妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题(强烈推荐,公式编辑器完美编辑)

妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题

fx,gx柯西中值定理：若函数满足如下条件：

fx,gx（i）在闭区间[a,b]上连续；

fx（ii）在开区间(a,b)内可导；

（iii）在a,bgx0内的每一点处

则在a,b内至少存在一点，使得

ffbfaggbga.

1、 （2012年天津高考理科数学压轴题）

fxxlnxa已知函数的最小值为0,其中a0

（Ⅰ）求a的值

x0,fxkx2（Ⅱ）若对，都有成立，求实数k的最小值；

2ln2n122k1nNk1（Ⅲ）证明： （）.

n2、（2013广西理科数学压轴题）

x1xfxln1x1x 已知函数

11a1nfx0,x023（Ⅰ）当时，求的最小值 （Ⅱ）设11,a2nanln2n证明：4n

3、(2015年山东高考数学理科第21题)

2f(x)ln(x1)a(xx)，其中aR. 设函数

（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若x0,f(x)0成立，求a的取值范围.

4、（2017年德阳市二诊数学压轴题）

xax在x1处取得极值.

已知函数

fxlnx（Ⅰ）求证：

fx0. （Ⅱ）若

x1,，不等式

fxmx12恒成立，求实数m的取值范围.

5、已知函数

fxxex1ax2.

（Ⅰ）当

a12时，求函数fx的极值； （Ⅱ）若当x0时，fx0恒成立，求实数a的取值范围.

6、（2015届重庆市巴蜀中学高三12月月考数学压轴题）

fxx2ax1gxex已知函数，（其中e是自然对数的底数）. 在1,2（Ⅰ）若a1，求函数

yfxgx上的最大值；

fxkgx（Ⅱ）若a1，关于x的方程有且仅有一个根，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的x1、x20,2，x1x2，不等式

fx1fx2gx1gx2恒成立，求实数a的取值范围.

7、（2017年江苏省南通市二模理科数学）

1ex，gxlnx，其中e为自然对数的底数.

已知函数

fx（Ⅰ）求函数

yfxgx在x1处的切线方程；

gx1gx2fx2fx1成立，其中为常数，求证：e.

（Ⅱ）若存在x1，x2x1x2，使得

（Ⅲ）若对任意的

x0,1fxgxax1，不等式恒成立，求实数a的取值范围.