囝 考试指导 小小三角尺与你共舞 细嚼一道立体几何题之感 ■王志远 小小的三角尺是三角形的杰出代表，对学生在 几何学方面的学习，可谓立下了汗马功劳，这不仅仅 体现在作图功能方面，更重要的是在解题背景方面。 而三角形是含有几何元素最少的平面图形，特别是 立体几何的大量题目都要转化为它而解决。下面就 以课本一例题为载体，结合高考试题，通过三角尺的 演变来阐述如何从联系、变式和整合等方面，抓住教 材搞好立体几何的学习。 人教Ａ版必修２，Ｐ６９例３ Ｐ （下称引例），如图１，ＡＢ是ｏ０ 的直径，ＰＡ垂直于ｏｏ所在的 平面，Ｃ是圆周上不同于Ａ、Ｂ 的任意一点。求证：平面ＰＡＣ ｌ平面ＰＢＣ。 Ａ 证明：略。 的研究空间很大，从背景来看，从图形的设置来看，本题 图１ 我们可理解为直角三角尺ＰＡＢ绕直线ＰＡ旋转而 成。从考察问题来看：可考查线面垂直、面面垂直， 线线角、线面角、二面角，点到面的距离等等。 探究１旋转不变，增点添线，不变底 例１如图２，在△ＡＢＣ中， ＯＡＢ＝÷。斜边ＡＢ一４，呵以 通过以直线Ａ０为轴旋转得到， 且二面角Ｂ—Ａ０一ｃ为直二面 角，Ｄ是ＡＢ的中点。 （Ｉ）求证：平面ＣＯＤ Ｊ＿平 面ＡＯＢ； （１Ｉ）求异面直线Ａ０与ＣＤ 所成角的大小。 图２ 本题与引例比较，改变底面直角三角形的直角 位置，通过添加辅助线，摇身一变转化空间，完成形 象塑造，赋予新的生命，然后从面面垂直和异面直线 所成的角两个方面，与学生进行互动。 探究２旋转不变，增点添线，变底 例２如图３，在四棱锥Ｓ ＡＢ（１Ｄ中，底面ＡＢ（、Ｄ为正 方形，侧棱ＳＤ上底面ＡＢＣＤ， Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＳＣ的中点。 （Ｉ）证明ＥＦ∥平 面ＳＡＤ； （１Ｉ）设ＳＤ＝２ＤＣ，求二面 角Ａ—ＥＦ—Ｄ的大小。 Ｃ 本例与引例比较：旋转不 变，增点添线，变底。首先将 Ｅ Ｂ 底面形状三角形改为正方形， 图３ 原来是取一条线的中点，现在取两条线的中点，一个 是ＡＢ的中点，另一个是ＳＣ的中点，原来连接两条 辅助线，现在连接四条辅助线，使“形象”有很大的 变化。 探究３旋转改变，增点添线，变底 例３如图４，在四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ中，ＰＡ＿上＿底 面ＡＢＣＤ，ＡＢ上ＡＤ，ＡＣ上ＣＤ，￣ＡＢＣ＝６０。，ＰＡ＝ ＡＢ—ＢＣ，Ｅ是ＰＣ的中点。 Ｐ 图４ （Ｉ）证明：ＣＤ＿．ＩＡＥ； （１Ｉ）证明：ＰＤ上平面ＡＢＥ； （Ｉｌ１）求二面角Ａ—ＰＤ—Ｃ的大小。 本例与引例比较：还是以一条直角边为轴旋转， 先旋转后使得ＡＣ与ＣＤ垂直，再继续旋转两次旋 转达到角的和为９Ｏ。，并且旋转边长度有很大改变， 致使底面形状形成不规则的四边形，突出了形象的 一般性，同时还透射出特殊性。从中可以看到，．高考 备考应对例题进行拓展与整合，优化学生的认知结 构，开拓学生的思维，提高学生的解题能力。 探究４旋转改变、不增点不添线、不变底 例４如图５，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ为空间四点，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝２，ＡＣ－－ＢＣ＝￣／２，等边三角形ＡＤＢ以ＡＢ 为轴转动。 （Ｉ）当平面ＡＤＢ【ｌ平面 ＡＢＣ时，求ＣＤ； （１Ｉ）当ＡＤＢ转动时，是 否总有ＡＢ上ＣＤ？证明你的 结论。 Ａ 本例与引例比较变化很 大，将直角三角尺变形为等边 ＼ ／ ／ ＼ 三角形后，再绕某一边旋转， 同时改变底面形状为等腰直 图５ 角三角形。 从这探究比较中，立体几何学习有一定规律可 循，引导学生建立一些特定的数学模型，“相似为邻， 同类为伍”、“动静结合”，以课本例题为线索，组织学 生开展多角度、深层次的探究活动，使学生在合作交 流中体会成功，在创新中享受快乐，不仅是切实可行 的，也是现行教学所必需的。 （作者单位：江苏省江都中学）