自动控制理论第四版课后答案(二到六章仅供参考)

第二章

2-1 试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。

1CsR1，zR，则传递函数为： (a)z1221RCs11R1CsR1Uo(s)z2R1R2CsR2 Ui(s)z1z2R1R2CsR1R2(b) 设流过C1、C2的电流分别为I1、I2，根据电路图列出电压方程：

1U(s)I1(s)R1[I1(s)I2(s)]iC1s 1Uo(s)I2(s)Cs2并且有

11I1(s)(R2)I2(s) C1sC2s联立三式可消去I1(s)与I2(s)，则传递函数为：

Uo(s)Ui(s)1C2s11R1C1sRR12CsCs121 2R1R2C1C2s(R1C1R1C2R2C2)s12-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以ui为输入，uo为输出的传递函数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：对上式进行拉氏变换得到

uiduduCiC0，ucuiu0， RdtdtUi(s)sUi(s)sU0(s) RC故传递函数为

U0(s)RCs1 Ui(s)RCs(b)由运放虚短、虚断特性有：Cducuiucucuu0，c00， dtR2R2R2R1联立两式消去uc得到

CRdu022uiu00 2R1dtRR1对该式进行拉氏变换得

CR22sU0(s)Ui(s)U0(s)0 2R1RR1故此传递函数为

U0(s)4R1 Ui(s)R(RCs4)(c)Cducucu0uuuc0，且ic，联立两式可消去uc得到 dtR1/2R1/2RR12CR1dui2u02ui0 2RdtR1R对该式进行拉氏变换得到

CR122sUi(s)U0(s)Ui(s)0 2RR1R故此传递函数为

U0(s)R(RCs4) 11Ui(s)4R2-3 试求图2-T-3中以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角为输出量的微分方程式和传递函数。

解：设激磁磁通Kfif恒定

Cms 60UassLaJs2LafRaJsRafCeCm22-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动

触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差ue即是无惯性放大器（放大系数为Ka）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为u，电流为I。电动机的角位移为。

解：

CsRsKACm

60iLaJs3iLafRaJs2iRafCeCmsKACm22-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流id与ud间的关系为

d0.u026。假设电路中的R103，静态工作点u02.39V，id10e16i02.19103A。试求在工作点(u0,i0)附近idf(ud)的线性化方程。

3解：id2.19100.084ud0.2

2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块m1、m2受力分析可列出如下方程：

dv1mF(t)k2(y2y1)fk1y11dt dv2mk2(y2y1)2dt代入v1dy1dy、v22得 dtdtd2y1mF(t)k2(y2y1)fk1y11dt2 2mdy2k(yy)2221dt22-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为i，温度计显示温度为。试求传递函数

(s)（考虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。 i(s)解：根据能量守恒定律可列出如下方程：

C对上式进行拉氏变换得到

di dtRi(s)(s)

RCs(s)则传递函数为

(s)1 i(s)RCs12-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数

C(s)。 R(s)

G2

+ C(s) R(s) + + G1 G3 _ _

H1

a) H1 G4

R(s) + + + + G3 G1 G2 _ _ H2 H3

b)

图2-T-8

解：(a) 化简过程如下

G2

+ C(s) + R(s) G1 G3 _

+ H1 +

G1

+ C(s) R(s) G1+G2 G3 _

G1+H1

R(s) C(s) G3 G1+G2

1G3(G1H1)+ C(s)

传递函数为

R(s) G3(G1G2)1G3(G1H1)C(s) G3(G1G2)C(s) R(s)1G3(G1H1) (b) 化简过程如下 G2 H1 G4 _

R(s) + + G2 G1 G3 _

1/G1 H2

H3

G1R(s) + G4+G2G1GGH 121_ 3

H3+H2/G

G1(G2G3G4)R(s)

1G1G2H1(G2G3G4)(H2G1H3)

传递函数为

+ C(s) C(s) C(s) G1(G2G3G4)C(s) R(s)1G1G2H1(G2G3G4)(H2G1G3)2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数

C(s)。 R(s)C(s) R(s) + _ 0.7 + _ 0.5 0.412s1 2s0.3s1+ + 0.4 Ks

解：化简过程如下 R(s) +

_

C(s) +

R(s)

系统的传递函数为

_ 0.7 + _ 12s0.3s1C(s) 0.2 s0.60.4 Ks s0.6 (s20.3s1)(s0.6)0.080.7 Ks R(s) 0.7s0.42s3(0.90.7k)s2(1.180.42k)s0.52C(s) Cs0.7s0.423 Rss0.90.7ks21.180.42ks0.522-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数

C(s)。 R(s)H2 R(s) + + G1 + _ H1 G4 图2-T-10

+ G2 G3 + C(s) 系统的传递函数为

G1G2G3CsG4

Rs1G2H1G1G2H1G2G3H22-11 试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数

C1(s)C(s)和2（设R1(s)R2(s)R2(s)0）。

_ R1(s) +

+

R2(s) + + +

_

解：系统信号流程图如图所示。

C1(s) G1 G2 G3 H2 G4 H1 G5 G6 C2(s) 图2-T-11

题2-11 系统信号流程图

G1G2G3C1sRs1G1G2G4G1G2G4G5H1H2G1G2G4G5G6H2C2sRs1G1G2G4G1G2G4G5H1H22-12 求图2-T-12所示系统的传递函数

C(s)。 R(s)解：(a) 系统只有一个回环：L1cdh，

在节点R(s)和C(s)之间有四条前向通道，分别为：P1abcdef，P2abcdi，

P4agdi，相应的，有：12341 3agdef，P则

C(s)1nabcdefabcdiagdefagdiPkk R(s)k11cdh(b) 系统共有三个回环，因此，L1111， R1C1sR2C2sR1C2s两个互不接触的回环只有一组，因此，L2111 2R1C1sR2C2sR1R2C1C2s11111，并且有sC1R1sC2R1C1C2s2在节点R(s)和C(s)之间仅有一条前向通道：P1111，则

C(s)1R2P 11R(s)1L1L2R1R2C1C2s2(R1C1R2C1R2C2)s12-13 确定图2-T-13中系统的输出C(s)。

D1(s) R(s) + _ G1 + + + _ + D2(s) _ G2 H2 C(s) H1 + + D3(s) 图2-T-13

解：采用叠加原理，当仅有R(s)作用时，

C1(s)G1G2， R(s)1G2H2G1G2H1当仅有D1(s)作用时，

C2(s)G2， D1(s)1G2H2G1G2H1当仅有D2(s)作用时，

C3(s)G2，

D2(s)1G2H2G1G2H1C4(s)G1G2H1 D3(s)1G2H2G1G2H1当仅有D3(s)作用时，根据叠加原理得出

C(s)C1(s)C2(s)C3(s)C4(s)G1G2R(s)G2D1(s)G2D2(s)G1G2H1D3(s)

1G2H2G1G2H1 第三章

3-1 设系统的传递函数为

2nC(s) 22R(s)s2nsn求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有

r(t)t，R(s)所以有

1 s22n1 C(s)222s2nsns分三种情况讨论 （1）当1时，

s1,221n221nt1nt 21eectt222n221n211 （2）当01时，

s1,2j12nctt2n11n2ent212sin1nt2arctan

 （3）当1时，

s1,2nc(t)t2n2nentn 1t2设系统为单位反馈系统,有

ErsRscsRs系统对单位斜坡输入的稳态误差为

ss2n 22s2nnesrimss0ss2n12 222ss2nsnn3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为

（1）G(s)50K （2）G(s)

(10.1s)(12s)s(10.1s)(10.5s)K(12s)(14s)KG(s) （4） 222s(s2s10)s(s4s200)2s0s02（3）G(s)解：（1）KplimG(s)50,KvlimsG(s)0,KalimsG(s)0；

s0（2）KplimG(s),KvlimsG(s)K,KalimsG(s)0；

s0s0s0（3）KplimG(s),KvlimsG(s),KalimsG(s)s0s0s02K； 10（4）KplimG(s),KvlimsG(s)s0s0K,Kalims2G(s)0

s02003-3 设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)10

s(0.1s1)若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。

（1）r(t)R0，（2）r(t)R0R1t，（3）r(t)R0R1t解：首先求系统的给定误差传递函数

1R2t2 2es误差系数可求得如下

E(s)1s(0.1s1) R(s)1G(s)0.1s2s10s(0.1s1)020.1ss10d10(0.2s1)C1limeslim0.122s0s0ds(0.1ss10)C0limeslims0s0d22(0.1s2s10)20(0.2s1)2C2lim2eslim023s0s0ds(0.1ss10) （1）r(t)R0，此时有rs(t)R0,

s(t)rrs(t)0，于是稳态误差级数为

esrtC0rs(t)0，t0

（2）r(t)R0R1t，此时有rs(t)R0R1t,级数为

s(t)R1,rrs(t)0，于是稳态误差

s(t)0.1R1，t0 esrtC0rs(t)C1r （3）r(t)R0R1t11s(t)R1R2t，R2t2，此时有rs(t)R0R1tR2t2,r22rs(t)R2，于是稳态误差级数为

s(t)esrtC0rs(t)C1r3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为

C2r(t)0.1(R1R2t)，t0 s2!G(s)10

s(0.1s1)若输入为r(t)sin5t，求此系统的给定稳态误差级数。 解：首先求系统的给定误差传递函数

es误差系数可求得如下

E(s)1s(0.1s1) 2R(s)1G(s)0.1ss500s(0.1s1)0s0s00.1s2s500d500(0.2s1)1C1limeslims0dss0(0.1s2s500)2500C0limeslimd2100(0.1s2s500)1000(0.2s1)298C2lim2eslims0dss0(0.1s2s500)35002以及

rs(t)sin5ts(t)5cos5trrs(t)25sin5t则稳态误差级数为

CesrtC0225sin5tC15cos5t2 4.9104sin5t1102cos5t

3-6 系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。

R(s) C(s) 2+ n _ s(s2n)

a)

R(s) C(s) + 2n1as

_ s(s2n)

b)

图3-T-1

解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：esr2n，加入比例—微分环节后

CsRs1asCsGs21asn1asGsCsRs2Rs21Gss2nsns22annsEsRsCsRs

s22nsn2Rs1s22anesrlimsEss0n可见取a2n，可使esr0

3-7 单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为

2n G(s)s(s2n)从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，Mp0.096，

tp0.2s。试确定传递函数中的参量及n。

解：由图可以判断出01，因此有

Mpexp(tp12)100%

12n代入Mp0.096，tp0.2可求出

0.598 n19.5883-8 反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求

（1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。 （2）整个系统的特征方程为s4s6s40 求三阶开环传递函数G(s)，使得同时满足上述要求。 解：设开环传递函数为

32R(s+ _ G(sC(s图3-T-3

C(s)K3 R(s)sk1s2k2sk3s3k1s2k2sk31根据条件（1）esrlim30可知：k30； 2s01G(s)sk1sk2sk3K根据条件（2）D(s)s4s6s40可知：k14，k26，K4。 所以有

32Gs4 2ss4s63-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为G(s)，如要求 （1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。 （2）三阶系统的一对主导极点为s1,s21j1。 求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)。 解：按照条件（2）可写出系统的特征方程

(s1j)(s1j)(sa)(s22s2)(sa)s3(2a)s2(22a)s2a0

将上式与1G(s)0比较，可得系统的开环传递函数

G(s)根据条件（1），可得

2a

ss2(2a)s(22a)Kv12a0.5 esr22a解得a1，于是由系统的开环传递函数为

G(s)2

ss23s43-10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)K

s(s1)试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。 （1）K4.5,1s （2）K1,1s （3）K0.16,1s 解：系统单位阶跃响应的象函数为

C(s)R(s)G(s)K 2s(s1) （1）将K4.5，1s代入式中可求出n2.12rad/s，0.24，为欠阻尼系统，因此得出

Mp46%，ts7.86s(2%)，5.90s(5%)

（2）将K1，1s代入式中可求出n1rad/s，0.5，，为欠阻尼系统，因此得出

Mp16.3%，ts8s(2%)s，6s(5%)

（3）将K0.16，1s代入式中可求出n0.4rad/s，1.25，过阻尼，无最大超调量。因此只有ts15s。

3-11 系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。 （1）当a=0时， 则系统传传递函数为G(s)所以有0.354。

82n2，，其中n822，

s22s8 （2）n不变时，系统传函数为G(s)8，要求0.7，则有2s(8a2)s82n2(4a1)，所以可求得求得a0.25。

3-12 已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的影响。 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时

ct（b）有零点z1时

n12entsin12nt,t0

ct12nnn122ent21n2sin1ntarctg1n,t0 比较上述两种情况，可见有零点z1时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生

12n相移，相移角为arctg。

1n2．单位阶跃响应 (a) 无零点时

ct1（b）有零点z1时

112ent212sin1ntarctg,t0 ct112nn122ent212sin1ntarctgn,t0 加了z1的零点之后，超调量Mp和超调时间tp都小于没有零点的情况。

3-13 单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？

单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节

K11s1，当误差信号et0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故s系统输出继续增长，知道出现et0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。

3-14 上述系统，如在rt为常量时，加于系统的扰动nt为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动nt为斜坡函数形式，为何扰动

稳态误差是与时间无关的常量？

在rt为常量的情况下，考虑扰动nt对系统的影响，可将框图重画如下

图A-3-2 题3-14系统框图等效变换

CsK2sNs

s22s1K1K21s1根据终值定理，可求得nt为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，nt为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为

1。 K1从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。

3-15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。

s4s32（1）劳斯表有 ss1s0

183240630 则系统系统稳定。 303s4112s3（2）劳斯表有 s2s1s0240 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，1282系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

s5s4s3（3）劳斯表有 2ss1s011391610 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，

6610101210系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

s6s5s4（4）劳斯表有 s32132343459648464 系统处于稳定的临界状态，由辅助方程

812ss1s0As2s46s24可求得系统的两对共轭虚数极点s1,2j;s3,4j2。

3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。

（1）K>0时,系统稳定。 （2）K>0时，系统不稳定。 （3）0系统的特征方程为 D(s)2s3(2)s2(K1)sK0

K(s1)请在以K为横坐

s(s1)(2s1)列写劳斯表

s3s2s1s0(2)(K1)2K0

222(2)(k1)2k2kk1k ，得出系统稳定应满足的条件

由此得到和应满足的不等式和条件

0

2 6

3 4

4 3.3

2(K1),K1,2

K15 3

9 2.5

15 2.28

30 2.13

100 2.04

根据列表数据可绘制K为横坐标、为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。

图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域

3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)K(s5)(s40) 试求系统的3s(s200)(s1000)临界增益Kc之值及无阻尼振荡频率值。

根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程

s51200s4200000s3ks245ks200k0

列写劳斯表

s5s4s3s2112002.4108k12001.7544108kk22.4108k7.787109k245k30.961016k1.7544108kk2200k200000k5.410k200k1200445k200k0

200ks1s0根据劳斯判据可得

2.4108k012001.7544108kk208 2.410k7.787109k245k30.961016k0821.754410kk200k0系统稳定的K值范围为

1.22106K1.7535108

8当K11.2210、K21.753510时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，68因此临界增益Kc1.2210以及Kc1.753510。

6根据劳斯表列写Kc1.2210时的辅助方程

61.75441081.22106(1.22106)22s2001.221060 862.4101.2210解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2j16，系统的无阻尼振荡频率即为16rad/s。

8 Kc1.753510时的辅助方程

1.75441081.7535108(1.7535108)22s2001.75351080 882.4101.753510解得系统的一对共轭虚数极点为s3,4j338，系统的无阻尼振荡频率为338rad/s。

第四章

4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益K1变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。 （1）GsK1

ss1s30与，3上有根轨迹，渐近线 系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。实轴1，相角a60,180，渐近线与实轴交点a1.33，由

dK10可得出分离点为dS（0.45,j0），与虚轴交点j3K112。常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹

（2）GsK1 2ss4s4s200上有根轨迹，a45,135，a2，分离点 方法步骤同上，实轴4，2,j0与2j2.5，与虚轴交点j10K1260。常规根轨迹如图A-4-3所示。

图A-4-3 题4-2系统（2）常规根轨迹

4-3设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)K1（1)试绘制系统根轨迹的大致图形，2s(s1)并对系统的稳定性进行分析。（2）若增加一个零点z1，试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影响？ （1）GsK1

s2s2dK10可得出分离点为dS2上有根轨迹，a60,a0.67，由实轴，0,j0，与虚轴交点为j0K10常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当

K10便有二个闭环极点位于右半s平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。

图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹

（2）GsK1s1 2ss21上有根轨迹，a90,a0.5，分离点为0,j0；常规根轨迹如图实轴2，A-4-4（b）所示。从根轨迹图看，加了零点z1后，无论K取何值，系统都是稳定的。 4-4 设系统的开环传递函数为G(s)H(s)根轨迹（1）a=1 (2) a=1.185 (3) a=3

K1(s2)试绘制下列条件下系统的常规2s(s2sa)0上有根轨迹，a90，a0，分离点为0.38，0，常 （1）a=1时，实轴2，规根轨迹如图图A-4-5（1）

Root Locus321Imaginary Axis0-1-2-3-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1Real Axis-0.8-0.6-0.4-0.20

图A-4-5（1）

0上有根轨迹，a90，a0，根轨迹与虚轴的交点为（2）a=1.185时，实轴2，0，j，常规根轨迹如图图A-4-5（2）

Root Locus4321Imaginary Axis0-1-2-3-4-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1Real Axis-0.8-0.6-0.4-0.20

图A-4-5（2）

0上有根轨迹，j，（3）a=3时，实轴2，根轨迹与虚轴的交点为0，a0，a90，

常规根轨迹如图图A-4-5（3）

Root Locus642Imaginary Axis0-2-4-6-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1Real Axis-0.8-0.6-0.4-0.20

图A-4-5（3） 4-5 求开环传递函数为G(s)H(s)a=9（3）a=8 (4)a=3

K1(s1)的系统在下列条件下的根轨迹（1）a=10（2）2s(sa)1上有根轨迹，a90,a4.5，分离点为0，j0，与虚轴交点为（1）实轴10，j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（1）

Root Locus10864Imaginary Axis20-2-4-6-8-10-10-9-8-7-6-5Real Axis-4-3-2-10

图A-4-6（1）

1上有根轨迹，a90,a4，分离点为0，j0，与虚轴交点为（2）实轴9，j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（2）

Root Locus8642Imaginary Axis0-2-4-6-8-9-8-7-6-5-4-3-2-10

Real Axis

图A-4-6（2）

1上有根轨迹，a90,a3.5，分离点为0，j0，与虚轴交点为（3）实轴8，j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（3）

Root Locus8642Imaginary Axis0-2-4-6-8-8-7-6-5-4Real Axis-3-2-10

图A-4-6（3）

1上有根轨迹，a90,a1，分离点为0，j0，与虚轴交点为（4）实轴3，j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（4）

Root Locus321Imaginary Axis0-1-2-3-3-2.5-2-1.5Real Axis-1-0.50

图A-4-6（4）

4-7 设系统的框图如图4-T-2所示，试绘制以a为变量的根轨迹，并要求：（1）求无局部反 馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。（2）讨论a=2时局部反馈对系性 能的影响。(3)确定临界阻尼时的a值。

系统特征方程为

s21s10

以为可变参数，可将特征方程改写为

1从而得到等效开环传递函数

sss120

Geq(s)ss2s1

0上有根轨迹a180,a1，分 根据绘制常规根轨迹的方法，可求得实轴，离点为1,j0，出射角为P150。参数根轨迹如图A-4-7所示。

图A-4-7 题4-7系统参数根轨迹

（1） 无局部反馈时0，单位速度输入信号作用下的稳态误差为esr1；阻尼比为

0.5；调节时间为ts6s5%

（2）

0.2时，esr1.2，0.6，ts5s(5%)

比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。

（3） 当1时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点s1,21。 4-8 根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘制其根轨迹的大致图形。

0，与21，有根轨迹，a90,a1.5，分离点为1.5，（1）实轴，虚轴交点为j0K13。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（1）

2，1有根轨迹，a0，0，（2）实轴0，120,a2，分离点为1.57，与虚轴交点为j0K13。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（2）

2，14，3有根轨迹，a0，（3）实轴0，120,a2，虚轴交点为

0，j0.91K15.375。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（3）

4-9 绘出图4-T-3所示滞后系统的主根轨迹，并确定能使系统稳定的K值范围。

主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0K14.38。

图A-4-9 题4-9系统主根轨迹

Kes4-10 若已知一个滞后系统的开环传递函数为GsHs，试绘制此系统的主根轨

s迹。

Kes 由GsHs知

sK10时系统的根轨迹从开环极点p10和出发，实轴，0上有根轨迹，主根

轨迹分离点1，临界K值。主根轨迹如图A-4-10所示。 ,j0；与虚轴交点j22

图A-4-10

4-11上题中的开环传递函数可用下列近似公式表示(1) GsHsK1s (2)

sK1sK2 (3) GsHs试绘制以上三种情况的根迹，并和题GsHssss112s4-10的根轨迹进行比较，讨论采用近似式的可能性。 （1）GsHsK1ss的根轨迹如图A-4-11（1）所示。

图A-4-11（1） GsHsK1ss根轨迹

K（2）GsHs12s

s12s 分离点21221,j0；会合点2,j0；与虚轴交点j2界稳定K值为

2。根轨迹如图A-4-11（2）所示。

；临

图A-4-11（2） GsHsK1(/2)s根轨迹 s1(/2)s（3）GsHsK

ss1分离点1，根轨迹如图A-4-11（3）所示。 2,j0

图A-4-11（3） GsHsK根轨迹

ss1K。若较大，取上述近似

ss1讨论：当较小时，且K在某一范围内时，可取近似式

K1s2式误差就大，此时应取近似式。9

s1s24-12 已知控制系统的框图如图4-T-4所示，图中G1(s)试绘制闭环系统特征方程的根轨迹，并加简要说明。

系统的根轨迹如图A-4-12所示。

K1s2，G2(s)。

(s5)(s5)s

图A-4-12

4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)有0,1,2个分离点，画出这三种情况根轨迹图。 当0aK1(sa),确定a的值，使根轨迹图分别具2s(sa)111时，有两个分离点，当a时，有一个分离点，当a时，没有分离点。999系统的根轨迹族如图A-4-13所示。

图A-4-13

第五章

5-1 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制其开环频率特性的极坐标图 (1)Gs1

ss1解：幅频特性： A()1102

g 相频特性： ()90arct列表取点并计算。



A()

0.5 1.79 -116.6

1.0 0.707 -135

1.5 0.37 -146.3

2.0 0.224 -153.4

5.0 0.039 -168.7

10.0 0.0095 -174.2

()

系统的极坐标图如下：

(2) Gs1

1s12s解：幅频特性： A()112142

相频特性： ()arctgarctg2 列表取点并计算。



A()

0 1 0

0.2 0.91 -15.6

0.5 0.63 -71.6

0.8 0.414 -96.7

1.0 0.317 -108.4

2.0 0.172 -139.4

5.0 0.0195 -162.96

()

系统的极坐标图如下：

(3) Gs1

ss12s11

解：幅频特性： A()102142相频特性： ()90arctgarctg2 列表取点并计算。



A()

0.2 4.55 -105.6

0.3 2.74 -137.6

0.5 1.27 -161

1 0.317 -198.4

2 0.054 -229.4

5 0.0039 -253

()

系统的极坐标图如下：

(4) Gs1

s21s12s解：幅频特性：A()1212142

相频特性：()180arctgarctg2

列表取点并计算。

0

A()

0.2 22.75

0.25 13.8

0.3 7.86 -227.6

0.5 2.52 -251.6

0.6 0.53 -261.6

0.8 0.65 -276.7

1 0.317 -288.4

()

-195.6 -220.6

系统的极坐标图如下：

5-2 试绘制上题中各系统的开环对数频率特性（伯德图）。

(1)Gs1

ss11解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，在1s处与L()=20lgK=0相交。

11环节的交接频率11s，斜率下降20dB/dec，变为-40dB/dec。 s1系统的伯德图如图所示:

(2) Gs1

1s12s解：伯德图起始为0dB线，

111的交接频率1s，斜率下降20dB/dec，变为－20dB/dec。 12s211的交接频率21s，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/dec。 1s系统的伯德图如图所示。

（3）Gs1

ss12s1解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，其延长线在=1处与L()=20lgK=0相交。

111的交接频率1s，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/dec。 12s211的交接频率21s，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/dec。 1s系统的伯德图如图所示。

(4) Gs1 2s1s12s解：系统为错误！未找到引用源。型，伯德图起始斜率为－40dB/dec，其延长线在=1处与L()=20lgK=0相交；

111的交接频率1s，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/dec。 12s211的交接频率21s，斜率下降20dB/dec，变为－80dB/dec。 1s系统的伯德图如图所示。

5-3设单位反馈系统的开环传递函数为

Gs10

s0.1s10.5s1试绘制系统的内奎斯特图和伯德图，并求相角裕度和增益裕度。

解：幅频特性： A()101(0.1)021(0.5)2

相频特性 ()90arctg0.1arctg0.5



A()

0.5 17.3

1.0 8.9

1.5 5.3 -135.4

2.0 3.5 -146.3

3.0 1.77 -163

5.0 0.67

10.0 0.24

()

-106.89 -122.3 -184.76 -213.7

错误！未找到引用源。系统的极坐标图如图所示。

01令180，解得g4.47s。

Kg11.2，增益裕度： GM=20lgKg1.58dB。

A（g）1错误！未找到引用源。伯德图起始斜率为-20dB/dec,经过点1s,L()20lgK20。

1s1处斜率下降为-40 dB/dec，10s1处斜率下将为-60dB/dec。

系统的伯德图如下图所示。

1令A()=1得剪切频率 c4.08s,相角裕度PM=3.94deg。

5-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)1 2s(1s)用MATLAB绘制系统的伯德图，确定L()0的频率c，和对应的相角(c)。 解：命令如下： >> s=tf('s');

>> G=1/((s*(1+s)^2)); >> margin(G2);

程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。

5-6 根据下列开环频率特性，用MATLAB绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。 （1）G(j)H(j)10

(j)(0.1j1)(0.2j1)解：命令如下： >> s=tf('s');

>> G=10/(s*(0.1*s+1)*(0.2*s+1)); >> margin(G);

如图，相角裕度和增益裕度都为正，系统稳定。 （2）G(j)H(j)2 2(j)(0.1j1)(10j1)解：命令如下： >> s=tf('s');

>> G=2/((s^2)*(0.1*s+1)*(10*s+1)); >> margin(G);

如图，增益裕度无穷大，相角裕度-83，系统不稳定。

5-7 已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传递函数，并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。 （a） 解：低频段由20lgK10得，K10

1 =2s处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节

1。

0.5s1由上可得，传递函数Gs10。

0.5s1相频特性()arctg0.5。 汇出系统的相频特性曲线如下图所示。

（b） 解：低频段斜率为-20dB/dec,对应积分环节。

1s=2

s1处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节

1。

0.5s11在剪切频率c2.8s处，

Kc10.5c221，解得K4.8

传递函数为：G(s)4.8

s(0.5s1)（c） 低频段斜率为-40dB/dec,为两个积分环节的叠加

1； 2s10.5s1处，斜率上升20dB/dec,对应一阶微分环节2s1； 22s1处，斜率下降20dB/dec,对应一阶惯性环节

传递函数形式为：G(s)1

0.5s1K(2s1)

s2(0.5s1)22图中所示Bode图的低频段可用传递函数为K/s来描述，则其幅频特性为K/。取对数，得L1()20lgK20lg。

同理，Bode图中斜率为-20dB/dec的中频段可用K1/s来描述，则其对数幅频特性为

2L2()20lgK120lg。由图有，L2(c)0dB,则有K1c。

再看图，由L1(1)L2(1)可解得K1c0.5 综上，系统开环传递函数为G(s)（参考李友善做法）

系统相频特性：()180arctg2arctg0.5 曲线如下：

0.5(2s1)

s2(0.5s1)

5-8 设系统开环频率特性的极坐标图如图5-T-2所示，试判断闭环系统的稳定性。 (a) 解：系统开环稳定，奈氏图包围（-1，0j）点一次，P≠0，所以闭环系统不稳定。 (b) 解：正负穿越各一次，P=2（N+-N-）=0，闭环系统稳定。 (c) 闭环系统稳定。 (d) 闭环系统稳定。

2es5-9根据系统的开环传递函数G(s)H(s）绘制系统的伯德图，并确s(1s)(10.5s)定能使系统稳定之最大值范围。

解：0时，经误差修正后的伯德图如图所示。从伯德图可见系统的剪切频率

c1.15s1，在剪切频率处系统的相角为

(c)90arctgcarctg0.5c168.9

由上式，滞后环节在剪切频频处最大率可有11.1的相角滞后，即

18011.1

解得0.1686s。因此使系统稳定的最大值范围为00.1686s。

5-10 已知系统的开环传递函数为

G(s)H(s）K

s(1s)(13s)试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益K值。 解：由GsHsK1知两个转折频率1rad/s,21rad/s。令

s1s13s3K1，可绘制系统伯德图如图所示。

确定()180所对应的角频率g。由相频特性表达式

(g)90arctg0.33garctgg180

可得 arctg1.33g10.33g290

解出

g31.732rad/s

在伯德图中找到L(g)2.5dB，也即对数幅频特性提高2.5dB，系统将处于稳定的临界状态。因此

20lgK2.5dBK4为闭环系统稳定的临界增益值。 35-11 根据图5-T-3中G(j)的伯德图求传递函数G(s)。 解：由L(0.1)0dB知K1；

由L(1)3dB知1是惯性环节由

1的转折频率； s1 从1增大到10，L()下降约23dB，可确定斜率为20dB/dec，知系统无其他

惯性环节、或微分环节和振荡环节。

由(0.1)0和(1)83知系统有一串联纯滞后环节es。系统的开环传递函数为

esGsHs

s1由(1)arctg118083解得0.66s。可确定系统的传递函数为

e0.66sGsHs

s1第六章

6-1 试求图6-T-1所示超前网络和滞后网络的传递函数和伯德图。 解：（a），超前网络的传递函数为GsRCs，伯德图如图所示。

RCs1

题6-1超前网络伯德图

（b），滞后网络的传递函数为Gs1，伯德图如图所示。

RCs1

题6-1滞后网络伯德图

6-2 试回答下列问题，着重从物理概念说明：

（1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点，在实现校正规律时他们的作用是否相同？

（2）如果错误！未找到引用源。型系统经校正后希望成为错误！未找到引用源。型系统，应采用哪种校正规律才能满足要求，并保证系统稳定? （3）串联超前校正为什么可以改善系统的暂态性能？

（4）在什么情况下加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度？

（5）若从抑制扰动对系统影响的角度考虑，最好采用哪种校正形式？

解： （1）无源校正装置的特点是简单，但要达到理想的校正效果，必须满足其输入阻抗为零，输出阻抗为无限大的条件，否则很难实现预期效果。且无源校正装置都有衰减性。而有源装置多是由直流运算放大器和无源网络构成，能够达到较理想的校正效果。 （2）采用比例-积分校正可使系统由I型转变为II型。

（3）利用串联超前校正装置在剪切频率附近提供的相位超前角，可增大系统的相角裕度 ，从而改善系统的暂态性能。

（4）当减小，相频特性()朝0方向变化且斜率较大时，加串联滞后校正可以提

高系统的稳定程度。

（5）可根据扰动的性质，采用带有积分作用的串联校正，或采用复合校正。

6-3 某单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)18 2s4s6（1）计算校正前系统的剪切频率和相角裕度。 （2）串联传递函数为Gc(s)和相角裕度。

（3）串联传递函数为Gc(s)0.4s1的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率

0.125s110s1的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和

100s1相角裕度。

（4）讨论串联超前校正、串联滞后校正的不同作用。

解： (1) 用MATLAB求得校正前59.7(c3.88rad/s)

（2）串联超前校正后70.1(c5.89rad/s) （3）串联滞后校正后124(c0.0296rad/s)

（4）串联超前校正装置使系统的相角裕度增大，从而降低了系统响应的超调量。与此同时，增加了系统的带宽，使系统的响应速度加快。

在本题中，串联滞后校正的作用是利用其低通滤波器特性，通过减小系统的剪切频率，提高系统的相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。

6-4 设控制系统的开环传递函数为

G(s）10

s(0.5s1)(0.1s1)（1）绘制系统的伯德图，并求相角裕度。 （2）采用传递函数为Gc(s)0.33s1的串联超前校正装置。试求校正后系统的相

0.033s1,

角裕度，并讨论校正后系统的性能有何改进。

解：（1）校正前3.94(c4.47rad/s)0.33s1 （2）加串联超前校正装置Gc(s)0.033s1后，39.8(c16.2rad/s)经超前校正，提高了系统的稳定裕度。

题6-4系统校正前、后伯德图

6-5 单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)4s(2s1)

设计一串联滞后网络，使系统的相角裕度40，并保持原有的开环增益。 解：原系统的相角裕度为20。

计

算

未

校

正

系

统

中

对

应

相

角

裕

度

218090arctg2401555时的频率c2。

解得 c20.35s1。

当0.35s1时，令未校正系统的开环增益为20lg，故有

20lg0.351.3720，

于是选， 10

选定 21c40.088

则 110.0088。

于是，滞后校正网的开环传递函数为G1s0.088c(s)10（s0.0088)11.4s1114s1。

校

验

校

正

后

系

统

的

相

角

裕

度

42

为

为

6-7 单位反馈系统如图6-T-2所示。系统的输入和输出均为转角，单位是（）。对系统进行超前校正，使满足相角裕度大于45，在单位斜坡输入（单位是（）s）

111下的稳态误差为，剪切频率小于7.5s。

15解：GosKs1，超前校正装置Gcs，校正后系统的开环增益为

ss1s5.7K3.0221，62(c3.02s1),满足设计要求。 s 6-8 单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)设设计滞后校正装置以满足下列要求： （1）系统开环增益K8； （2）相角裕度40。

K

s(s1)(0.2s1)解：当K8时，画出未校正系统的伯德图。由于伯德曲线自1rad/s开始以-40dB/dec的斜率与零分贝线交与c1，故存在下述关系：

20lg840

lgc1/1故

c18rad/s2.83s1。

于是未校正系统的相角裕度为

18090arctgarctg0.210

说明未校正系统是不稳定的。

计算未校正系统相频特性中对应于相角裕度为2401555时的频率c2。 由于

218090artgc2arctg0.2c255

得c20.55s。

当c20.55s时，令未校正系统的开环增益为20lg，从而求出串联滞后校正装置的系数。有：

1120lg20lg820

lg1/0.55于是选：

选定：

814.515 0.5512则：

c40.11s1

1于是滞后网络的传递函数为

10.007s1

Gc(s)s0.119s1

s0.007136s1

6-9 设控制系统如图6-T-3所示，系统采用反馈校正。试用MATLAB比较校正前后系统的相角裕度和带宽。

17.9，解：未采用反馈校正时，带宽为4.826rad/s。采用反馈校正后，调整KA2.5，

使K10，此时27。带宽为7.426rad/s。可见，采用反馈校正，可提高系统的稳定裕度，并可使带宽增大。系统反馈校正前、后伯德图如图所示。

