您的当前位置:首页正文

高考数学一轮复习1 第1讲 平面向量的概念及线性运算

来源:个人技术集锦


第1讲 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 核心 素养 命题 趋势 考向预测 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理,有时也会有创新的新定义问题;题型以选择题、填空题为主,属于中低档题目. 数学抽象、数学运算

1.向量的有关概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.

(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

[注意] (1)向量不同于数量,向量不仅有大小,而且还有方向. (2)任意向量a的模都是非负实数,即|a|≥0.

1 / 17

2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 交换律:a+b=b加法 求两个向量和的运算 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算 |λ a|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同; 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 当λ<0时,λ a与 a的方向相反; 当λ=0时, λ a=0 3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa. 常用结论

1.三点共线的等价转化

→=λAB→(λ≠0)⇔OP→=(1-t)·→+tOB→(O为平面内异于A,

A,P,B三点共线⇔APOA→=xOA→+yOB→.(O为平面内异于A,P,B的任一点,x∈R,P,B的任一点,t∈R)⇔OPy∈R,x+y=1)

2.向量的中线公式

→=1(OA→+OB→). 若P为线段AB的中点,O为平面内一点,则OP

2常见误区

1.若两个向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等;但两个相等向量不一定有相同的起点和终点.

2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定.

2 / 17

λ(μ a)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μ_a; λ(a+b)=λa+λb +a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) a-b=a+(-b) 3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( ) (2)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.( )

→与向量CD→是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )

(3)若向量AB

(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√

2.(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是( ) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n

解析:选AB.C错误,例如m=0;D错误,例如a=0;A,B是数乘运算的分配律,正确.故答案为AB.

→=a,AD→=b,用a,b表示

3.如图,平行四边形ABCD的对角线交于M,若AB→为( ) MD

11

A.2a+2b 11C.-2a-2b

11B.2a-2b 11D.-2a+2b

→=1BD→=1(AD→-AB→)=1(b-a)=-1a+1b.

解析:选D.MD

222224.化简:

→+MB→)+BO→+OM→=________.

(1)(AB

→+QP→+MN→-MP→=________. (2)NQ

3 / 17

→+BO→+OM→+MB→=AB→.

解析:(1)原式=AB→+PN→=0.

(2)原式=NP→ (2)0

答案:(1)AB

→+AD→|=|AB→-AD→|,则四边形ABCD的形状为

5.在平行四边形ABCD中,若|AB________.

→+AD→=AC→,AB→-AD→=DB→,所以|AC→|=|DB→|.由对角线长相

解析:如图,因为AB

等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形.

答案:矩形

平面向量的有关概念

[题组练透]

1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是( ) A.a与-λa的方向相反 C.a与λ2a的方向相同

B.|-λa|≥|a| D.|-λa|=|λ|a

解析:选C.当λ取负数时,a与-λa的方向是相同的,选项A错误;当|λ|<1时,|-λa|≥|a|不成立,选项B错误;|-λa|=|λ|a中等号左边表示一个数,而等号右边表示一个向量,不可能相等,选项D错误;因为λ≠0,所以λ2一定是正数,故a与λ2a的方向相同,故选C.

2.(多选)下列命题中不正确的是( )

A.两个有共同始点且相等的向量,其终点可能不同 →与CD→共线,则A,B,C,D四点共线

B.若非零向量AB

4 / 17

C.若非零向量a与b共线,则a=b

→|=|CD→|

D.四边形ABCD是平行四边形,则必有|AB

解析:选ABC.对于A,相等向量的始点相同,则终点也一定相同,所以A不正→与CD→共线,只能说明AB→,CD→所在直线平行或在同一条直线上,

确;对于B,向量AB

所以B不正确;对于C,非零向量a与b共线,则a与b的方向相同或相反,但a与b→|=

不一定相等,所以C不正确;对于D,因为四边形ABCD是平行四边形,所以|AB→|,所以D正确.故选ABC. |CD

ab

3.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使|a|=|b|成立的充分条件是( ) A.a=-b C.a=2b

B.a∥b

D.a∥b且|a|=|b|

aba

解析:选C.因为向量|a|的方向与向量a相同,向量|b|的方向与向量b相同,且|a|=

b

,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D. |b|

a2bbab

当a=2b时,|a|=|2b|=|b|,故a=2b是|a|=|b|成立的充分条件.

平面向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.

(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的移动混淆.

aa

(4)非零向量a与|a|的关系:|a|是与a同方向的单位向量.

平面向量的线性运算

(1)(2020·西安五校联考)如图,AB是圆O的一条直径,C,D是半圆弧的两个

→=( )

三等分点,则AB

5 / 17

→-AD→ A.AC→-AC→ C.AD

→-2AD→ B.2AC→-2AC→ D.2AD

→=2DC→,点E是线段BC的

(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中,AB→=λAB→+μAD→,则λ=________,μ=________. 中点,若AE

【解析】 (1)连接CD,因为C,D是半圆弧的两个三等分点,所以CD∥AB,且→=2CD→=2(AD→-AC→)=2AD→-2AC→,故选D.

AB=2CD.所以AB

(2)取AB的中点F,连接CF,则由题意可得CF∥AD,且CF=AD.

1→→1→→1→1→3→1→→→→→→

因为AE=AB+BE=AB+2BC=AB+2(FC-FB)=AB+2AD-2AB=4AB+2AD,

31

所以λ=4,μ=2.

31

【答案】 (1)D (2)4 2

向量线性运算的解题策略

(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.

(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.

(2020·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中,延长BC至点M使得

→=1AM→,若AN→=λAB→+μAC→,则λ+μ=

BC=2CM,连接AM,点N为AM上一点且AN

3( )

1A.3

1B.2 6 / 17

1C.-2 1D.-3

→=1AM→=1(AB→+BM→)=1AB→+1×3BC→=1AB→+1(AC→-AB→)

解析:选A.由题意,知AN

33332321→1→111

=-6AB+2AC,所以λ=-6,μ=2,则λ+μ=3,故选A.

平面向量共线定理的应用

设两个非零向量a与b不共线.

→=a+b,BC→=2a+8b,CD→=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;

(1)若AB

(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

→=a+b,BC→=2a+8b,CD→=3(a-b),

【解】 (1)证明:因为AB

→=BC→+CD→=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB→, 所以BD

→,BD→共线,又它们有公共点B, 所以AB

所以A,B,D三点共线. (2)因为ka+b与a+kb共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b.

又a,b是两个不共线的非零向量, 所以k-λ=λk-1=0,所以k2-1=0, 所以k=±1. 【引申探究】

→=2a+8b”改为“BC→=a+mb”,若A,B,D三1.(变条件)若将本例(1)中“BC点共线,则m=________.

→+CD→=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即BD→=4a+(m-3)b.

解析:BC

7 / 17

→=λAB→,

若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使BD即4a+(m-3)b=λ(a+b),

4=λ,所以解得m=7.

m-3=λ,故当m=7时,A,B,D三点共线. 答案:7

2.(变结论)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k=________. 解析:因为ka+b与a+kb反向共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),

k=λ,所以所以k=±1.

kλ=1,又λ<0,k=λ,所以k=-1. 故当k=-1时两向量反向共线. 答案:-1

[提醒] 证明三点共线时,需说明共线的两个向量有公共点.

→=a+mb,AC→=na+b(m,n∈R),则AB→与AC→共线1.已知向量a与b不共线,AB的条件是( )

A.m+n=0 C.mn+1=0

B.m-n=0 D.mn-1=0

→=a+mb,AC→=na+b(m,n∈R)共线,得a+mb=λ(na+b),即

解析:选D.由AB

8 / 17

1=λn,所以mn-1=0. m=λ,→=λP→→,其中λ∈R,则点P一

2.已知P是△ABC所在平面内的一点,若CBA+PB定在( )

A.△ABC的内部 C.AB边所在直线上

B.AC边所在直线上 D.BC边所在直线上

→=λP→→得CB→-PB→=λP→→=λP→→,P→解析:选B.由CBA+PBA,CPA.则CPA为共线向量,又→,P→CPA有一个公共点P,所以C,P,A三点共线,即点P在直线AC上.

[A级 基础练]

1.对于非零向量a,b,“a+2b=0”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选A.若a+2b=0,则a=-2b,所以a∥b. 若a∥b,则a+2b=0不一定成立, 故前者是后者的充分不必要条件.

2.(多选)如图,设P,Q两点把线段AB三等分,则下列向量表达式正确的是( )

→=1AB→

A.AP

32→

C.BP=-3AB

→=2AB→

B.AQ

3→=BP→ D.AQ

解析:选ABC.由数乘向量的定义可以得到A,B,C都是正确的,只有D错误. 3.(2020·长沙市统一模拟考试)如图,在正方形ABCD中,E是DC的中点,点F→=2FB→,那么EF→=( ) 满足CF

9 / 17

1→1→A.2AB-3AD 1→2→C.2AB-3AD

1→1→B.3AB+2AD 1→1→D.4AB+2AD

→=1DC→.因为CF→=2FB→,所以CF→=2CB→.

解析:选C.因为E为DC的中点,所以EC

23→=EC→+CF→=1DC→+2CB→=1AB→+2DA→=1AB→-2AD→,故选C.

所以EF

232323

→=a+sin α·b,其中α∈(0,

4.(多选)设a,b是不共线的两个平面向量,已知PQ→=2a-b.若P,Q,R三点共线,则角α的值可以为( ) 2π),QR

πA.6 7πC.6

5πB.6 11πD.6

→与QR→共线,所以存在实数λ,使

解析:选CD.因为P,Q,R三点共线,所以PQ

→=λQR→,所以a+sin α·b=2λa-λb,因为a,b是不共线的两个平面向量,所以PQ

1=2λ,17π11π解得sin α=-2.又α∈(0,2π),故α可为6或6. sin α=-λ,5.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是( )

A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) →=a,CD→=b

D.已知梯形ABCD,其中AB

解析:选AB.对于A,因为向量a,b是两个非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-28

2e,所以a=7e,b=-7e,此时能使a,b共线,故A正确;对于B,由共线定理知,

10 / 17

存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0,则非零向量a,b是共线向量, 故B正确;对于C,xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0),如果x=y=0,则不能保证a,b共线,故C不正确;对于D,已知梯形ABCD中,AB=a,CD=b,AB,CD不一定是梯形的上、下底,故D错误.故选AB.

→|=|AC→|=|AB→-AC→|=2,则|AB→+AC→|=________. 6.若|AB

→|=|AC→|=|AB→-AC→|=|CB→|=2,

解析:因为|AB

所以△ABC是边长为2的正三角形,

→+AC→|为△ABC的边BC上的高的2倍, 所以|AB

→+AC→|=23. 所以|AB答案:23

→=2e-3e,NP→=λe+6e,若

7.已知e1,e2为平面内两个不共线的向量,MN1212M,N,P三点共线,则λ=________.

解析:因为M,N,P三点共线, →=kNP→, 所以存在实数k使得MN所以2e1-3e2=k(λe1+6e2),

又e1,e2为平面内两个不共线的向量,

2=kλ,可得解得λ=-4.

-3=6k,答案:-4

→=a,OB→=b,则DC→=8.已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且OA→=________.(用a,b表示)

________,BC

→=AB→=OB→-OA→=b-a,BC→=OC→-OB→=-OA→-OB→=-a-b.

解析:如图,DC

11 / 17

答案:b-a -a-b

9.在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=→=a,AC→=b,试用a,b表示AD→,AG→.

2GE,设AB

→=1(AB→+AC→)=1a+1b; 解:AD

222

→=AB→+BG→=AB→+2BE→=AB→+1(BA→+BC→)=2AB→+1(AC→-AB→)=1AB→+1AC→=1a+

AG333333313b.

→=mOA→+nOB→(m,n∈R).

10.已知O,A,B是不共线的三点,且OP(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线; (2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1. 证明:(1)若m+n=1, →=mOA→+(1-m)OB→ 则OP

→+m(OA→-OB→), =OB

→-OB→=m(OA→-OB→), 所以OP

→=mBA→,所以BP→与BA→共线. 即BP

→与BA→有公共点B,

又因为BP

所以A,P,B三点共线. (2)若A,P,B三点共线,

→=λBA→,所以OP→-OB→=λ(OA→-OB→).

则存在实数λ,使BP→=mOA→+nOB→. 又OP

12 / 17

→+(n-1)OB→=λOA→-λOB→,

故有mOA

→+(n+λ-1)OB→=0.

即(m-λ)OA

→,OB→不共线,

因为O,A,B三点不共线,所以OAm-λ=0,所以所以m+n=1.

n+λ-1=0,

[B级 综合练]

11.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( ) →=1AB→+1AC→,则点M是边BC的中点 A.若AM

22→=2AB→-AC→,则点M在边BC的延长线上

B.若AM

→=-BM→-CM→,则点M是△ABC的重心 C.若AM

→=xAB→+yAC→,且x+y=1,则△MBC的面积是△ABC面积的1

D.若AM

22→=1AB→+1AC→,则点M是边BC的中点,故A正确;

解析:选ACD.若AM

22→=2AB→-AC→,即有AM→-AB→=AB→-AC→,即BM→=CB→,

若AM

则点M在边CB的延长线上,故B错误; →=-BM→-CM→, 若AM

→+BM→+CM→=0, 即AM

则点M是△ABC的重心,故C正确;

→=xAB→+yAC→,且x+y=1,

如图,AM

2→=2xAB→+2yAC→, 可得2AM

13 / 17

→=2AM→, 设AN

则M为AN的中点,

1

则△MBC的面积是△ABC面积的2,故D正确. 故选ACD.

12.(2020·唐山模拟)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC→=AD→+μAB→,则μ的取值范围是________. =2,点E在线段CD上,若AE

→=2DC→.

解析:由已知AD=1,CD=3,所以AB

→=λDC→(0≤λ≤1).

因为点E在线段CD上,所以DE→=AD→+DE→, 因为AE

→=AD→+μAB→=AD→+2μDC→=AD→+2μDE→, 又AE

λ2μλ所以λ=1,即μ=2. 1

因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤2. 1

答案:0,2



13.如图,EF是等腰梯形ABCD的中位线,M,N是EF上的两个三等分点,若→=a,BC→=b,AB→=2DC→.

AB

→;

(1)用a,b表示AM

(2)证明:A,M,C三点共线. →=AB→+BC→+CD→

解:(1)AD

11

=a+b+-2a=2a+b,

14 / 17

又E为AD的中点, →=1AD→=1a+1b, 所以AE

242

→=2DC→,

因为EF是梯形ABCD的中位线,且AB13→=1(AB→+DC→)=1a+2a=a, 所以EF

224

又M,N是EF的三等分点, →=1EF→=1a,

所以EM

34

→=AE→+EM→=1a+1b+1a

所以AM

42411

=2a+2b.

→=2EF→=1a,

(2)证明:由(1)知MF

32→=MF→+FC→=1a+1b=AM→,

所以MC

22

→与AM→有公共点M,所以A,M,C三点共线.

又MC

14.已知G为△ABC的重心,过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q.若→=λAB→,△ABC与△APQ的面积之比为20,求实数λ的值. AP

9

解:

→=xAC→, 设AQ

因为P,G,Q三点共线, →=μAP→+(1-μ)AQ→,

所以可设AG

→=λμAB→+(1-μ)xAC→, 所以AG

15 / 17

→=1(AB→+AC→),

因为G为△ABC的重心,所以AG

31→1→→+(1-μ)xAC→, 所以3AB+3AC=λμAB

1

3=λμ,1所以两式相乘得9=λxμ(1-μ),①

13=(1-μ)x,1→→

|AB||AC|sin∠BAC

S△ABC2因为S△APQ=1,

→→

2|AP||AQ|sin∠BAC所以λx=

9

,② 20

20

②代入①即81=μ(1-μ), 4533

解得μ=9或9,即λ=4或5.

[C级 创新练]

15.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以5-1PT

P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形,且AT=2.下列关系中正确的是( )

→-TS→=5+1RS→ A.BP

2→-AP→=5-1BQ→ C.ES

2

→+TP→=5+1TS→ B.CQ

2→+BQ→=5-1CR→ D.AT

2

→5+1→RS→→→→→

解析:选A.由已知,BP-TS=TE-TS=SE==2RS,所以A正确;

5-12

16 / 17

5+1→→→→→→

CQ+TP=PA+TP=TA=2ST,所以B错误; 5-1→→→→→→

ES-AP=RC-QC=RQ=2QB,所以C错误;

5-1→→→→5-1→→→→→→→→=

AT+BQ=SD+RD,2CR=RS=RD-SD,若AT+BQ=2CR,则SD0,不合题意,所以D错误.

16.

(2020·上海进才中学月考)如图,O为直线A0A2 021外一点.若A0,A1,A2,→=a,OA→A3,…,A2 021中任意相邻两点的距离相等,设OA02 021=b,用a,b表示OA0→+OA2→+…+OA2 021→=________. +OA1

解析:设A为线段A0A2 021的中点,则A也为线段A1A2 020,A2A2 019,…,A1 010A1

011

→+OA2 021→=2OA→=a+b,OA1→+OA2 020→=2OA→

的中点.由平行四边形法则,知OA0

→+OA1 011→=2OA→=a+b,所以OA0→+OA1→+OA2→+…+OA2 021→

=a+b,…,OA1 010=1 011(a+b).

答案:1 011(a+b)

17 / 17

因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容