六年级+分数裂项

教学目标

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即么有

1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那ab1111() abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

11，形式的，我们有：

n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取

出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

abab11a2b2a2b2ab（1）  （2）

abababbaabababba裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

例题精讲

【例 1】

11111 。 1223344556

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

1111【解析】 原式122311115 561661111提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为： 133557791111111． 133557791925【答案】

6【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

111111111【解析】 原式()()......()

1011111259601060121【答案】

12【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

1111【解析】 原式2910897【答案】

1511111172 453431015【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项

开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有

112112，，……， 1(11)11212(12)22322原式【答案】12221223342120099 2(1)110010110110110199 101【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【答案】

50 1011

2325111【巩固】 计算：25133557【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级

1111【解析】 原式2512335【答案】12

1111252425112

2252252325【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛

【解析】 原式【答案】152511111612233411

50050150150221 32【巩固】 计算：

3245671 25577111116162222292911111111111111 2557711111616222229292【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式【答案】

1 211111111【例 2】 计算：()128 8244880120168224288【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年，101中学

【解析】 原式（【答案】28

1112446681）128 16184911111111【巩固】 _______

612203042567290【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级

【解析】 根据裂项性质进行拆分为：

2【答案】

5【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算 【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛

【解析】 原式1【答案】

1111212312341

12345677 4【巩固】 计算：

111111111＝ 2612203042567290【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛

【解析】 原式【答案】

111111111() 2233445566778899101 1011111【巩固】  。

104088154238【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式【答案】

11111 2558811111414175 34【例 3】 计算：

1111353575791

200120032005【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试

【解析】 原式【答案】

1111141335355711 20012003200320051004003

12048045【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2007年，仁华学校

79161111118290【解析】 原式 1133557791331.2540.8323【答案】

3611111【例 4】 计算：123420

261220420【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第五届，小数报，初赛

【解析】 原式123【答案】2101111202612201 42020 21【巩固】 计算：200811111= 。 2009201020112012185410818027011111 366991212151518【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式200820092010201120125 5411224【巩固】 计算： ____。

26153577【答案】10050【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】原式【答案】

1325375117 2615357710 111111111【巩固】 计算： 315356399143195【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：322113，1542135，……，

19514211315，

1111111所以原式 13355779911111313157【答案】

151511192997019899【巩固】 计算： ．

2612203097029900【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2008年，四中

111【解析】 原式11126121【答案】98

10011

9900【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 首先分析出

原式【答案】

n1n11111

n1nnn1n1nn12n1nn121111 677878891111121223233435 144【巩固】 计算：

111232341

9899100【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

11111111【解析】 原式()

212232334349899991004949【答案】

198001111【巩固】 计算： 135246357202224【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

11111＋＋…+++…+

135357192123246202224111111＝(－)＋(－) 4132123424222465281601046540＝＋＝＋ 483211234003234003238625＝ 34003238625【答案】

340032【解析】 原式＝

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【答案】

3200 9603【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

11991001100100【解析】 ＝＝－＝－

123123123231232398100210021001 ＝＝－＝－

2342342342342343497100310031001 ＝＝－＝－……

34534534534534545110099100991001＝＝－＝－

9910010199100101991001019910010199100101100101100100100100111原式...(...)

12323434599100101233410010151【答案】24

101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

11111【解析】 原式3123234234345119【答案】

216011

7898910【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

1111111【解析】 原式3[(...)]

31232342343451718191819201139【答案】

68405719【例 5】 计算： ．

1232348910【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，

而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 原式3234123234316

89102与

n1n2也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n3，所以

2n323，再将每一项的nn1n2n1n2nn1n23分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．

nn1n2【答案】

23 15【巩固】 计算：1155（572343451719 ）891091011【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级

【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：

572343451719．这个算式不同于891091011我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．

观察可知523，734，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 所以原式1155（法二）

上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为and，其中d为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将a与nd分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．

31651． 55112234131， 1222031142205531所以原式1155651．

55（法三）

本题不对分子进行转化也是可以进行计算的： 所以原式115531651． 55（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：

an2n1（n2，3，……，9）

n(n1)(n2)如果将分子2n1分成2n和1，就是上面的法二；如果将分子分成n和n1，就是上面的法一．

【答案】651

【巩固】 计算：

34512452356346712

10111314【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每

一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：

324252原式123452345634567122 1011121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：32154，42264，52374……

324252原式12345234563456775【答案】

616122 1011121314【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算

123422323423453628799【答案】

3628800【解析】 原式【解析】 原式【答案】

923410

【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算

13141516171 1212312341234512345612345675039 5040233!4!99 . 100!【巩固】 计算：

【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算

【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．

原式【答案】

23123123499

12310011 2100!234550＋＋＋＋…＋ 1336610101512251275111111112741＝（）＋（）＋（）＋（）＝ 3661013127512251275【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式＝

【答案】

1274 1275【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

211311【解析】 ，，……， 1(12)112(12)(123)1212310011，所以 (1299)(12100)1299121001原式1

121005049【答案】

5050【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

23410【解析】 原式1()

133661045551【答案】

55111111【例 6】 222222 .

31517191111131【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】仁华学校

【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：a2b2(ab)(ab)，

111111原式()()()()()()

244668810101212143【答案】

14111111【巩固】 计算：(12)(12)(12)(12)(12)(12)

23454849【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

1112411113，1(1)(1)，……所以， (1)(1)2233333222221324485015025原式 223349492494925【答案】

4935715【巩固】 计算：2 122223232427282【解析】 1【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

221232224232【解析】 原式21222232324263【答案】

64827222 78321521721【巩固】 计算：231521721199321199521 ． 199321199521【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

222221111【解析】 原式12 22223151711993119951997【答案】997

19961232224232529821002【巩固】 计算：22 ．

21321419921【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

123210224220325234104204344【解析】 2，2，2，……由于2，2，2，

2134115318881515334444可见原式22 2222222131419914751【答案】198

4950122232502【巩固】 计算： ．

13355799101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为

221，421，621，……，10021，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所

以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．

1224262原式2421421621【答案】121002 1002163 101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【答案】

3 10【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中

36233445566736111111【解析】 原式=...=4

57233445566757233467【答案】4

132579101119【巩固】计算： 3457820212435【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

1325711111121【解析】 原式111115

3457845373857【答案】5

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

1231111112113【解析】 原式

35734454756673【答案】3

4【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式111111111111111 23303141317717430341431【答案】2

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

175791113153718 【解析】 原式861220304256【答案】10

5791113151719【巩固】 计算：1

612203042567290【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式1【答案】

23344556677889910 233445566778899103 5【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式【答案】3

111111112111 453445355646【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式【答案】361232341918192021919...21736 212343181920191202019 20【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算

2008111200711(...)(...) 2008120072200620071200812006200612008111200711=(...)(...) 2008120072200620071200812006200611200820082008120072007=(...)(...) 20081200722006200712008120062006111111111111=[(...)(...)] 2008120072200620071120062006111111111111=[(...)(...)] 200812007220062007112006200611111= ()20082007200720150281【答案】

2015028111111【例 7】 计算：

23459899515299【解析】 原式=

【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算

11111【解析】 原式98352411111【解析】 50352411【解析】 2411【解析】 2411【解析】 241115035111243511124351119951521 991 9811124952541114926271 4911 4850111225262811125131411 245011【解析】 2411【解析】 241111235111123511121114161111178111 245025111 1250251111111111【解析】 2

246358101250251111111111 【解析】 246354565025【解析】 1【答案】

1149 50255049 50【例 8】 计算：

24633535712

357911【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算

315171131 3353573579111311111【解析】 1335357911335【解析】 原式【解析】 1【解析】 【答案】

1

357911131

35791113135134

135135135134

1351352328241719135357211 1719211222【例 9】 计算：

133557【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算

2324【解析】 135357224【解析】 1335572112244171921133535572829 171919212282417191335572929 1719192112【解析】 所以原式13352829 17191921291512133379【解析】  192113399399379【答案】

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