同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义塑性(3)R2

第四章 应力与应变的关系（二）

物体由于受力而变形，如果将力去掉以后能立即恢复到原来的形状，这个变形就叫做弹性变形。如果将力去掉以后，不能恢复原形状，其中有一部份变形被保留下来，称为塑性变形，涉及塑性变形的力学，就叫塑性力学。

4.6 塑性的基础知识

金属材料塑性破坏一般认为是晶体滑移或位错所致。因此塑性变形与剪切变形有关。 （1）塑性变形不引起体积的变化；

（2）拉伸与压缩的塑性特征性状几乎一致。 其他材料如混凝土、石材、土等与金属材料的微观现象有很大的区别。① 其破坏主要归于微裂纹的发展；② 塑性性状包含体积的改变；③ 拉压特性存在很大的区别。 简单拉压时的塑性现象 ① E；

② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服；

④ 强化；软化；

⑤ 卸载，再加载，后继屈服，s

s

1

初始屈服条件 s； 后继屈服条件

s。

ps 与塑性变形的历史有关，sH()

当 s， 弹性阶段； ， d0加载sd0卸载

⑥ Bauschinger 效应

4.7 应力张量的分解（对第三章的补充）xyxzx0m0xyyzy0m0xzyzz00mx

yxzxmxyymzyxzyzzm

记

2

0m00m0mij 00m可得：

ijmijsij

sxyxzxsijxysyzy

xzyzszsxxm

syym

szzm

应力球张量只引起体积的变化，而没有形状的改变。应力偏张量只引起形状变化，而没有体积改变。

I1(sij)sxsysz0

I2(sij)(sxsysyszszsx)()

3

2xy2yz2zx

I3(sij)det(sij)

因为 s2x(sxsysz)0

ss-2(sxsysyszszsx)

2y2z2所以

(sxsysyszszsx)21(sxsysyszszsx)(sxsysyszszsx)331222[sxsysz-(sxsysyszszsx)]31222[(sxsy)(sy-sz)(sz-sx)]61222[(xy)(y-z)(z-x)]6

所以

4

I2(sij)1222[(xy)(y-z)(z-x)62226(xyyzzx)]I2(sij)也可以写成如下形式：

I2(sij)(sxsysyszszsx)()1222222[(sxsysz)2(xyyzzx)]21sijsij2如果坐标轴为主轴，则有

2xy2yz2zxI1(sij)siis11s22s330

I2(sij)1222[(12)(2-3)(3-1)]6I3(sij)(1m)(2-m)(3-m)s1s2s3

5

4.8 八面体应力、应力强度（第三章的补充）

1lmn

3fvxxlyxmzxn1l

fvyxylymzyn2m fvzxzlyzmzn3n

fvffflmn1222(123)3222octfvxlfvymfvzn1l2m3n1(123)m322octfvoct121222(123)(123)3912222(123122331)3

6

2vx2vy2vz221222232

12222(123122331)31222(12)(2-3)(3-1)321222[(12)(2-3)(3-1)]362I2(sij)

3定义应力强度

1222i[(12)(2-3)(3-1)]23oct3I2(sij)

2对于一维拉压问题

1，230

i

4.9 应变张量的分解（第四章的补充）

7

1x2yx12zxm00112xyy2zy0m012xz12yzz00mxm11

2yx2zx112xyym2zy12xz12yzzm记

m0000mmij 00m可得：

ijmijeij

偏应变张量

eij

xm12yx12zx12xyym12zy

12xz12yzzm

8

主偏应变为 量为：

e1，e2，e3，三个偏应变不变

e11e22e330 J1J2(e11e22e22e33e33e11)(eee)212223231J3det(eij)e1e2e3

其中J可表示为 21J2eijeij

21222[(xy)(y-z)(z-x) 62226(122331)]1222[(xy)(y-z)(z-x)6 3222(122331)]21222[(12)(2-3)(3-1)] 6定义应变强度

9

2i3J2

29[(22)212)(2-3)(3-1]对于一维拉压问题

，1123-2

（塑性变形时泊松比取0.5）

i

4.10 应力空间

OAOAAAOAOA

直线 L （OA）上 123，

代表应力球张量。垂直L，通过坐标原点的平面称为平面，

1230

注意到 s1s2s30

10

可知

OA总是在平面内的。

22在平面内投影

232；cos 23222。 3-116即原来长度为1的变为

23132

12211,2322 312233,2320

232332

-13622x13s1s3

22

11

y16221-3162s2s1-s3

采用极坐标

r222I2xy2(sij)3i

tgy1221-31x31-33为Lode参数。

由 x22s1s3 可得

s1s32x2rcos

利用

s2(s1s3)

由 y162s2s1-s3可得

12

22s1s3yrsin33得到

22s1rsin()

3322s3rsin()

33而

2s2(s1s3)rsin3

4.11 屈服条件

(1)Tresca屈服条件（图2-8（b））

max13213k

1k （k即为屈服应力s） 21kx(13)22

(2)Mises屈服条件（图2-8（b））

13

圆的半径为

kk22k2o3cos3032圆的方程为

2xyk3222

因为

213x21221-3 y6可得

(12)(2-3)(3-1)2k因为

22221222i(12)(2-3)(3-1)2所以 ik

14

3I2s

(1)Tresca条件与Mises条件比较 取 ks， s为单向拉压时的屈服应力。对于Tresca：13s，即

131 s对于Mises：

2xys，即

32223y312sx1131223xy1(tg)

x3132

2s32131 拉压时 1，

s2 15

剪切时 20，

1321.15 s3(4)Lode实验

4.12 加、卸载准则

初始屈服面 f(ij)0 后继屈服面

f(ij,k)0

k 为硬化参数。

(1) 理想弹塑性材料的加载和卸载准则

f(ij)0 弹性 f(ij)0 且

dff(dfijij)f(ij)dijij0加载

f(ij)0 且

16

fdff(ijdij)f(ij)dij0

ij卸载。

f以为分量的矢量就是函数f的梯度，所以 ijf(ij)0，nd0 加载

f(ndij)0，0 卸载

(2) 硬化材料的加载和卸载准则

f(ij,k)0fdij0 卸载 ij即nd0

f(ij,k)0fd0ij 中性变载 ij即nd0

17

f(ij,k)0fdij0 加载 ij即nd0

4.13 硬化模型

（1） 单一曲线假设 单向拉压曲线 ()

假设应力强度与应变强度的关系与单向拉压曲线一致，所以

i(i) （2） 等向硬化条件 Mises初始屈服条件 iks 后继屈服条件

ipH(di)，其中H(0)s

1J2eijeij

2 18

23J2i23eijeij2

22212223exeyez2(xyyzzx)因为 ijmijeij，即

exxm，eyym, ezzm由于塑性变形只涉及形状的改变而没有体积的变化，所以

epxxp，epyyp，epzzp

塑性应变增量强度

dp2ppi3dijdij2

3(dp2122x)2(dzx)一维拉伸时，iH(dip)

变为

H(p)H(dp)

我们感兴趣的是H。

因为 ep

19

()()(p)

E1p dddEdE pEd又 H(d)，所以 dHd

ppepdHp

d（3） 随动硬化模型 （4） 组合硬化模型

4.14 Drucker公设

（1） 稳定材料和不稳定材料

附加应力做功正时，0，材料是硬化的， 附加应力做功负时， 材料是软化的。 0，（2）Drucker公设

WPp0(ijdijij)dij0

0当ijij，忽略高价无穷小，得到 p0(ijij)dij

0

20

p0当ijij时，dijdij0

（3）屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性

利用Drucker公设证明外凸性和法向性，将

0应力空间与应变空间重合，ij用OA表示，ij用

OA0表示，即

pA0Ad0

利用上式可证外凸性和法向性。

pdijf dij上式关于时间求导

pijf ij对于Mises屈服条件 is，屈服面可表示为

fis，又因为 i3I2，所以也可写为 fI2pdij2s30，

fI2 ddijij 21

因为 I1I22sijsij，2I2sijsijij，所以 dijpdsij

4.15 全量理论

(1)广义虎克定律

11xEx(yz)； xyGxy1E1yy(zx)； yzGyz1E1xz(zx)； zxGzx1EijijEkkij

131E-2iiiiEiiEii

22

eijijijmijij(kk3)11-2kkijkkij()ijEEE3 131-2ijmijmijEEE11ijmijsijE2G为了便于推广到塑性情况，并与塑性力学写法一致。考虑

EEEG

2(1)2(10.5)313i又 iEi3Gi 即 2G2i所以

13ieijsijsij

2G2i

(2)伊留申1943年提出的全量理论

1-2① iiii

E② eijsij

23

下面确定，

32isijsij，ieijeij

32所以

22222isijsijii

33333i3i

2i2(i)③ i(i)按单一曲线假设。

(3) 全量理论的适用范围——简单加载定理（伊留申）

① 荷载按比例单调增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件； ② 0.5；

m③ 材料的i~i曲线具有iAi形式。

4.16 增量理论

(1) Levy-Mises流动法则

dijdsij (d0)

即应变增量各分量与相应的应力偏量各分量成

24

比例。由Saint-Venant首先提出。 (2) Prandtl-Reuss流动法则

dpijdsij (d0)

因为 dpijdepijijdmp

考虑塑性的不可压缩性 dmp13diip0所以 dpdepijij， 即

depijdsij，又

dee1ij2Gdsij 所以

dedeedep1dsdijijij2Gijsij dii12Edkk（体积变化是弹性的）(3) 弹塑性硬化材料的增量型本构关系 考虑Mises条件的等向硬化

iH(dip) 因为 dp2i3dijpdijp

25

p把 dijdsij 代入上式，得

2232dsijsijdsijsijdi

3323p3did

2ipdididip又 H， 即 dipHdi所以

3did

2Hi13didedssijijij2G2Hi 12diidkkE

(4) 增量型本构方程的矩阵形式

根据塑性应变分量与偏应力分量之间的关系：

pdxdsx …………

26

可得

dp3sx2dp3xxyi， dxypdpiii dyp3sy2dip，

d3yziyzpdip

id3szpzp3zxp2d dzxpii，dii 因为 i23I12， I22sijsij I2I2sijsijij 所以

(i2)2iIi2sx33xxx

i3sx x2idpxidpi ………… x

27

ixipydxdpyiizipdpdzdxypxydpiyzyzdzxp

i

zx

dpipdi

考虑

iH(dip)

diidxidyyidxzxzxTidHdip

28

dDeddp

TTidiDeddp 即

THdipiipDeddi TidipDedHT iiDe所以

TiiDddpeHT iDei

弹塑性应力应变关系为

29

TiiDeDedDed TiiHDe

4.17 非金属材料塑性理论

与金属塑性力学的主要差别是考虑平均应

力的影响。

(1)Mohr-Coulomb条件 nntgC

11n(13)(13)sin

221n(13)cos

2由上述公式可得 11(13)(13)sinCcos 22注意到

1sm （1,2,3) m(123)，

3 30

11(s1s3)(s1s3)sinmsinCcos 222由 xs1s3

23y(s1s3)

2可得 2sinxyCcos 26

(2)Drucker-Prager条件

fI1(ij)I2(sij)k0

Mohr-Coulomb为六边形棱锥；

Drucker-Prager为圆锥；

令圆锥与六边形棱锥外接，且圆锥与六边形

棱锥的顶点重合，则有：

2sin 3(3sin)6Ccos k3(3sin)

31

(3)非关联的流动法则

与Drucker-Prager条件关联的流动法则

pdijsijf ddijij2I(s)2ij体应变塑性增量为

pdii3d

这表明塑性体积应变增量是正的，有塑性体积膨胀。不过膨胀的值没有这么大，可以用非关联的流动法则加以纠正。

pdijg （

fg） dij

32