2021-2022学年沪科版七年级数学下册第6章 实数专题练习试题(含解析)

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、下列说法中正确的有（ ） ①±2都是8的立方根 ②3x3＝x ③81的平方根是3

④﹣38＝2． A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2、在 0，0.2，3π，A．1个

22131，6.1010010001…，，7中，无理数有（ ）个 711B．2个 C．3个 D．4个

3、下列实数中，有理数是（ ） A．3 B．

C．4 D．39 4、下列各式中，化简结果正确的是（ ）

A．93

B．(2)22

C．(4)216 D．382

5、4的值等于（ ） A．2 B．－2

C．2

D．2

6、3的算术平方根是（ ） A．±3

B．3 C．－3

D．3

7、在1.414，，5，2，23，3.212212221…（相邻两个1之间的2的个数逐次加1），3.14这些数中，无理数的个数为（ ）个． A．5

8、在3.14，0，B．2

C．3

D．4

11，2，，2.010010001…（每两个1之间的0依次增加1个）这六个数中，

45无理数有（ ） A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

9、3的相反数是（ ）

13A．﹣3 B．3 C． D．3

10、下列运算正确的是（ ） A．81＝±9

B．(9)2＝﹣9

C．393＝﹣9

D．16＝8

第Ⅱ卷（非选择题 70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、一个正数的两个平方根分别是2a1和5-3a，则这个正数是_____． 2、化简38＝_______，9＝_______．

3、－8的立方根是____．(4)2＝______．16的算术平方根是______．

24、比较大小：1_____﹣3（填“＜”或“＝”或“＞”）．

35、计算31822______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知x－2的平方根是±2，x＋2y＋7的立方根是3，求3x＋y的算术平方根． 2、计算：（1）4311； 9（2）3332．

3、已知一个正数的平方根是a+6与2a﹣9， （1）求a的值；

（2）求关于x的方程ax2640的解．

4、（阅读与理解）小天同学看到如下的阅读材料：

对于一个数A，以下给出了判断数A是否为19的倍数的一种方法：

每次划掉该数的最后一位数字，将划掉这个数字的两倍与剩下的数相加得到一个和，称为一次操作，依此类推，直到数变为20以内的数为止．若最后得到的数为19.则最初的数A就是19的倍数，否则，数A就不是19的倍数．

以A436为例，经过第一次操作得到55，经过第二次操作得到15，1520，1519．所以436不是19的倍数．

当数A的位数更多时，这种方法依然适用．

（操作与说理）

（1）当A532时，请你帮小天写出判断过程；

（2）小天尝试说明方法的道理，他发现解决问题的关键是每次判断过程的第一次操作，后续的操作道理都与第一次相同，于是他列出了如下表格进行分析．请你补全小天列出的表格： 说明：abc表示100a10bc，其中1a9,0b9,0c9，a，b，c均为整数．

A 436 A的表达式 第一次操作得到的和，记为M（A） 436＝10×43＋6 M（436）＝43＋2×6 532 532＝ M（532）＝ 863 863＝10×86＋3 M（863）＝86＋2×3 …… …… …… abc abc＝ M（abc）＝ （3）利用以上信息说明：当M（abc）是19的倍数时，abc也是19的倍数．

5、众所周知，所有实数都可以用数轴上的点来表示．其中，我们将数轴上表示正整数的点称为“正点”．取任意一个“正点”P，该数轴上到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b（a＜b）．定义：若数m＝b3﹣a3，则称数m为“复合数”．例如：若“正点”P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么m＝43﹣23＝56，所以56是“复合数”．（提示：b3﹣a3＝（b﹣a）（b2+ab+a2）．）

（1）请直接判断12是不是“复合数”，并且证明所有的“复合数”与2的差一定能被6整除； （2）已知两个“复合数”的差是42，求这两个“复合数”．

-参考答案-

一、单选题 1、B

【分析】

根据平方根和立方根的定义进行判断即可． 【详解】

解：①2是8的立方根，-2不是8的立方根，原说法错误； ②3x3=x，正确；

③819，9的平方根是3，原说法错误；

④﹣38=2，正确； 综上，正确的有②④共2个， 故选：B． 【点睛】

本题考查了立方根，平方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 2、C 【分析】

根据无理数的定义“无理数就是无限不循环小数”找出题干中的无理数，即可选择． 【详解】

在这些实数中，无理数为3π，6.1010010001⋯，7，共有3个， 故选：C． 【点睛】

本题考查了无理数，理解无理数的定义是解答本题的关键． 3、C 【分析】

根据实数的分类，即可解答． 【详解】

解：A、3是无理数，故选项错误，不符合题意；

B、是无理数，故选项错误，不符合题意；

C、42，2是有理数，故选项正确； D、39是无理数，故选项错误，不符合题意．

故选：C． 【点睛】

本题考查了实数的分类，解题的关键是熟记实数的分类． 4、D 【分析】

根据实数的运算法则依次对选项化简再判断即可． 【详解】

A、93，化简结果错误，与题意不符，故错误．

B、(2)22，化简结果错误，与题意不符，故错误．

C、(4)24，化简结果错误，与题意不符，故错误．

D、382，化简结果正确，与题意相符，故正确．

故选：D ． 【点睛】

本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则．

5、D 【分析】

由于4表示4的算术平方根，由此即可得到结果． 【详解】

解：∵4的算术平方根为2， ∴4的值为2． 故选D． 【点睛】

此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．弄清概念是解决本题的关键． 6、B 【分析】

根据算术平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 【详解】

解：3的算术平方根是3 故选B 【点睛】

本题考查了算术平方根的定义，掌握定义是解题的关键． 7、D 【分析】

有理数是整数与分数的统称，无理数就是无限不循环小数，据此逐一判断即可得答案． 【详解】

1.414是有限小数，是有理数，

是无理数，

5是开方开不尽的数，是无理数，

12是分数，是有理数，

3是开方开不尽的数，故23是无理数，

3.212212221…（相邻两个1之间的2的个数逐次加1），是无限不循环小数，是无理数， 3.14是有限小数，是有理数，

∴无理数有、5、23和3.212212221…（相邻两个1之间的2的个数逐次加1），共4个， 故选：D． 【点睛】

本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．熟练掌握定义是解题关键． 8、B 【分析】

无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义解答． 【详解】 解：在3.14，0，无理数有1，2，，2.010010001…（每两个1之间的0依次增加1个）这六个数中，

45，2，2.010010001…（每两个1之间的0依次增加1个）共3个， 5故选：B． 【点睛】

此题考查了无理数，正确掌握无理数的定义是解题的关键．

9、A 【分析】

根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】

解：3的相反数是﹣3， 故选：A． 【点睛】

此题主要考查相反数，解题的关键是熟知实数的性质． 10、C 【分析】

aa≥0表示非负数a的算术平方根，其结果是一个非负数，从而可判断A，B，C，而3a表示a的立

方根，从而可判断C，于是可得答案. 【详解】 解：819,故

A不符合题意；

(9)29,故B不符合题意；

3939,故C符合题意；

164,故D不符合题意；

故选C 【点睛】

本题考查的是算术平方根的含义，立方根的含义，掌握“算术平方根与立方根的定义及求解一个数的算术平方根与立方根”是解本题的关键.

二、填空题 1、49 【分析】

根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可得2a-1+5-3a=0，据此求出a的值是多少，进而求出这个正数是多少即可． 【详解】

解：根据题意，得：2a-1+5-3a=0， 解得a=4， ∴2a-1=2×4-1=7， 则这个正数为72=49， 故答案为：49． 【点睛】

本题考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2、2 3 【分析】

由题意直接根据立方根和算术平方根的性质进行化简即可得出答案. 【详解】

解：38＝2，9＝3． 故答案为：2，3． 【点睛】

本题考查立方根和算术平方根的化简，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键. 3、－2 4 2

【分析】

根据立方根、平方根、算术平方根解决此题． 【详解】

解：－8的立方根是382．

(4)2＝164．

164，4的算术平方根是42．

故答案为：2，4，2． 【点睛】

本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根是解决本题的关键． 4、＞ 【分析】

先求解两个实数的绝对值，再利用近似值比较它们绝对值的大小，利用两个负数绝对值大的反而小可得答案. 【详解】 解：

23123121.67,3331.73, 而1.671.73,

13.

故答案为：＞ 【点睛】

本题考查的是实数的大小比较，掌握“两个负实数的大小比较的方法”是解本题的关键.

15、2##

2【分析】

根据立方根和算术平方根的求解方法求解即可． 【详解】 解：318221122， 221故答案为：2．

2【点睛】

本题主要考查了算术平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键． 三、解答题 1、5 【分析】

根据题意直接利用平方根以及立方根的性质得出x，y的值，进而利用算术平方根的定义得出答案． 【详解】

解：∵x－2的平方根是±2， ∴x－2＝4， 解得：x＝6，

∵x＋2y＋7的立方根是3， ∴6＋2×y＋7＝27， 解得：y＝7， ∴3x＋y＝25，

∴3x＋y的算术平方根是5． 【点睛】

本题主要考查平方根以及立方根的性质、算术平方根，正确得出x，y的值是解题的关键． 2、（1）；（2）232. 【分析】

（1）由题意利用算术平方根和立方根的性质进行化简计算即可； （2）由题意先去绝对值，进而进行算术平方根的加减运算即可. 【详解】

解：（1）431121

32 31 923（2）3332

33(32)

3332 232 【点睛】

本题考查实数的运算，熟练掌握并利用算术平方根和立方根的性质进行化简是解题的关键. 3、（1）a1；（2）x8． 【分析】

（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答即可， （2）根据（1）中求出的a的值，直接解方程即可． 【详解】

解：（1）由题意得，a62a90， 解得，a1；

（2）由（1）得，ax264x2640， ∴x264 ∴x8． 【点睛】

本题考查的是平方根的概念和应用，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键，

4、（1）532是19的倍数，过程见解析；（2）10532，10abc，5322，ab2c；（3）见解析 【分析】

（1）利用题干信息中的方法直接操作再判断；

（2）根据A的表达式进行填表即可，根据第一次操作得到的和进行补 即可； （3）先将abc10abc，2abc19abM(abc)，即可进行判断． 【详解】

解（1）A532，经过第一次操作得到57，经过第二次操作得到19，1919，所以532是19的倍数；

（2）补表如下：

说明：abc表示100a10bc，其中1a9,0b9,0c9，a，b，c均为整数．

A 436 A的表达式 第一次操作得到的和，记为M（A） 436＝10×43＋6 M（436）＝43＋2×6 532 532＝10532 M（532）＝5322 863 863＝10×86＋3 M（863）＝86＋2×3 …… …… …… abc abc＝10abc M（abc）＝ab2c （3）abc100a10bc10(10ab)c10abc，M(abc)ab2c，

2abc20ab2c19ab(ab2c)19abM(abc)，

当M（abc）是19的倍数时，19abM(abc)也是19的倍数，即2abc是19的倍数，此时abc也是19的倍数． 【点睛】

本题考查了整除问题，新定义问题，解题的关键是读懂题干信息，掌握题干中的判断方法，利用方法求解．

5、（1）12不是复合数；证明见解析；（2）98和56． 【分析】

（1）直接利用定义进行判断12不是复合数，利用定义对复合数进行变形即可证明； （2）借助（1）的证明，所有的复合数都可以写成6x2+2，设出两个复合数进行转化． 【详解】

（1）12不是复合数，

∵找不到两个整数a，b，使a3﹣b3＝12， 故12不是复合数，

设“正点”P所表示的数为x（x为正整数）， 则a＝x﹣1，b＝x+1， ∴（x+1）3﹣（x﹣1）3

＝（x+1﹣x+1）（x2+2x+1+x2﹣1+x2﹣2x+1） ＝2（3x2+1） ＝6x2+2，

∴6x2+2﹣2＝6x2一定能被6整除；

（2）设两个复合数为6m2+2和6n2+2（m，n都是正整数）， ∵两个“复合数”的差是42， ∴（6m2+2）﹣（6n2+2）＝42， ∴m2﹣n2＝7， ∵m，n都是正整数，

mn7∴，

mn1m4∴，

n3∴6m2+2＝98，6n2+2＝56， 这两个“复合数”为98和56． 【点睛】

本题考查关于实数的新定义题型，理解新定义是解题的关键．