三角函数高考题及练习题 含答案

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．

2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．

3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．

π

1. 函数y＝2sin2x－－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)

4

函数．

答案：π 奇

π

解析：y＝－cos2x－＝－sin2x.

2

2. 函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为________． 答案：3

解析：在(0，＋∞)内作出函数y＝lgx、y＝sinx的图象，即可得到答案．

ππ

3. 函数y＝2sin(3x＋φ)，|φ|<的一条对称轴为x＝，则φ＝________．

122

π答案： 4

ππππ

解析：由已知可得3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所12242

π以φ＝.

4

π

4. 若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间0，上的最大值是2，则ω＝________．

3

3答案： 4

πωπππ

解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在0，上单调递增，且在这个区间

3333

ωπωππωππ3

上的最大值是2，所以2sin＝2，且0<<，所以＝，解得ω＝. 333344

题型二 三角函数定义及应用问题

例1 设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.

13

(1) 若点P的坐标是，，求f(θ)的值；

22x＋y≥1，



(2) 若点P(x，y)为平面区域x≤1，

y≤1

上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求

函数f(θ)的最小值和最大值．

解：(1) 根据三角函数定义得sinθ＝

31

，cosθ＝，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据定义22

π

及角的范围得角θ＝，从而求出 f(θ)＝2)．

3

ππ

(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sinθ＋，

26

π

∴ 当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝，f(θ)max＝2.

3

(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别

225

与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.求：

105

(1) tan(α＋β)的值； (2) α＋2β的值．

π225

解：由题意得cos α＝，cos β＝，α、β∈0，，所以sin α＝1－cos2α

1052

725＝，sin β＝1－cos2β＝， 105

1

因此tan α＝7，tan β＝.

2

17＋2tanα＋tanβ

(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.

11－tanαtanβ

1－7×2

1－3＋2

(2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.

1

1－（－3）×

2

3π3π

又α＋2β∈0，，所以α＋2β＝. 42

题型二 三角函数的图象与解析式问题

例2 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示． (1) 求f(0)的值；

π

(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间0，上的取值范围．

3

解：(1)由题图可知A＝2，

7π3πT7πππ

∵ ＝－＝，∴ ω＝2.又2×＋φ＝2kπ＋，

41234122

π

∴ φ＝2kπ＋(k∈Z)，

3

π6

∴ f(0)＝2sin2kπ＋＝.

32

πππππ

(2) φ＝，f(x)＝2sin2x＋.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以

33333π

0≤sin2x＋≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．

3

(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)

已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且1

当x＝时，f(x)max＝2.

3

(1) 求f(x)的解析式；

2123(2) 在闭区间4，4上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．

2π

解：(1) 因为f(x)＝A2＋B2sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.

ω

ππ11

又当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝

3326

ππ

2sinπx＋2kπ＋＝2sinπx＋(k∈Z)．

66

π

故f(x)的解析式为f(x)＝2sinπx＋.

6

(2) 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称

ππ1211235965

轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤.

6234341212

212316，上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝. 又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间443

题型三 三角函数的性质与图象的移动问题

例3 把函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，

17π

所得函数的图象关于直线x＝对称．

8

(1) 求m的最小值；

17π15π(2) 证明：当x∈－时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为，－88

负数；

(3) 设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．

1－cos2x1＋cos2x

(1) 解：f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋3·＝cos2x－sin2x

22

π

＋2＝2cos2x＋＋2.

4

π

因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝22（x＋m）＋＋2

4

17π

的图象，又g(x)的图象关于直线x＝对称，

8

π（2k－9）17π

所以2π(k∈Z)． ＋m＋4＝kπ，即m＝48

π

因为m>0，所以m的最小值为.

4

π7π17π15π(2) 证明：因为x∈－，所以－4π<2x＋<－，所以f(x)在，－4288

－17π，－15π上是减函数．所以当x1、x2∈－17π，－15π，且x18888

f（x1）－f（x2）

f(x1)>f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率k＝<0.

x1－x2

π2

(3) 解：令f(x)＝1，所以cos2x＋＝－.

24

ππ9π

因为x∈(0，π)，所以2x＋∈，.

444π3ππ5πππ

所以2x＋＝或2x＋＝，即x＝或x＝.

444442

ππ3π

因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝＋＝ 424

已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.

π2π

(1) 若y＝f(x)在－，上单调递增，求ω的取值范围；

34

π

(2) 令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函

6

数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且aππ－ω≥－42

解：(1) 因为ω>0，根据题意有

2ππω≤32

3

0<ω≤.

4

πππ

(2) f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2x＋＋1＝2sin2x＋＋1，g(x)＝0sin2x＋＝－

633

ππ2π17

x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为和，故若y＝231233

2ππ43π

g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.

333





已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx

π

＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.

2

π

(1) 求f的值；

8

π

(2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)

6

的单调递减区间．

31

解：(1) f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin（ωx＋φ）－cos（ωx＋φ）＝

22

π

2sinωx＋φ－.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，

6

ππ

因此sin－ωx＋φ－＝sinωx＋φ－，

66

ππππ

即－sinωxcosφ－＋cosωxsinφ－＝sinωxcos(φ－)＋cosωxsinφ－，

6666

π

整理得sinωxcosφ－＝0.因为ω＞0，且x∈R，

6

πππ

所以cosφ－＝0.又0＜φ＜π，故φ－＝.

626

2πππ

所以f(x)＝2sinωx＋＝2cosωx.由题意得＝2×，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x，

22ω

ππ

因此f＝2cos＝2.

48

πππ

(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到fx－的图象，所以g(x)＝fx－＝

666

ππππ

2cos2x－＝2cos2x－.当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋

3663

2ππ2π

(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为kπ＋，kπ＋(k∈Z)． 363题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用

π

例4 已知函数f(x)＝2sin2＋x－3cos2x－1，x∈R.

4

(1) 求f(x)的最小正周期；

π

(2) 若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点－，0对称，且t∈(0，π)，求t的值；

6

ππ

(3) 当x∈，时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．

42

ππ

解：(1)因为f(x)＝－cos＋2x－3cos2x＝2sin2x－，故f(x)的最小正周期为π.

32

ππππ

(2) h(x)＝2sin2x＋2t－.令2×－＋2t－＝kπ(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝

33365π或. 6

ππ2πππ

(3) 当x∈，时，2x－∈，，

36342

∴ f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3， ∴ 2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.

π

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)

12

7

取得最大值3；当x＝π时，f(x)取得最小值－3.

12

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 求函数f(x)的单调递减区间；

ππ

(3) 若x∈－，时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．

362ππ7

解：(1) 由题意，A＝3，T＝2π－＝π，ω＝＝2.

T1212

πππ

由2×＋φ＝＋2kπ得φ＝＋2kπ，k∈Z.

1223

ππ

又 －π<φ<π，∴ φ＝，∴ f(x)＝3sin2x＋.

33

ππ3ππ7ππ

(2) 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，即＋kπ≤x≤

2326612

7π

＋kπ，k∈Z. 12

π7π

∴ 函数f(x)的单调递减区间为＋kπ，＋kπ，k∈Z.

1212

πm－1ππ(3) 由题意知，方程sin2x＋＝在－，上有两个根．

6336ππππ2π

∵ x∈－，，∴ 2x＋∈－，.

33336m－13∴ ∈－，1，∴ m∈[1－33，7)．

62

1. (2013·江西卷)设f(x)＝3sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．

答案：a≥2

π

解析：f(x)＝3sin3x＋cos3x＝2sin3x＋，|f(x)|≤2，所以a≥2.

6ππ

2. (2013·天津卷)函数f(x)＝sin2x－在区间0，上的最小值是________．

42

2

答案：－ 2

π

3. (2013·全国卷)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数

2

π

y＝sin2x＋的图象重合，则|φ|＝________．

3

5π答案： 6

4. (2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区πππ2ππ

间，上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________． 62236答案：π

ππππ

解析：由f(x)在区间，上具有单调性，f＝－f知，函数f(x)的对称中心为

6226

π，0，函数f(x)的对称轴为直线x＝1π＋2π＝7π，设函数f(x)的最小正周期为T，所

223123

ππ2π7ππT1

以T≥－，即T≥，所以－＝，解得T＝π. 22631234

1

5. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.

2

π2

(1) 若0<α<，且sinα＝，求f(α)的值；

22

(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

π22

解：(解法1)(1) 因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.

222

22211

所以f(α)＝＋－＝.

22222

1＋cos2x111112

(2) 因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝

2222222

2ππππ3ππ

sin2x＋，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x

224284

π3ππ

≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－，kπ＋，k∈Z.

888

1＋cos2x111112

(解法2)f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝

2222222

π

sin2x＋.

4

ππ2

(1) 因为0<α<，sinα＝，所以α＝.

224

π223π1

从而f(α)＝sin2α＋＝sin＝.

242422π

(2) T＝＝π.

2

πππ3ππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)

24288

3ππ

的单调递增区间为kπ－，kπ＋，k∈Z.

88

1

6. (2013·北京卷)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.

2

(1) 求f(x)的最小正周期及最大值；

π2(2) 若α∈，π，且f(α)＝，求α的值．

22

111

解：(1) 因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝

222ππ22

sin4x＋，所以f(x)的最小正周期为，最大值为. 2224

π2

(2) 因为f(α)＝，所以sin4α＋＝1.

24

π9π17ππ

因为α∈，π，所以4α＋∈，，

4442

π5π9π

所以4α＋＝，故α＝.

4216

(本题模拟高考评分标准，满分14分)

π

设a>0，函数f(x)＝asinxcosx－sinx－cosx，x∈0，的最大值为G(A)．

2

π

(1) 设t＝sinx＋cosx，x∈0，，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；

2

(2) 求G(A)．

π

解：(1) t＝sinx＋cosx＝2sinx＋.

4

ππ3ππ

∵ x∈0，，∴ x＋∈，，

4424

π2

∴ ≤sinx＋≤1，

24

∴ 1≤t≤2，即t的取值范围为[1，2]．(3分)

π

(另解：∵ x∈0，，∴ t＝sinx＋cosx＝1＋sin2x.由2x∈[0，π]得0≤sin2x≤1，

2

∴ 1≤t≤2)

t2－1

∵ t＝sinx＋cosx，∴ sinxcosx＝，(5分)

2

t2－111

∴ m(t)＝a·－t＝at2－t－a，t∈[1，2]，a>0.(7分)

222

(2) 由二次函数的图象与性质得：

11＋21① 当<，即a>2(2－1)时，G(A)＝m(2)＝a－2； (10分)

a2211＋2② 当≥，即0a2

12a－2，a>2（2－1），

∴ G(A)＝(14分)

－2，0ππ

1. 若＜x＜，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为________．

42答案：－8

－4t3（t＋2）（t－2）2t4

解析：令tanx＝t∈(1，＋∞)，y＝，y′(t)＝，得t＝2时

1－t2（1－t2）2

y取最大值－8.

2. 已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x，求：

π

(1) f的值；

3(2) f(x)的最大值和最小值．

2πππ31

解：(1) f＝2cos＋sin2＝－1＋＝－.

33443

(2) f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.因为cosx∈[－1，1]，所以当cosx＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.

2π

3. 已知A为△ABC的内角，求y＝cos2A＋cos2＋A的取值范围．

3

2π

1＋cos2＋A1＋cos2A32π

解： y＝cos2A＋cos2＋A＝＋

223

4πcos2A14π

＝1＋＋coscos2A－sinsin2A

2233

π1113

＝1＋cos2A＋sin2A＝1＋cos2A－.

22232∵ A为三角形内角，

π

∴ 0＜A＜π，∴ －1≤cos2A－≤1，

3

2π13

∴ y＝cos2A＋cos2＋A的取值范围是[，]．

223

xx

4. 设函数f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小

22

值记为g(t)．

(1) 求g(t)的表达式；

(2) 讨论g(t)在区间(－1，1)内的单调性并求极值．

xx

解：(1) f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4

22

232

＝sinx－2tsinx＋4t＋t－3t＋3 ＝(sinx－t)2＋4t3－3t＋3.

由于(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3. (2) g′(t)＝12t2－3＝3(2t＋1)(2t－1)，－1＜t＜1. 列表如下： 1t － 2g′(t) ＋ 0 － 0 ＋ Z ] Z g(t) 极大值 极小值 1111－1，－和，1上单调增，在区间－，上单调减，极小由此可见，g(t)在区间22221－1＝4. 值为g＝2，极大值为g22