求一次函数解析式的若干类型与面积

求一次函数解析式的若干类型

待定系数法是求解一次函数表达式的基本方法，但在一些问题中，往往给出多样的条件让你求解，体现了函数表达式与其性质、图象以及其它相关知识的联系．下面举例说明之，供参考．

一、已知函数的类型

例1 当m=_______时，函数

二、图象上有已知点

例2 已知一次函数图象经过A（－2，－3），B（1，3）两点．

（1）求这个一次函数解析式．

（2）试判断点P（－1，1）是否在这个一次函数的图象上？

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是一个一次函数． .

三、已知图象的变化规律（特征）

例3 某物体，0℃时的电阻是2欧，在一定的温度范围内，温度每增加1℃时，电阻增加0.008欧，则该物体的电阻R（Ω）与温度t（℃）之间的函数表达式为__________．

例4 对于一个一次函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质，甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0．已知甲、乙、丙、丁四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的两个一次函数．

四、已知两图象的位置关系

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例5 已知两个一次函数

的图象重

合，则一次函数的图象所经过的象限为（ ）

（A）第一、二、三象限 （B）第二、三、四象限

（C）第一、三、四象限 （D）第一、二、四象限

例6 如图1，一直线经过点A（0，4），B（2，0），将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、D，使DB=DC．求直线CD的函数表达式．

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五、已知对称条件

例7 直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M

是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B”处，则直线AM的解析式为__________________．

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例8 如图3，已知M（3，2），标．

六、已知x、y的取值范围

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N（1，－1），点

P在y轴上且PM＋PN最短，求点P的坐

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例9 如果一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是

，相应函数值范围是

，函数解析式为___________．

七、已知面积问题

例10 如图4，直线y=x＋3的图象与x轴、y轴交于A、B两点．直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1两部分．求直线l的解析式．

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一次函数中的面积问题

画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。

规则图形 （公式法） 不规则图形 （切割法）

不含参数问题

含参数问题 （用参数表示点坐标，转化成线段） 注意：坐标的正负、线段的非负性。

求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。

一、利用面积求解析式

1、直线y2xb与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b=________.

2、 已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把,△AOB的面积分为2：l两部分，求直线l名的解析式．

3、已知直线yx2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线

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ykxb(k0)经过点C(1,0)，且把AOB分成两部分

（1）若AOB被分成的两部分面积相等，则k和b的值

（2）若AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k和b的值 4、已知一次函数y3x3的图象与y轴、x轴分别交于点A、B，直线ykxb经过OA上的三分之2一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果SAOBSDOC，求直线ykxb的解析式．

二、利用解析式求面积

1、直线ykxb过点A（－1，5）和点B(m,5)且平行于直线yx，O为坐标原点，求AOB的面积.

2、 如图，所示，一次函数ykxb的图像经过A，B两点，与x轴交于C 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOC的面积

3、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.

(1)求两直线交点C的坐标;(2)求△ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S△APC=6， 若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。

4、如图，直线y＝-

44444x+4与y轴交于点A，与直线y＝x+交于点B，且直线y＝x+与x轴交于点35555C，求△ABC的面积。

5、已知直线ykxb经过点A（0，6），且平行于直线y2x.

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（1）求该函数的解析式，并画出它的图象； （2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值； （3）若O为坐标原点，求直线OP解析式；

（4）求直线ykxb和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。

三、关于面积的函数关系

1、已知点A（x，y）在第一象限内，且x+y=10，点B（4，0），△OAB的面积为S.

（1）求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围，并画出函数的图像； （2）△OAB的面积为6时，求A点的坐标；

2、如图,正方形ABCD的边长为4,P为CD边上一点(与点D不重合)。设DP=x， （1）求APD的面积y关于x的函数关系式；

（2）写出函数自变量x的取值范围； （3）画出这个函数的图象

四、动点问题与一次函数面积 1、如图(1),在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发, 沿A→B→C→D路线运动,到D停止;点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A停止. 若点P、点Q同时出发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q 同时改变速度,点P的速度变为bcm/s,点Q的速度变为dcm/s .图(2)是点P出发

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x秒后△APD的面积S1(cm)与x(s)的函数关系图象;图(3)是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm)与x(s)的函数关系图象.

(1)参照图(2),求a、b及图(2)中c的值; (2)求d的值;

(3)设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到A还需走的路程为y2(cm), 请分别写出动点P、Q改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式,并求出P、Q 相遇时x的值; (4)当点Q出发_______s时,点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.

DQC4020S1(cm2)40S2(cm2)AP(1)BOa8cx(秒)(2)O(3)22x(秒)

12、如图，直线L：yx2与x轴、y轴分别交于A、B两点，

2在y轴上有一点

C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左

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移动。

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标。

3、如图，直线ykx6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。

（1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范27

围；（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由。

8

EAyFox

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx1与y3x3交于点A，两条4直线分别与x轴交于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点． （1）求点A、B、C的坐标；

（2）试求当BD=CD时D点的坐标； （3）如BDC的面积为ABC面积的两倍，则求此时D的坐标．

5． 如图，已知直线y3x43与x轴相交于点A，与直线y3x相交于点P．

（1）求点P的坐标．

（2）请判断OPA的形状并说明理由．

（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．试求 S与t之间的函数关系式．

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43)，点B在x正半轴上，且∠ABO30o．动点P在线6.如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边

△PMN．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值； N y x A OPB M

五、通过面积求参数的值或范围

1、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.

(1)求两直线交点C的坐标;(2)求△ABC的面积. (3)在直线BC上能否找到点P,使得S△APC=6， 若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。

2、在边长为2 的正方形ABCD的边BC上，有一点P从B点运动到C点，设PB=x，图形APCD的面积为y，写出y与自变量x的函数关系式，并且在直角坐标系中画出它的图象

3、如图1，在直角坐标系中，已知点A（6，0），又点B（x，y）•在第一象限内，且x+y=8，设△AOB的面积是S．（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x•的取值范围；（2）画出图象．

（1） (2

4．如图，直线l1过A（0，2），B（2，0）两点，直线l2：ymxb过点（－1，0），且把AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S，求S关于m的函数解析式，及自变量m的取值范围。

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(08西城二模)如图，函数yx4的图象分别交x轴，y轴于点 N、M，过MN上的两点A、B分别向x 轴作垂线与x轴 交于A1（x1,0）），B1(x2,0)，(A1在B1的左边),若OA1OB14. (1) 分别用含x1、x2的代数式表示OA1A的面积S1与OB1B的面积S2 (2) 请判断OA1A的面积S1与OB1B的面积S2的大小关系，并说明理由.

MA1yBA1B1NOx2、在平面直角坐标系中，点A（4，0），点P（x，y）是直线y1x3在第一象限的一点． 2（1）设△OAP的面积为S，用含x的解析式表示S，并写出自变量取值范围． （2）在直线y1x3求一点Q，使△OAQ是以OA为底的等腰三角形． 2（3）若第（2）问变为使△OAQ是等腰三角形，这样的点有几个？

4Q2P3、已知:直线y2x4与直线yx3,它们的交点C的坐标是________,设两直线与x轴分别交于A,B,则SΔABC=_______,设两直线与y轴交于P,Q,则SΔPCQ=_________.

4、一次函数y1k1x4与正比例函数y2k2x的图象都经过(2,-1),则这两个函数的图象与x轴围成的三角形面积是________.

-2OA53y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰RtABC，x1与x轴、

3∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点。

6.已知直线y①求三角形ABC的面积SABC；

②证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；

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③要使得ABC和ABP的面积相等，求实数a的值。

43)，点B在x正半轴上，且∠ABO30o．动点P在线7.如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边

△PMN．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值； N y x A OPB M

8．如图1在平面直角坐标系xOy中，直线y3x2分别交x轴、y轴于C、A两点.将射线AM绕着3点A顺时针旋转45°得到射线AN.点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部. （1） 求线段AC的长；

（2） 当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积； （3） 求△BCD周长的最小值；

（4） 当△BCD的周长取得最小值，且BD=

52时,△BCD的面积为 . 3（第（4）问只需填写结论，不要求书写过程）

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