全等三角形压轴题及分类解析

一、 双等边三角形模型

1. （1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三

角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小； （2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

D

D

图7 图8

2. 已知:点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.

① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB的度数。

③ 若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：PQ∥AB。

（湘潭·中考题）

N O

A

O

C E B

C

E

A B

M O

Q P

A C

同类变式： 如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

图c

3. 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M,N分别为EB,CD的中点，易证：

B

CDBE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CDBE是否仍然成立？若成立,请证

明；若不成立，请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请

给出证明，若不是，请说明理由．

同类变式：已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，

图9 图10 图11

BACDAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．

（1）求证：①BECD；②AMAN；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

C C M B A 图①

N E D B M E 图② N D A

4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．

（1）证明：△ABG ≌△ADE ；

（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜BAE ＜180°），设△ABE的面积 为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明．

F

E B G A C D

H 5.已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AE，CD． （1）求证：△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

D A G E B F C

二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）

考点1：利用垂直证明角相等

1. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂

足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：（1）AE＝CD； （2）若AC＝12 cm，求BD的长．

2. （西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=90, AB=AC, AE是过A

的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

0

图(1) 图(2) 图(3) (1)试说明: BD=DE+CE.

(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。

3. 直线CD经过BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且

BECCFA．

（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若BCA90,90，则EF BEAF（填“”，“”或“”号）；

②如图2，若0BCA180，若使①中的结论仍然成立，则 与BCA 应满足的关系是 ；

（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

E C

图1 B

F D

C A

图2 B E F D

A

E

C F

A B 图3

D

考点2：利用角相等证明垂直

1. 已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

QFADPBEC2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作

BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

(1)求证：CD=BF； (2)求证：AD⊥CF；

(3)连接AF，试判断△ACF的形状.

拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

C F A

图9

D B

E

（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）

3. 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

4.如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC,且ACBC,EFP的边FP也 在直线l 上，边EF与边AC重合，且EFFP

（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的 数量关系和位置关系；

（2） 将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接 AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长 线于点Q,连结AP,BQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

F

P (3)

B C Q

E

A l

B C (F) (1)

P l

B

F (2)

C

P

l

A (E)

E

Q A

三、 等腰三角形（中考重难点之一）

考点1：等腰三角形性质的应用

1. 如图，ABC中，ABAC，BAC90，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于

E，FD与AC 交于F．求证：BEAF，AECF．

AFEBDC

2. 两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在

一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME,MC．试判断EMC的形状，并说

明理由．

MDEBAC

压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知RtABC中，ACBC，C90，D为AB边的中点，EDF90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．

1当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证SDEFSCEFSABC．当EDF绕

2在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，D点旋转到DE和AC不垂直时，

请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

AADADEDECCF图1BC图2FBE图3BF

提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。

3. 已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，

与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=(3)CE与BC的大小关系如何。

考点2：等腰直角三角形（45度的联想）

1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F.

⑴ 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：

① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； ② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.

⑵ 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

1BF 22. 在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H． ①求证：DG=DC

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

HBB

AGFDECGAD图2

CE图1

同类变式：（期末考试原题哦） 已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F

（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时

○1猜想AE与EF满足的数量关系是 . ○2连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 . 3请证明你的上述猜想； ○

（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？

B图（1）CNAAFFBCE图（2）MM四、 角平分线问题

1. 如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD＝x, BC＝y，且x,y满足xy6x8y250

（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论； （3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.

A

D B

E

C

222. 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等

三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你

在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 B

图①

M

E O

N P

A

图② (第23题图)

B F E D C

A F D

图③

C

3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，1并且AE(ABAD)，则ABCADC等于多少？

2DCAEB

4. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

BEGCFA

D五、中点问题

1. 在△ABC中, D为BC的中点， 过D点的直线GF交AC于F, 交AC的平行线

BG于点G。DEGF, 并交AB于点E. 连结EG.

（1）求证: BGCF；

（2）请猜想BECF与EF的大小关系, 并加以证明 2.

如右下图，在ABC中，若B2C，ADBC，E为BC边的中点．求证：AB2DE．

ABDEC

3. 已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上

的中线．求证CD2CE（提示：倍长中线试试）

CAEBD

附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究） 以ABC的两边AB、AC

为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

⑴如图① 当ABC为直角三角形时，线段AM与DE的AM与DE的位置关系是 ；数量关系是 ；

⑵将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

DNEADNEABM图①CBM图②C

1．判断与说理

（1）如图11－1，△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°，EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由； （2）△ADE的位置保持不变，将△ABC绕点A逆时针旋转至图11－2的位置，AD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由．

C

2．某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：

①如图12-1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 60°，则BM = CN.

②如图12-2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 90°，则BM = CN. 学习小组成员根据上述两个命题运用类比的思想又提出了如．．下的命题：

③如图12-3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 108°，则BM = CN. （友情提示：正多边形的各边相等且各内角也相等） （1）请你从①、②、③三个命题中选择一个说明理由； ．．（2）请你继续完成下面的探索：

图12 －3

图12 －4

图12 －1

图12 －2

EDEDBCAABO 图11－1 图11－2

①如图12-4，在正n边形（n≥6）中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM = CN成立？（不要求证明）

②如图12-5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON = 108°时，请问结论BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

解：（1）我选 .（仅填写①、②、③中的一个） 理由如下： （2）

3. 如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD

图12 －5

的垂线，交AB于点E，交AD于点F。 请你猜想∠ADC和∠BDE关系，并证明你的猜想。

C F A

图9

A E D B

4. 如下几个图形是五角星和它的变形．

（1）图⑴ 中是一个五角星形状，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； C

(1)

D

C

(2)

D

B

E

B A E B A E C

(3)

D

（2）图⑴中的点A向下移到BE上时（如图⑵）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；

（3）把图⑵中的点C向上移动到BD上时（如图⑶），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．

（4）如图，在ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的中线，延长CD到F，使FD=CD，延长BE到G，使EG=BE，那么AF与AG是否相等？F、A、G三点是否在一条直线上？说说你的理由. 5、 操作实验：

如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．

归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题：

A B

图（1）

C B

C 图（2）

B

D 图（3）

C A A A 



B

C

思考验证：如图（4），在△ABC中，AB=AC．试说明∠B=∠C的理由．

探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为A，DA⊥AB，垂足为B．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．

（1）BE与AD是否相等？为什么？

（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由。D （3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．

6. 如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且

A

E 图（5）

B C AEEF，BE2.

（1）求EC∶CF的值；

（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；

（3）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

7. 团体购买某 “素质拓展训练营”的门票，票价如表（a为正整数）：

F

B

C E

图13-1

B

A D A D F E C 图13-2

P

团体购票人数 每人门票价 1～50 a元 51～100 （a3）元 100以上 （a6）元 ⑴某中学高一（1）、高一（2）班同学准备参加“素质拓展训练营”活动，其中高一（1）班人数不超过50，高一（2）的人数超过50但不超过80。当a=48时，若两班分别购票，两班总计应付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元。问这两个班级各有多少人？

⑵某校学生会现有资金4429元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动。为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完，且参加人数超过了100人，问共有多少人参加了这一活动？并求出此时a的值。

8. 如下图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B∶∠C的值为 ．

9. 如左下图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，则图中全等三角形的组数是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

10. 两个全等的含300, 600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条

直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

11、（1）不用量角器，只利用刻度尺就能画出一个角的平分线，下面是小明的画法，你认为他的画法对吗？请你按照小明的画法，画出图形，说明理由 。①利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OC＝OD；②连结CD，利用刻度尺画出CD的中点E③画射线OE射线OE即为∠AOB的角平分线。

（2）请你探索只利用你的三角尺（可以量长度、画直角）画出一个角的平分线的画法。 ．．．．．．．（要求：①画出图形；②简要说明画法；③说明理由。）

12.（1）如图（1），正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A 作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；

B

A

E O F

C

D

（2）如图（2），在（1）的条件下，连结AC，过点A作AM⊥AC 交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）； （3）解决问题：

①王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼的示意图；

②王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由． F B

13.下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n． (1)将方程组1的解填入图中；

(2)请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中；

(3)若方程组中的规律？

对应方程组解的集合 方程组集合 A D E A D E

A D A D A DC M 图１

F B 图２

C B 图3

C B C B C图4

xy1， xy1，xy1，xy1，________， …… x2y4，x3y9，________，x___，x2，  y___，y1，x3， y2，x___， …… y___，xny1x10的解是，求m、n的值，并判断该方程组是否符合 (2)

xmy16y914．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖 的长方体纸盒．(长方形的宽与正方形的边长相等)

(1)现有正方形纸板50张，长方形纸板l 00张，若要做竖式纸盒x个，横式纸盒y个． ①根据题意，完成以下表格：

②若纸板全部用完，求x、y的值；

(2)若有正方形纸板80张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好全部用完．已知

16215．（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．（说明：每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形）

①如图1，求证：△ABE≌△ADC；

②探究：如图1，BOC ；如图2，BOC ；如图3，BOC ．

（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O．

①猜想：如图4，BOC （用含n的式子表示）；②根据图4证明你的猜想．

16．按照指定要求画图(1)如下图1所示，黑粗线把一个由18个小正方形组成的图形分割成两个全等图形，请在图2中，仿图1沿着虚线用四种不同的画法，把每图形分割成两个全等图形．

(2)请将下面由16个小正方形组成的图形，用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗线把它分割成两个全等图形

17.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图a），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并说明理由； （2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图b），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。（本题12分）

18. 如图，在下列网格中，⊿ABC和⊿DEF全等，且DE与AB是对应线段，则符合条件的F

点的个数为（ ）.A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个

19、已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，∠BAC=∠DAE=α，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：BECD；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

(3)在旋转的过程中，若直线BE与CD相交于点P，试探究∠APB与∠MAN的关系，并说明理由。（结果用含α的代数式表示）

M B

C N E D

B

M E

图② C N D A

A 图①

第27题图

21.如右图所示，方格纸中有A、B、C、D、E五个格点(图中的每一个方格均表示边长为1个单位的正方形)，以其中的任意3个点为顶点，画出所有的三角形，数一下，共构成________个三角形，其中有_______对全等三角形，它们分别

____________________________ _______________________请选取一对非直角全等三角形，说明全等的理由．

A · D · ·B · C

·

E

22．已知∠AOB=90，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E． 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：CD=CE

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．

23．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、

0

N，有如下结论：① △ACE≌△DCB； ② CM＝CN；③ EM＝BN．其中，正确结论的个数是（ ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

24．锐角为45o的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我

们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BC、FP均在直线l上，边EF与边AC重合． (1)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

(2)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为(1)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Q

B

C(F)

图1

A(E) E A Q E A P

l B F C P 图2

l F P B 图3 C l 25.如图，△ABC和△ADC都是每边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC． (1)在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；

(2)在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由.

(3)连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由． (4)若点E、F在射线BA、射线AD上继续运动下去，(1)小题中的结论还成立吗?(直接写出结论，不必说明理由)

26．如图，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的

三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形共有__________个

B

E

A F D

C

(不含△ABC)．

27、我校“心动数学”社团活动小组，在网格纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点第xk行yk列处，其中x11，y11，当k≥2时，

k1k2xx15([][])k1k55，[a]表示非负数a的整数部分，例如[2.6]=2，yy[k1][k2]kk155[0.2]=0．按此方案，第2009棵树种植点所在的行数是4，则所在的列数是（ ） A、401 B、402 C、2009 D、2010 28．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，点D为AB的中点．

(1)如果点P在线段BC上以1 cm／s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上

由点C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等， 请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 △BPD与△CQP全等?

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都 逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?