第1讲 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 核心 素养 命题 趋势 考向预测 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目. 数学抽象、数学运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． (2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
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2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 交换律：a＋b＝b加法 求两个向量和的运算 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 当λ<0时，λ a与 a的方向相反； 当λ＝0时， λ a＝0 3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 常用结论
1．三点共线的等价转化
→＝λAB→(λ≠0)⇔OP→＝(1－t)·→＋tOB→(O为平面内异于A，
A，P，B三点共线⇔APOA→＝xOA→＋yOB→.(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，P，B的任一点，t∈R)⇔OPy∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
→＝1(OA→＋OB→)． 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP
2常见误区
1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．
2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
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λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb ＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) a－b＝a＋(－b) 3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(3)若向量AB
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是( ) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n
解析：选AB.C错误，例如m＝0；D错误，例如a＝0；A，B是数乘运算的分配律，正确．故答案为AB.
→＝a，AD→＝b，用a，b表示
3．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若AB→为( ) MD
11
A.2a＋2b 11C．－2a－2b
11B．2a－2b 11D．－2a＋2b
→＝1BD→＝1(AD→－AB→)＝1(b－a)＝－1a＋1b.
解析：选D.MD
222224．化简：
→＋MB→)＋BO→＋OM→＝________．
(1)(AB
→＋QP→＋MN→－MP→＝________． (2)NQ
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→＋BO→＋OM→＋MB→＝AB→.
解析：(1)原式＝AB→＋PN→＝0.
(2)原式＝NP→ (2)0
答案：(1)AB
→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为
5．在平行四边形ABCD中，若|AB________．
→＋AD→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，所以|AC→|＝|DB→|.由对角线长相
解析：如图，因为AB
等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
平面向量的有关概念
[题组练透]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( ) A．a与－λa的方向相反 C．a与λ2a的方向相同
B．|－λa|≥|a| D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.
2．(多选)下列命题中不正确的是( )
A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同 →与CD→共线，则A，B，C，D四点共线
B．若非零向量AB
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C．若非零向量a与b共线，则a＝b
→|＝|CD→|
D．四边形ABCD是平行四边形，则必有|AB
解析：选ABC.对于A，相等向量的始点相同，则终点也一定相同，所以A不正→与CD→共线，只能说明AB→，CD→所在直线平行或在同一条直线上，
确；对于B，向量AB
所以B不正确；对于C，非零向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反，但a与b→|＝
不一定相等，所以C不正确；对于D，因为四边形ABCD是平行四边形，所以|AB→|，所以D正确．故选ABC. |CD
ab
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使|a|＝|b|成立的充分条件是( ) A．a＝－b C．a＝2b
B．a∥b
D．a∥b且|a|＝|b|
aba
解析：选C.因为向量|a|的方向与向量a相同，向量|b|的方向与向量b相同，且|a|＝
b
，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D. |b|
a2bbab
当a＝2b时，|a|＝|2b|＝|b|，故a＝2b是|a|＝|b|成立的充分条件．
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
aa
(4)非零向量a与|a|的关系：|a|是与a同方向的单位向量．
平面向量的线性运算
(1)(2020·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个
→＝( )
三等分点，则AB
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→－AD→ A.AC→－AC→ C.AD
→－2AD→ B．2AC→－2AC→ D．2AD
→＝2DC→，点E是线段BC的
(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，AB→＝λAB→＋μAD→，则λ＝________，μ＝________． 中点，若AE
【解析】 (1)连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且→＝2CD→＝2(AD→－AC→)＝2AD→－2AC→，故选D.
AB＝2CD.所以AB
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
1→→1→→1→1→3→1→→→→→→
因为AE＝AB＋BE＝AB＋2BC＝AB＋2(FC－FB)＝AB＋2AD－2AB＝4AB＋2AD，
31
所以λ＝4，μ＝2.
31
【答案】 (1)D (2)4 2
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(2020·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中，延长BC至点M使得
→＝1AM→，若AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝
BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且AN
3( )
1A.3
1B．2 6 / 17
1C．－2 1D．－3
→＝1AM→＝1(AB→＋BM→)＝1AB→＋1×3BC→＝1AB→＋1(AC→－AB→)
解析：选A.由题意，知AN
33332321→1→111
＝－6AB＋2AC，所以λ＝－6，μ＝2，则λ＋μ＝3，故选A.
平面向量共线定理的应用
设两个非零向量a与b不共线．
→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(1)若AB
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，
【解】 (1)证明：因为AB
→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→， 所以BD
→，BD→共线，又它们有公共点B， 所以AB
所以A，B，D三点共线． (2)因为ka＋b与a＋kb共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0， 所以k＝±1. 【引申探究】
→＝2a＋8b”改为“BC→＝a＋mb”，若A，B，D三1．(变条件)若将本例(1)中“BC点共线，则m＝________．
→＋CD→＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即BD→＝4a＋(m－3)b.
解析：BC
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→＝λAB→，
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使BD即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
4＝λ，所以解得m＝7.
m－3＝λ，故当m＝7时，A，B，D三点共线． 答案：7
2．(变结论)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k＝________． 解析：因为ka＋b与a＋kb反向共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
k＝λ，所以所以k＝±1.
kλ＝1，又λ<0，k＝λ，所以k＝－1. 故当k＝－1时两向量反向共线． 答案：－1
[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
→＝a＋mb，AC→＝na＋b(m，n∈R)，则AB→与AC→共线1．已知向量a与b不共线，AB的条件是( )
A．m＋n＝0 C．mn＋1＝0
B．m－n＝0 D．mn－1＝0
→＝a＋mb，AC→＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即
解析：选D.由AB
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1＝λn，所以mn－1＝0. m＝λ，→＝λP→→，其中λ∈R，则点P一
2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CBA＋PB定在( )
A．△ABC的内部 C．AB边所在直线上
B．AC边所在直线上 D．BC边所在直线上
→＝λP→→得CB→－PB→＝λP→→＝λP→→，P→解析：选B.由CBA＋PBA，CPA.则CPA为共线向量，又→，P→CPA有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．
[A级 基础练]
1．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b. 若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件．
2．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是( )
→＝1AB→
A.AP
32→
C．BP＝－3AB
→＝2AB→
B．AQ
3→＝BP→ D．AQ
解析：选ABC.由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误． 3．(2020·长沙市统一模拟考试)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F→＝2FB→，那么EF→＝( ) 满足CF
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1→1→A.2AB－3AD 1→2→C.2AB－3AD
1→1→B．3AB＋2AD 1→1→D．4AB＋2AD
→＝1DC→.因为CF→＝2FB→，所以CF→＝2CB→.
解析：选C.因为E为DC的中点，所以EC
23→＝EC→＋CF→＝1DC→＋2CB→＝1AB→＋2DA→＝1AB→－2AD→，故选C.
所以EF
232323
→＝a＋sin α·b，其中α∈(0，
4．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知PQ→＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( ) 2π)，QR
πA.6 7πC.6
5πB．6 11πD．6
→与QR→共线，所以存在实数λ，使
解析：选CD.因为P，Q，R三点共线，所以PQ
→＝λQR→，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，因为a，b是不共线的两个平面向量，所以PQ
1＝2λ，17π11π解得sin α＝－2.又α∈(0，2π)，故α可为6或6. sin α＝－λ，5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) →＝a，CD→＝b
D．已知梯形ABCD，其中AB
解析：选AB.对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－28
2e，所以a＝7e，b＝－7e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由共线定理知，
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存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量， 故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，AB＝a，CD＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．故选AB.
→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝2，则|AB→＋AC→|＝________． 6．若|AB
→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝|CB→|＝2，
解析：因为|AB
所以△ABC是边长为2的正三角形，
→＋AC→|为△ABC的边BC上的高的2倍， 所以|AB
→＋AC→|＝23. 所以|AB答案：23
→＝2e－3e，NP→＝λe＋6e，若
7．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，MN1212M，N，P三点共线，则λ＝________．
解析：因为M，N，P三点共线， →＝kNP→， 所以存在实数k使得MN所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，
又e1，e2为平面内两个不共线的向量，
2＝kλ，可得解得λ＝－4.
－3＝6k，答案：－4
→＝a，OB→＝b，则DC→＝8．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝________．(用a，b表示)
________，BC
→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.
解析：如图，DC
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答案：b－a －a－b
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AD→，AG→.
2GE，设AB
→＝1(AB→＋AC→)＝1a＋1b； 解：AD
222
→＝AB→＋BG→＝AB→＋2BE→＝AB→＋1(BA→＋BC→)＝2AB→＋1(AC→－AB→)＝1AB→＋1AC→＝1a＋
AG333333313b.
→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)．
10．已知O，A，B是不共线的三点，且OP(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若m＋n＝1， →＝mOA→＋(1－m)OB→ 则OP
→＋m(OA→－OB→)， ＝OB
→－OB→＝m(OA→－OB→)， 所以OP
→＝mBA→，所以BP→与BA→共线． 即BP
→与BA→有公共点B，
又因为BP
所以A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线，
→＝λBA→，所以OP→－OB→＝λ(OA→－OB→)．
则存在实数λ，使BP→＝mOA→＋nOB→. 又OP
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→＋(n－1)OB→＝λOA→－λOB→，
故有mOA
→＋(n＋λ－1)OB→＝0.
即(m－λ)OA
→，OB→不共线，
因为O，A，B三点不共线，所以OAm－λ＝0，所以所以m＋n＝1.
n＋λ－1＝0，
[B级 综合练]
11．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) →＝1AB→＋1AC→，则点M是边BC的中点 A．若AM
22→＝2AB→－AC→，则点M在边BC的延长线上
B．若AM
→＝－BM→－CM→，则点M是△ABC的重心 C．若AM
→＝xAB→＋yAC→，且x＋y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的1
D．若AM
22→＝1AB→＋1AC→，则点M是边BC的中点，故A正确；
解析：选ACD.若AM
22→＝2AB→－AC→，即有AM→－AB→＝AB→－AC→，即BM→＝CB→，
若AM
则点M在边CB的延长线上，故B错误； →＝－BM→－CM→， 若AM
→＋BM→＋CM→＝0， 即AM
则点M是△ABC的重心，故C正确；
→＝xAB→＋yAC→，且x＋y＝1，
如图，AM
2→＝2xAB→＋2yAC→， 可得2AM
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→＝2AM→， 设AN
则M为AN的中点，
1
则△MBC的面积是△ABC面积的2，故D正确． 故选ACD.
12．(2020·唐山模拟)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC→＝AD→＋μAB→，则μ的取值范围是________． ＝2，点E在线段CD上，若AE
→＝2DC→.
解析：由已知AD＝1，CD＝3，所以AB
→＝λDC→(0≤λ≤1)．
因为点E在线段CD上，所以DE→＝AD→＋DE→， 因为AE
→＝AD→＋μAB→＝AD→＋2μDC→＝AD→＋2μDE→， 又AE
λ2μλ所以λ＝1，即μ＝2. 1
因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤2. 1
答案：0，2
13．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若→＝a，BC→＝b，AB→＝2DC→.
AB
→；
(1)用a，b表示AM
(2)证明：A，M，C三点共线． →＝AB→＋BC→＋CD→
解：(1)AD
11
＝a＋b＋－2a＝2a＋b，
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又E为AD的中点， →＝1AD→＝1a＋1b， 所以AE
242
→＝2DC→，
因为EF是梯形ABCD的中位线，且AB13→＝1(AB→＋DC→)＝1a＋2a＝a， 所以EF
224
又M，N是EF的三等分点， →＝1EF→＝1a，
所以EM
34
→＝AE→＋EM→＝1a＋1b＋1a
所以AM
42411
＝2a＋2b.
→＝2EF→＝1a，
(2)证明：由(1)知MF
32→＝MF→＋FC→＝1a＋1b＝AM→，
所以MC
22
→与AM→有公共点M，所以A，M，C三点共线．
又MC
14．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若→＝λAB→，△ABC与△APQ的面积之比为20，求实数λ的值． AP
9
解：
→＝xAC→， 设AQ
因为P，G，Q三点共线， →＝μAP→＋(1－μ)AQ→，
所以可设AG
→＝λμAB→＋(1－μ)xAC→， 所以AG
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→＝1(AB→＋AC→)，
因为G为△ABC的重心，所以AG
31→1→→＋(1－μ)xAC→， 所以3AB＋3AC＝λμAB
1
3＝λμ，1所以两式相乘得9＝λxμ(1－μ)，①
13＝（1－μ）x，1→→
|AB||AC|sin∠BAC
S△ABC2因为S△APQ＝1，
→→
2|AP||AQ|sin∠BAC所以λx＝
9
，② 20
20
②代入①即81＝μ(1－μ)， 4533
解得μ＝9或9，即λ＝4或5.
[C级 创新练]
15．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以5－1PT
P，Q，R，S，T为顶点的多边形为正五边形，且AT＝2.下列关系中正确的是( )
→－TS→＝5＋1RS→ A.BP
2→－AP→＝5－1BQ→ C.ES
2
→＋TP→＝5＋1TS→ B．CQ
2→＋BQ→＝5－1CR→ D．AT
2
→5＋1→RS→→→→→
解析：选A.由已知，BP－TS＝TE－TS＝SE＝＝2RS，所以A正确；
5－12
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5＋1→→→→→→
CQ＋TP＝PA＋TP＝TA＝2ST，所以B错误； 5－1→→→→→→
ES－AP＝RC－QC＝RQ＝2QB，所以C错误；
5－1→→→→5－1→→→→→→→→＝
AT＋BQ＝SD＋RD，2CR＝RS＝RD－SD，若AT＋BQ＝2CR，则SD0，不合题意，所以D错误．
16.
(2020·上海进才中学月考)如图，O为直线A0A2 021外一点．若A0，A1，A2，→＝a，OA→A3，…，A2 021中任意相邻两点的距离相等，设OA02 021＝b，用a，b表示OA0→＋OA2→＋…＋OA2 021→＝________． ＋OA1
解析：设A为线段A0A2 021的中点，则A也为线段A1A2 020，A2A2 019，…，A1 010A1
011
→＋OA2 021→＝2OA→＝a＋b，OA1→＋OA2 020→＝2OA→
的中点．由平行四边形法则，知OA0
→＋OA1 011→＝2OA→＝a＋b，所以OA0→＋OA1→＋OA2→＋…＋OA2 021→
＝a＋b，…，OA1 010＝1 011(a＋b)．
答案：1 011(a＋b)
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