小升初-数学-几何-五大几何模型

小升初-数学-几何-五大几何

模型(总4页)

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五大几何模型

知识框架

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDS△BCD；

反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、共角定理（鸟头定理）

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

① S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OCS1S2:S4S3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①S1:S3a2:b2

22S:S:S:Sa:b:ab:ab； 1324②

2③ S的对应份数为ab．

四、相似模型

2

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①

ADAEDEAF； ABACBCAG②S△ADE：S△ABCAF2:AG2．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾定理）

有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

PM共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则PAB

SQABSQM特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB

例题精讲

一、三角形相似模型

【例 1】 图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方

厘米

【例 2】

【巩固】 如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC3:1，

则四边形EFGH的面积________．

【例 3】 已知三角形ABC的面积为a，AF:FC2:1，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，

求阴影部分的面积．

【巩固】 图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个

三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

【巩固】

【例 4】 如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影

3

部分的一块直角三角形的面积是多少？

【例 5】

【巩固】 ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影

部分的面积为 平方厘米．

二、蝴蝶模型

【例 6】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形EFGO的

面积为______．

【巩固】 如图5所示，矩形ABCD的面积是24平方厘米，、三角形ADM与三角形BCN的面积之

和是7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 平方厘米。

【例 7】 如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方

形DEFG的面积48，AK:KB1:3，则BKD的面积是多少？

【例 8】

【巩固】 如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8，ABF的面积是9，BCF的面积是27．那么

阴影AEC面积是多少？

【巩固】

【例 9】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边

平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．

【巩固】 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，

DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数

(mn)的值等于 ．

m，那么，n三、共角定理（燕尾定理）

【例 10】 如图所示，在四边形ABCD中，AB3BE，AD3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平

行四边形BODC的面积为________．

【巩固】 正六边形A1，A2，A3，A4，A5，A6的面积是2009平方厘米，B1，B2，B3，B4，B5，B6分

别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．

【例 11】 已知四边形ABCD，CHFG为正方形，S甲:S乙1:8，a与b是两个正方形的边长，求

a:b?

【巩固】 如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部

分，请写出这9部分的面积各是多少

4

【巩固】

【例 12】 如右图，面积为1的△ABC中，BD:DE:EC1:2:1，CF:FG:GA1:2:1，

AH:HI:IB1:2:1，求阴影部分面积．

【巩固】 如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，

那么四边形JKIH的面积是多少？

【巩固】

【例 13】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,

求阴影部分面积.

【巩固】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,

求中心六边形面积.

课堂检测

【随练1】 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE2BE，CF2DF，连接

BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形

MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2___________．

【随练2】 如图所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,

三角形AEF的面积是1.求阴影部分的面积。

家庭作业

【作业1】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？ 【作业2】

【作业3】 如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6

部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？

【作业4】

【作业5】 如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD2AB，点E、F分别是AD和BC的中

点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米．

【作业6】 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为

1:4:41．那么，④、⑤这两块的面积比是______．

5

【作业7】 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、

DA的重点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数么，m＋n的值等于__________。 （A）5 （B）7 （C）8 （D）12

m，那n6