2021年九年级数学中考复习分类专题：
等边三角形的判定与性质（三）
一．选择题
1．如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、AB上两点，下列结论：
①若AD＝AE，则△ADE是等边三角形；
②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，
其中正确的有（ ）
A．①
B．②
C．①②
D．都不对
2．如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD＝CE，∠1＝∠2，则对△ADE的形状最准确的是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
3．设M，N，P分别是等边三角形ABC各边上的点，AM＝BN＝CP，则△MNP是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
5．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．120°
D．15°
6．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．25°
B．30°
C．45°
D．60°
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，则图中等边三角形的个数是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
8．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有（ ）
A．5条
B．6条
C．7条
D．8条
9．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则
BD的长是（ ）
A．5
B．7
C．8
D．9
10．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）
A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形
C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°
二．填空题
11．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝ ．
12．在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠B＝60°，则BC＝ cm．
13．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝
BE＝CF．则△DEF的形状是 ．
14．两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点．如图，∠A＝30°，AC＝8，则此时两直角顶点
C，C′间的距离是 ．
15．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点
O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是
等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为 ．（填序号）
16．如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上，当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点
C，C1的距离是 ．
三．解答题
17．如图，已知：边长相等的等边△ABC和等边△DEF重叠部分的周长是6．
（1）求证：△FGH和△CHL和△LEK和△KBJ和△JDI和△IAG都是等边三角形．（或证明∠AGF＝∠FHC＝∠CLE＝∠EKB＝∠BJI＝∠DIA＝120°）
（2）求等边△ABC的边长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝8cm．
（1）求∠D的度数；
（2）若BC＝10cm，求ED的长．
19．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内一点，且∠AOB＝120°，∠BOC＝120°．
求证：由线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．
证明过程如下，请仔细阅读并将证明继续下去：
证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、
OO′、CO′，
∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°
∴△AOO′是一个等边三角形
∴AO＝OO′
又∵OB＝O′C
∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′
请继续：
20．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别同时从点A、在AB、BC、CA上运动，连结DE、EF、DF．
、C出发，以相同的速度B
（1）证明：△DEF是等边三角形；
（2）在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求的值．
21．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝
EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，
若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
参考答案
一．选择题
1．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形；所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝∠B＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝∠B＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，所以②正确．
故选：C．
2．解：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∵BD＝CE，∠1＝∠2，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
故选：C．
3．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵AM＝BN＝CP，
∴BM＝CN＝AP，
在△AMP，△BNM和△CPN中，
，
∴△AMP≌△BNM≌△CPN（SAS），
∴PM＝MN＝NP，
∴△MNP是等边三角形．
4．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，故选项①正确；
∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；
由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，
又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM，
∴AN＝BM，故选项④正确；
∴CM＝CN，
∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：D．
5．解：设∠B＝x
∵BD＝AD
则∠B＝∠BAD＝x，∠ADE＝2x，
∵AD＝AE
∴∠AED＝∠ADE＝2x，
∵AE＝EC，∠AED＝∠EAC+∠C
∴∠EAC＝∠C＝x
又BD＝DE＝AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE＝90°，
则∠B+∠AED＝x+2x＝90°
得x＝30°
∴∠BAC＝180°﹣2x＝120°
故选：C．
6．解：△ABC沿CD折叠B与E重合，
则BC＝CE，
∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BEC是等边三角形．
∴∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
故选：B．
7．解：∵D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，
∴AD＝BD＝BE＝EC＝CF＝FA＝DF＝DE＝EF＝AB＝AC＝
∴等边三角形有：△ABC、△ADF、△BDE、△CEF、△DEF共5个，
故选：D．
8．解：如图，连接EF．
∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠ADE＝∠ADF＝30°，
△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形，
∴∴BD＝DC＝DE＝BE＝AE＝AF＝FC＝FD，
即图中与BD相等的线段有7条．
故选：C．
9．解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝180﹣∠ABC＝60°，
∵BE＝AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠DAC＝BAE，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（ASA），
∴BD＝CE，
∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5，
∴BD＝5，
故选：A．
10．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝BP＝4，
∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，
∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，
∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，
∴∠QPC≠45°，
即∠APC≠135°，
∴选项A、B、C正确，选项D错误．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．解：如图，连OQ，
∵点P关于直线OB的对称点是Q，
∴OB垂直平分PQ，
∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ，
∴∠POQ＝60°，
∴△POQ为等边三角形，
∴PQ＝PO＝2．
故答案为2．
12．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝8cm．
故答案为：8．
13．解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE，
∴AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，
∴在△ADF与△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS）．
同理证得△ADF≌△CFE（SAS），
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF＝ED＝EF，
∴△DEF是一个等边三角形．
故答案是：等边三角形．
14．解：如图，连接CC'，
∵点M是AC中点，
∴AM＝CM＝AC＝4，
∵旋转，
∴CM＝C'M，AM＝A'M
∴A'M＝MC＝C'M＝4，
∴∠A'＝∠A'CM＝30°
∴∠CMC'＝∠A'+∠MCA'＝60°，且CM＝C'M
∴△CMC'是等边三角形
∴C'C＝CM＝4
故答案为：4
15．解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；
②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，
△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，
∴∠POC＝2∠ABD＝60°，
∵PO＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，
∴∠PCH＝∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD＝S△CHP
∴CH＝CD，
∵CD＝BD，
∴BD＝CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD＝S△AHC，
∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确．
故答案为：①②③④．
16．解：如图，连接CC1，
∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，
∴M是AC、A1C1的中点，AC＝A1C1，
∴CM＝A1M＝C1M＝AC＝5，
∵∠A＝30°，
∴∠A1＝∠A1CM＝30°，
∴∠CMC1＝60°，
∴△CMC1为等边三角形，
∴CC1＝CM＝5，
∴CC1长为5．
故答案为5．
三．解答题（共5小题）
17．解：（1）∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴∠F＝60°，FG＝FH，FD＝BC，
∴△FGH是等边三角形，
同理△CHL、△LEK、△KBJ、△JDI、△TAG都是等边三角形；
（2）∵△FGH是等边三角形，
∴GH＝FG．
同理，IJ＝ID，HL＝CL，JK＝KB，
∴重叠部分的周长为：FD+BC＝6，
∴FD＝BC＝3，
即等边△ABC的边长是 3．
18．解：（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于H，如图．
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF＝BF＝BE＝8，∠EFB＝60°．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，即∠AHC＝90°，
∴∠HDF＝30°，
∴∠ADE＝∠HDF＝30°；
（2）∵BC＝10，
∴FC＝2．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BH＝CH＝BC＝5，
∴HF＝5﹣2＝3．
在Rt△DHF中，
∵∠HDF＝30°，
∴DF＝2HF＝6，
∴DE＝8﹣6＝2．
∴ED的长为2cm．
19．证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，
∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°，
∴△AOO′是一个等边三角形，
∴AO＝OO′，
又∵OB＝O′C，
∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′，
∵∠AOB＝120°，∠BOC＝120°．
∴∠AOC＝120°，∠AO′C＝120°
∵△AOO′是一个等边三角形，
∴∠AOO′＝∠AO′O＝60°，
∴∠O′OC＝∠OO′C＝60°，
∴△OCO′是等边三角形，
∴线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．
20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA，
∵AD＝BE＝CF，
∴BD＝EC＝AF，
在△ADF、△BED和△CFE中
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DE＝EF＝FD，
∴△DEF是等边三角形；
（2）解：∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD，即BE＝BC，CE＝BC，
∵EF＝EC•sin60°＝BC•＝BC，
∴＝（）2＝（）2＝．
21．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
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