2)(3,3))1，231所以

1922

1,2,3是V的标准正交基。

8分

2. 证:f是不定二次型,设f的正惯性指数为P,f的秩为r，则0Pr, 2 分

f可经非退化线性变换XQY化为规范形

2222f=y1yPyP1yr 4分

Y10取 0T010T00 ,则有 X0PY00 使

X0AX0=1001000 8分