教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高。
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即么有
1形式的,这里我们把较小的数写在前面,即ab,那ab1111() abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:
11,形式的,我们有:
n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)裂差型裂项的三大关键特征:
(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的,但是只要将x提取
出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算:
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:
abab11a2b2a2b2ab(1) (2)
abababbaabababba裂和型运算与裂差型运算的对比:
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。
例题精讲
【例 1】
11111 。 1223344556
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】美国长岛,小学数学竞赛
1111【解析】 原式122311115 561661111提醒学生注意要乘以(分母差)分之一,如改为:,计算过程就要变为: 133557791111111. 133557791925【答案】
6【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111【解析】 原式()()......()
1011111259601060121【答案】
12【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1111【解析】 原式2910897【答案】
1511111172 453431015【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项
开始入手,通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有
112112,,……, 1(11)11212(12)22322原式【答案】12221223342120099 2(1)110010110110110199 101【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【答案】
50 1011
2325111【巩固】 计算:25133557【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2009年,迎春杯,初赛,六年级
1111【解析】 原式2512335【答案】12
1111252425112
2252252325【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年,台湾,小学数学竞赛,初赛
【解析】 原式【答案】152511111612233411
50050150150221 32【巩固】 计算:
3245671 25577111116162222292911111111111111 2557711111616222229292【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式【答案】
1 211111111【例 2】 计算:()128 8244880120168224288【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年,101中学
【解析】 原式(【答案】28
1112446681)128 16184911111111【巩固】 _______
612203042567290【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年,第六届,走美杯,初赛,六年级
【解析】 根据裂项性质进行拆分为:
2【答案】
5【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算 【关键词】2008年,第6届,走美杯,6年级,决赛
【解析】 原式1【答案】
1111212312341
12345677 4【巩固】 计算:
111111111= 2612203042567290【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年,第4届,走美杯,6年级,决赛
【解析】 原式【答案】
111111111() 2233445566778899101 1011111【巩固】 。
104088154238【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式【答案】
11111 2558811111414175 34【例 3】 计算:
1111353575791
200120032005【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2005年,第10届,华杯赛,总决赛,二试
【解析】 原式【答案】
1111141335355711 20012003200320051004003
12048045【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2007年,仁华学校
79161111118290【解析】 原式 1133557791331.2540.8323【答案】
3611111【例 4】 计算:123420
261220420【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第五届,小数报,初赛
【解析】 原式123【答案】2101111202612201 42020 21【巩固】 计算:200811111= 。 2009201020112012185410818027011111 366991212151518【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式200820092010201120125 5411224【巩固】 计算: ____。
26153577【答案】10050【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【解析】原式【答案】
1325375117 2615357710 111111111【巩固】 计算: 315356399143195【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 分析这个算式各项的分母,可以发现它们可以表示为:322113,1542135,……,
19514211315,
1111111所以原式 13355779911111313157【答案】
151511192997019899【巩固】 计算: .
2612203097029900【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2008年,四中
111【解析】 原式11126121【答案】98
10011
9900【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 首先分析出
原式【答案】
n1n11111
n1nnn1n1nn12n1nn121111 677878891111121223233435 144【巩固】 计算:
111232341
9899100【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111【解析】 原式()
212232334349899991004949【答案】
198001111【巩固】 计算: 135246357202224【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111++…+++…+
135357192123246202224111111=(-)+(-) 4132123424222465281601046540=+=+ 483211234003234003238625= 34003238625【答案】
340032【解析】 原式=
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【答案】
3200 9603【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11991001100100【解析】 ==-=-
123123123231232398100210021001 ==-=-
2342342342342343497100310031001 ==-=-……
34534534534534545110099100991001==-=-
9910010199100101991001019910010199100101100101100100100100111原式...(...)
12323434599100101233410010151【答案】24
101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111【解析】 原式3123234234345119【答案】
216011
7898910【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111111【解析】 原式3[(...)]
31232342343451718191819201139【答案】
68405719【例 5】 计算: .
1232348910【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相同,
而是成等差数列,且等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍),原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算. 原式3234123234316
89102与
n1n2也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质,可知分子的通项公式为2n3,所以
2n323,再将每一项的nn1n2n1n2nn1n23分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.
nn1n2【答案】
23 15【巩固】 计算:1155(572343451719 )891091011【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2009年,迎春杯,初赛,五年级
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式:
572343451719.这个算式不同于891091011我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式.
观察可知523,734,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以 所以原式1155(法二)
上面的方法是最直观的转化方法,但不是唯一的转化方法.由于分子成等差数列,而等差数列的通项公式为and,其中d为公差.如果能把分子变成这样的形式,再将a与nd分开,每一项都变成两个分数,接下来就可以裂项了.
31651. 55112234131, 1222031142205531所以原式1155651.
55(法三)
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的: 所以原式115531651. 55(法四)对于这类变化较多的式子,最基本的方法就是通项归纳.先找每一项的通项公式:
an2n1(n2,3,……,9)
n(n1)(n2)如果将分子2n1分成2n和1,就是上面的法二;如果将分子分成n和n1,就是上面的法一.
【答案】651
【巩固】 计算:
34512452356346712
10111314【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以先将每
一项的分子、分母都乘以分子中的数.即:
324252原式123452345634567122 1011121314现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差公式:32154,42264,52374……
324252原式12345234563456775【答案】
616122 1011121314【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
123422323423453628799【答案】
3628800【解析】 原式【解析】 原式【答案】
923410
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
13141516171 1212312341234512345612345675039 5040233!4!99 . 100!【巩固】 计算:
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了.
原式【答案】
23123123499
12310011 2100!234550++++…+ 1336610101512251275111111112741=()+()+()+()= 3661013127512251275【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式=
【答案】
1274 1275【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
211311【解析】 ,,……, 1(12)112(12)(123)1212310011,所以 (1299)(12100)1299121001原式1
121005049【答案】
5050【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
23410【解析】 原式1()
133661045551【答案】
55111111【例 6】 222222 .
31517191111131【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项:a2b2(ab)(ab),
111111原式()()()()()()
244668810101212143【答案】
14111111【巩固】 计算:(12)(12)(12)(12)(12)(12)
23454849【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1112411113,1(1)(1),……所以, (1)(1)2233333222221324485015025原式 223349492494925【答案】
4935715【巩固】 计算:2 122223232427282【解析】 1【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
221232224232【解析】 原式21222232324263【答案】
64827222 78321521721【巩固】 计算:231521721199321199521 . 199321199521【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
222221111【解析】 原式12 22223151711993119951997【答案】997
19961232224232529821002【巩固】 计算:22 .
21321419921【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
123210224220325234104204344【解析】 2,2,2,……由于2,2,2,
2134115318881515334444可见原式22 2222222131419914751【答案】198
4950122232502【巩固】 计算: .
13355799101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为
221,421,621,……,10021,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所
以可以先将原式乘以4后进行计算,得出结果后除以4就得到原式的值了.
1224262原式2421421621【答案】121002 1002163 101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【答案】
3 10【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第三届,祖冲之杯,人大附中
36233445566736111111【解析】 原式=...=4
57233445566757233467【答案】4
132579101119【巩固】计算: 3457820212435【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1325711111121【解析】 原式111115
3457845373857【答案】5
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1231111112113【解析】 原式
35734454756673【答案】3
4【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式111111111111111 23303141317717430341431【答案】2
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
175791113153718 【解析】 原式861220304256【答案】10
5791113151719【巩固】 计算:1
612203042567290【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式1【答案】
23344556677889910 233445566778899103 5【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式【答案】3
111111112111 453445355646【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式【答案】361232341918192021919...21736 212343181920191202019 20【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
2008111200711(...)(...) 2008120072200620071200812006200612008111200711=(...)(...) 2008120072200620071200812006200611200820082008120072007=(...)(...) 20081200722006200712008120062006111111111111=[(...)(...)] 2008120072200620071120062006111111111111=[(...)(...)] 200812007220062007112006200611111= ()20082007200720150281【答案】
2015028111111【例 7】 计算:
23459899515299【解析】 原式=
【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
11111【解析】 原式98352411111【解析】 50352411【解析】 2411【解析】 2411【解析】 241115035111243511124351119951521 991 9811124952541114926271 4911 4850111225262811125131411 245011【解析】 2411【解析】 241111235111123511121114161111178111 245025111 1250251111111111【解析】 2
246358101250251111111111 【解析】 246354565025【解析】 1【答案】
1149 50255049 50【例 8】 计算:
24633535712
357911【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
315171131 3353573579111311111【解析】 1335357911335【解析】 原式【解析】 1【解析】 【答案】
1
357911131
35791113135134
135135135134
1351352328241719135357211 1719211222【例 9】 计算:
133557【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
2324【解析】 135357224【解析】 1335572112244171921133535572829 171919212282417191335572929 1719192112【解析】 所以原式13352829 17191921291512133379【解析】 192113399399379【答案】
399
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