弹簧问题专项复习及练习题(含详细解答)

轻弹簧是一理想模型，涉及它的知识点有①形变和弹力，胡克定律②弹性势能弹簧振子等。

问题类型：

1、弹簧的瞬时问题

弹簧的两端若有其他物体或力的约束，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。弹簧的弹力不能突变是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。

2、弹簧的平衡问题

这类题常以单一的问题出现，通常用胡克定律F=Kx和平衡条件来求解，列方程时注意研究对象的选取，注意整体法和隔离法的运用。

3、弹簧的非平衡问题

这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所引起的合外力加速度速度动能和其它物理量发生变化的情况。弹簧的弹力与形变量成正比例变化，而它引起的物体的加速度速度动量动能等变化不是简单的单调关系，往往有临界值或极值。有些问题要结合简谐运动的特点求解。

4、 弹力做功与动量能量的综合问题

弹力是变力，求弹力的冲量和弹力做的功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。

在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量能量联系，一般以综合题出现。它有机地将动量守恒机械能守恒功能关系和能量转化结合在一起，以考察综合应用能力。分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理动量定理和功能关系等知识解题。

规律：在弹簧-物体系统中，当弹簧处于自然长度时，系统具有最大动能；系统运动中弹簧从自然长度开始到再次恢复自然长度的过程相当于弹性碰撞过程。当弹簧具有最大形变量时，两端物体具有相同的速度，系统具有最大的弹性势能。系统运动中，从任意状态到弹簧形变量最大的状态的过程相当于完全非弹性碰撞的过程。(实际上应为机械能守恒)

典型试题

1、如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B点。在B点正上方A点处，有一质量为m的物块，物块从静止开始自由下落。物块落在弹簧上，压缩弹簧，到达C点时，物块的速度为零。如果弹簧的形变始终未超过弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是（ B ） A、物块在B点时动能最大

B、从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物块的加速度的最大值大于g C、从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物块做简谐运动 D、如果将物块从B点由静止释放，物块仍能到达C点

2、如图所示，弹簧上端固定在天花板上，下端系一铜球，铜球下端放有通电线圈。今把铜球拉离平衡位置后释放，此后关于小球的运动情况（不计空气阻力）是（ ） A．做等幅振动

B．做阻尼振动

C．振幅不断增大 D．无法判断

3、如图所示，质量相同的木块AB用轻弹簧相连，静止在光滑水平面上。弹簧处

于自然状态。现用水平恒力F向右推A，则从开始推A到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列

说法中正确的是 ( )

A.两木块速度相同时，加速度aA= aB B.两木块速度相同时，加速度aA> aB C.两木块加速度相同时，速度vA> vB D.两木块加速度相同时，速度vA< vB

4、如图，木块B放在光滑的水平桌面上，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹木块和弹簧作为一个系统，则此系统在从子弹射入木块到弹簧压缩到最短的过程中( )

A．动量守恒，机械能守恒 B．动量守恒，机械能不守恒 C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能也不守恒

5、如图所示，质量为m的小车的水平底板两端各装一根完全一样的弹簧，小车底板上有一质量为m的滑块，滑块与小车小车与地面的摩擦都不计．当小车静止时，滑块以速度v从中间向右运动，

3

F A B 在滑块来回与左右弹簧碰撞的过程中：（ ）

A.当滑块速度方向向右，大小为

v时，一定是右边的弹簧压缩量最大 4B.右边弹簧的最大压缩量大于左边弹簧的最大压缩量 C.左边弹簧的最大压缩量大于右边弹簧的最大压缩量 D.两边弹簧的最大压缩量相等

6、如图示，两相同物块静止在光滑水平面上，中间连着一根弹簧，现有一质量为m0的子弹以水平速度v0射进一物块中未穿出，在以后的作用过程中速度均与v0在同一直线上，物块质量均4m0，则由子弹弹簧两物块组成的系统在子弹射入物块1后（ A D ）

212m0v0v055 A．产生的内能为 B.物块2的最大速度为 1222m0v0m0v0 C．系统的最大动能为2 D.最大弹性势能为45

解：系统不受外力，动量守恒；子弹射入物块1的过程中，内力为摩擦力，机械能减小，减少的机械能全部转化为内能；然后由子弹弹簧两物体组成的系统内力为弹簧的弹力，系统机械能守恒。

v0 2 1 m0

mv(m04m0)v100子弹与物块1： 1122QWmv(m4m)vf0000122解得： Q22m0v0 A正确 5121222m0v0m0v0，射入1时损失了m0v0，故系统最大动能为。 2510子弹射入前动能为

由于子弹射入物块1后系统机械能守恒，当弹性势能最小(为零)时动能最大，此时物块12动物才具有最大速度。从子弹射入物块1到弹簧第一次恢复原长(此时物块2速度最大)相当于一动一静的弹性碰撞，有

(m04m0)v1(m04m0)v1m2v2(m4m0)m2v0v1v10m04m0m245 解得： 111222m2v22(m04m0)(m04m0)v1(m04m0)v12v2v1v0222m4mm90022v0 BC错 9即v2maxv2当弹簧形变最大时弹性势能最大，由运动学知，当两物块速度相等时弹簧有最大形变量(追击问题中的相距)。从子弹打入物块1后到物块有共同速度v的过程相当于完全非弹性碰撞。有

(mm1)v1(m0m1m2)v022E1(mm)v21(mmm)V2 解得： EPm45m0v0 D正确 Pm010121227、如图，AB两物体用一根轻弹簧相连，放在光滑水平地面上，已知mA=mB/2，A物体左边有一竖直挡板。现用力向左推B压缩弹簧，外力做功为W，突然撤去外力，B从静止开始向右运动，以后带动A做复杂运动，从A物体离开竖直挡板开始运动以后有（B D）

A．弹簧的弹性势能最大值为2W/3 B.弹簧的弹性势能的最大值为W/3

C．以AB及弹簧为系统，系统的动量始终等于撤去外力时的动量 D．以AB及弹簧为系统，系统的机械能总等于撤去外力时的机械能

解.撤去外力到弹簧恢复原长过程中，挡板对A有支持力但此力不做功，故撤力后系统动量不守恒，而机械能守恒。 当弹性势能最大时，AB有相同速度v，∴ WA B

122mv0 v0为弹簧刚恢复原长时B的速度 22mv0(2mm)vW 此后动量守恒  Ep BD正确 12EW3mv3p28、一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M的平板，处在平衡状态.一质量为m的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h，如图所示，让环自由下落，撞击平板.已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长（AC） A、若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒 B、若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒 C、环撞击板后，板的新的平衡位置与h的大小无关

D、在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功

9、如图所示，光滑水平面上有ABC三个物块，其质量分别为mA＝2.0kg，mB＝1.0kg，mC＝1.0kg，现用一轻弹簧将AB两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使AB两物块靠近，此过程外力做功108J（弹簧仍处于弹性范围），然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰以4m/s的速度迎面与B发生碰撞并瞬时粘连。求：

C⑴弹簧刚好恢复原长时（B与C碰撞前），A和B物块速度的大小。

⑵当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能。

解⑴ 设弹簧刚好恢复原长时，A和B物块速度的大小分别为vAvB

mAvABA

mBvB0

1122mAvAmBvBEP 22联立解得 vA6m/s vB12m/s

⑵弹簧第二次被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能最大，此时ABC具有相同的速度，设此速度为v mCvc(mAmBmC)v

所以 v1m/s

C与B碰撞,设碰后BC粘连时的速度为v /

mBvBmCvC(mBmC)v'

v'4m/s

故：弹簧第二次被压缩到最短时，弹簧具有的最大弹性势能为： Ep'1112mAvA(mBmC)v'2(mAmBmC)v250J 22210、如图所示，质量均为2.0kg的物块AB用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，B与竖直墙接触。另一个质量为4.0kg的物块C以v=3.0m/s的速度向A运动。C与A碰撞后粘在一起不再分开。它们共同向右运动，并压缩弹簧。求：⑴弹簧的最大弹性势能E能达到多少？⑵以后的运动中，B也将会离开竖直墙。那么B离开墙后弹簧的最大弹性势能E 是多少？⑴12J ⑵3J

11、如图所示，质量均为m的AB两物体，用劲度为k的轻质弹簧相连，A被手用外力F提在空中静止，这时B离地面的高度为h。放手后，AB下落， 若B与地面碰撞后不再反弹，求：A从开始下落

2mg 到其速度达到最大的过程中，A的重力势能的改变量。 5mghkA B h /

v C A B

12、如图所示，光滑轨道上，小车AB用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在AB上．然后使AB以速度v0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A的速度刚好为0，已知AB的质量分别为mAmB，且mA⑴被压缩的弹簧具有的弹性势能EP

⑵试定量分析讨论在以后的运动过程中，小车B有无速度为0的时刻？

2答案：⑴EmAmAmBv0 ⑵小车B速度不可能等于零。

P2mB13、如图9-1所示，质量为M=3kg的木板静止在光滑水平面上，板的右端放一质量为m=1kg的小铁块，现给铁块一个水平向左速度V0=4m/s，铁块在木板上滑行，与固定在木板左端的水平轻弹簧相碰后又返回，且恰好停在木板右端，求铁块与弹簧相碰过程中，弹性势能的最大值EP。

分析与解：在铁块运动的整个过程中，系统的动量守恒，因此弹簧压缩最大时和铁块停在木板右端时系统的共同速度（铁块与木板的速度相同）可用动量守恒定律求出。在铁块相对于木板往返运动过程中，系统总机械能损失等于摩擦力和相对运动距离的乘积，可利用能量关系分别对两过程列方程解出结果。

设弹簧压缩量最大时和铁块停在木板右端时系统速度分别为V和V’，由动量守恒得：mV0=(M+m)V=(M+m)V’ 所以，V=V’=mV0/(M+m)=1X4/(3+1)=1m/s

铁块刚在木板上运动时系统总动能为：EK=mV0=0.5X1X16=8J 弹簧压缩量最大时和铁块最后停在木板右端时，系统总动能都为：

EK’=(M+m)V=0.5X(3+1)X1=2J

铁块在相对于木板往返运过程中，克服摩擦力f所做的功为： Wf=f2L=EK-EK’=8-2=6J

铁块由开始运动到弹簧压缩量最大的过程中，系统机械能损失为：fs=3J 由能量关系得出弹性势能最大值为：EP=EK-EK‘-fs=8-2-3=3J

说明：由于木板在水平光滑平面上运动，整个系统动量守恒，题中所求的是弹簧的最大弹性势能，解题时必须要用到能量关系。在解本题时要注意两个方面：①.是要知道只有当铁块和木板相对静止时(即速度相同时)，弹簧的弹性势能才最大；弹性势能量大时，铁块和木板的速度都不为零；铁块停在木板右端时，系统速度也不为零。

②.是系统机械能损失并不等于铁块克服摩擦力所做的功，而等于铁块克服摩擦力所做的功和摩擦力对木板所做功的差值，故在计算中用摩擦力乘上铁块在木板上相对滑动的距离。

2

2

14、如图所示，半径分别为R和r （R>r）的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上一轻弹簧ab被两小球夹住，同时释放两小球，ab球恰好能通过各自的圆轨道的最高点，求： （1）两小球的质量比.

（2）若mambm，要求ab还都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有多少弹性势能.

（1）ab球恰好能通过各自的圆轨道的最高点的速度分别为vagR ①……1分 vbgr ②…………1分 由动量守恒定律mavambvb③ …………2分 机械能守恒定律

112mavamavamag2R ④………………1分 22r……3分

R 1mvb21mvmg2r ⑤…………1分 联立①②③④⑤得 mavbbbbb22mbva （2）若mambm，由动量守恒定律得vavbv。…………2分

2 当a球恰好能通过圆轨道的最高点时，E弹最小， E(1mgRmg2R)25mgR……3分

弹15、如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m的小球A以初速度v0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离。（弹簧始终处于弹性限度以内）

（1）在上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多大；

（2）若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板(图中未画出)，在A 球与弹簧分离之前使B球与

挡板发生碰撞，并在碰后立刻将挡板撤走。设B球与固定挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反。试求出此后弹簧的弹性势能最大值

A B 的范围。 v0

设AB的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则AB系统动量守恒mv0由机械能守恒：

m 2m

⑴当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当AB速度相

同时，弹簧的势能最大。

(m2m)v①

121mv0(m2m)v2E………………………………………………② 2212联立两式得：Emv0 ……………………………………………………………………③

3⑵设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时A的速度为vA。

系统动量守恒：mv0mvA2mvB……………………………………………………④

B与挡板碰后，以vB向左运动，压缩弹簧，当AB速度相同（设为v共）时，弹簧势能最大，为Em，则：mvA2mvB3mv共…………………………………………………………⑤

1212mv03mv共Em…………………………………………………………………⑥ 222v023v08mv04vB由④⑤两式得：v共 代入⑥式，化简得：Em[(vB)]…⑦

34163而当弹簧恢复原长时相碰，vB有最大值vBm，则：

mv0=mvA′+2mvBm mv02/2=mvA′2/2+2mvBm2/2

22v0 即vB的取值范围为：0vBv0………………⑧ 33v12结合⑦式可得：当vB＝0时，Em有最大值为：mv0………………………………⑨

422v012 当vB＝时，Em有最小值为：……………………………⑩ mv0327联立以上两式得：vBm＝

评分标准：①③式各2分，②式3分，④⑤⑥⑨⑩各1分，⑦⑧各2分，共16分。

16．（18分）如图所示，滑块A1A2由轻杆连结成一个物体，其质量为M，轻杆长L 。滑块B的质量为m ，长L/2 ，其左端为一小槽，槽内装有轻质弹簧。开始时，B紧贴A，使弹簧处在压缩状态。今突然松开弹簧，在弹簧作用下整个系统获得动能EK ，弹簧松开后，便离开小槽并远离物体A1A2 。以后B将在A1和A2之间发生无机械能损失的碰撞。假定整个系统都位于光滑的水平面上，求物块B的运动周期。

解．设弹簧松开后A1A2物体与物体B的速度各为V和v ，则

L 有

MVmv0 ①

A1 B L/2

A2 11MV2mv2EK ② 22 解得 V B③

和

A

2EKm ，

vM(Mm)碰撞前后

2EKM m(Mm)mvMVmv1MV1

1MV21mv21MV21mv2 ④

112222v1V1(vV) ⑤

即碰撞前后，B相对A1A2的速度v1V1的大小不变，只改变方向。

联立③和④式解得

同理可证明，当B与A1碰撞后，也有同样的结果，即相对A1A2 ，B在以大小不变的相对速度作往返运动。运

Mm动的周期为 T2L/2L

vV2EK(Mm)17、（19分）如图所示，将质量为mA100g的平台A连结在劲度系数k200N/m的弹簧上端，弹簧下端固定在地上，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置mBmA的物块B，使AB一起上下振动，弹簧原子为5cm.A的厚度可忽略不计，g取10m/s.求：

（1）当系统做小振幅简谐运动时，A的平衡位置离地面C多高？ （2）当振幅为0.5cm时，B对A的最大压力有多大？

（3）为使B在振动中始终与A接触，振幅不能超过多大？

解：（1）振幅很小时，AB间不会分离，将A和B整体作为振子，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得

2kx0(mAmB)g（1分）

(mAmB)g(0.10.1)10m0.01m1cm（2分）

k200平衡位置距地面高度hl0x0(51)cm4cm（2分）

得形变量x0（2）当AB运动到最低点，有向上的最大加速度，此时AB间相互作用力最大，设振幅为A

最大加速度amk(Ax0)(mAmB)gkA2000.005m/s25m/s2（3分）

mAmBmAmB0.10.1取B为研究对象，有N得AB间相互作用力NmBgmBam（2分）

mBgmBammB(gam)0.1(105)N1.5N（2分）

N1.5N（1分）

（3）为使B在振动中始终与A接触，在最高点时相互作用力应满足：N0（2分）

g10m/s2mBgNmBa，取B为研究对象，当N=0时，B振动的加速度达到最大值，且最大值am（方向竖直向下）（1分）

因amAamBg，表明AB仅受重力作用，此刻弹簧的弹力为零，弹簧处于原长（1分）

由牛顿第三定律知，B对A的最大压力大小为NAx01cm 振幅不能大于1cm（2分）

18、（13分）用一根轻质弹簧悬吊一物体A，弹簧伸长了L，现该弹簧一端固定在墙上，另一端系一三棱体，先将弹簧压缩

L,然后将物体A从三棱体的斜面上由静止释4放，则当A下滑过程中三棱体保持静止。若水平地面光滑，三棱体斜面与水平地面成30°角，如图所示。求：

（1）物块A的下滑加速度a； （2）物块A与斜面之间的动摩擦因数。

解：（1）当弹簧竖直悬挂物体时：KL=mg ①

在A从三棱体上下滑时，对A和三棱体组成的系统，在水平方向上，应用牛顿规律：KLmacos30 ② 4

由①②可得ag3g 64cos30（2）对物块A：mgsin30 tan30mgcos30ma ③

a310.244 3gcos3019、在光滑水平面上，有一质量m1=20kg的小车，通过一要几乎不可伸长的轻绳子与另一质量

m2=25kg的拖车相连接，一质量m3=15kg的物体放在拖车

m2 m3 m1 的平板上，物体与平板间的动摩擦因数μ=0.2。开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图所示，小车靠惯性以v0=3m/s的速度前进，求：

（1）当m1m2m3以同一速度前进时，其速度的大小。 （2）物体在拖车平板上移动的距离。

解：（1）取123研究 设三者共同速度为v2

m1v0（m1m2m3）v2

v21m/s

（2）先取 12研究，它们的共同速度为v1 m1v0（m1m2）v1

又根据能量守恒 v413m/s s0.33m