数学・解题指南 一道立体几何二面角问题的解法探究 广西防城港市高级中学（５３８０００）孙榕苑 本文主要探究一道关于立体几何的二面角题目的 解法，这种题主要考查立体几何中的线线垂直、线面垂 直、面面垂直等知识，同时考查学生的空间想象能力、推 理论证能力和运算求解能力．二面角是立体几何中的一 个非常重要的数学概念，它具有综合性强、灵活性大的 特点，所以求二面角的大小更是历年高考的热点，几乎 Ａ０的中点Ｆ，连结ＥＦ，在△Ａ０Ｂ中，￣ＡＯＢ＝１２０。，０Ａ —ＯＢ＝２√３，则ＡＢ 一ＯＡ ＋ＯＢ 一２ＯＡ・ＯＢｃｏｓＺＡＯＢ ３６． ’．．一ＡＢ一６． 。．。ＡＢ一３ＡＥ，．‘．ＡＥ一２． 又‘．‘ＥＦ吧一ＡＥ２＋ＡＦ２—２ＡＥ・ＡＦｃｏｓ￣０ＡＢ一２ ＋ 在每年全国各省市的高考试题中，尤其在大题中，都有 出现．虽然求二面角的方法很多，但以下主要介绍三种 （ ）ｚ～２×２ｘ，／ｇｘ 一ｌ＇．．．ＥＦ＝１． 厶 。．．常用的方法：三垂线定理及逆定理法、向量法、射影面积 法． ＡＥ２＝ＡＦ２＋Ｅ ，即ＥＦ上ＡＱ ‘．’０Ｃ上ｏＡ，０Ｃ上ｏＢ，０Ａ ｎ ０Ｂ一０，．’．０ｃＪ一面 ’ＥＦｃ面Ａ０ｌＢ，．‘．ｏ ．Ｅ．Ｆ． 【例１】如图１，在四面体Ｃ Ｃ Ａ０ｌＢ． ‘ＡＢｏ中，０Ｃ ｊ ＯＡ，０Ｃ Ｊ∞， Ａ０ｌＢ一１２０。，且ＯＡ—ＯＢ＝ＯＣ ．‘．‘ＥＦ上Ａ０，０Ｃ上ＥＦ，Ａｏｎ０Ｃ一０， ．一２，／５，Ｄ是ＡＣ的中点，点Ｅ在 ＡＢ上，ＡＢ一３ＡＥ．求二面角０一 ‘．ＥＦｊ＿面Ａ０Ｃ． 过点Ｅ作ＥＧ上ＡＣ于Ｇ，连结ＦＧ，根据三垂线定 ＡＣ—Ｂ的余弦值． 解法一（三垂线定理法）：取 Ａ 图１ 理，得Ｆ（ 上ＡＣ． 。．． ＦＧＥ为二面角０一ＡＣ～Ｂ的平面角． 。．．ＣＦ—ＣＥ，．‘．△ＣＥＦ为等边三角形． ０￣ － １４０￣１８———一２０。一／ＣＡＥ． 则ＦＣ＝ＦＥ， ＣＦＥ＝６０。． 又 ＣＤＦ＝４０。， ＦＣＤ＝６０。－－２０。一４０。一 ＣＤＦ， ．厶 。．．Ｃ、Ｄ、Ａ、Ｅ四点共圆， ＰＥＣ＝￣ＡＤＣ＝６Ｏ。． ＰＥＢ＝－３０。＋（４０。一１０。）一６０。一 ＰＥＣ， 。ＦＣ—ＦＤ． ．． ‘．．ＦＣ＝ＦＥ—ＦＤ，即Ｆ是△ＣＤＥ的外心， １ 又 ＰＢＥ一２０。一１０。一１０。一 ＰＢＣ， 。．． ＣＤＥ＝＿去－ ｃＦＥ一３Ｏ。。 ．．‘．Ｐ是△ＣＢＥ的内心， １ 【例６】如图１１，在 △ＡＢＣ中，Ｐ是其内部 一’． ＰＣＥ一去￣ＥＣＢ＝２Ｏ。， ＣＰＥ一１８０。－－２０。一６Ｏ。一１００。． ’点， ＰＡＣ一２Ｏ。， ．． ＰＡＢ一３０。， ＰＢＣ一 三、总结 １Ｏ。， ＰＢＡ一４０。，求 ＡＰＣ的度数． —ＢＣ，故考虑以等腰三 分析：不难发现ＡＣ 类似的角度问题变化多端，并无定式，但万变不离 其宗——构造等边三角形．当然，具体怎么构造就大有 讲究了，因为实际情况往往是复杂的，并没有严格教条． 图１１ 角形的腰为边作等边三角形．但是，笔者最初尝试以ＡＣ 或以ＢＣ为边向内作等边三角形时，无法推导下去．经过 因此，利用等边三角形解决类似问题，方法灵活多样．上 述各题的解法，都是笔者经过多次的试验后才得出的， 而第一次试验往往是失败的，笔者在多次失败中总结、 反思后，才通往了成功．总而言之，目前纳入这个解题理 论体系的就两条路——“３０。角”和“等长的边”，以这两个 要素为切入点，就是解决此类问题的基础． （责任编辑钟伟芳） 番反思之后，笔者想到向外作等边三角形．经尝试，以 ＡＣ、ＢＣ为边向外作等边三角形都可以，而以ＡＣ为边要 一简捷一些，故采用以ＡＣ为边的方法． 解：如图１１，以ＡＣ为边向左作等边ｚ￣ＡＣＤ，连结 ＤＢ交ＡＰ于Ｅ，连结ＣＥ． ‘．。 Ｃ Ｂ一 （、ＢＡ一５０。，．‘．ＡＣ—ＢＣ，．’． ＣＤＥ一 ４１ Ｅ＿ｍａｉｌ．ｚ ｘｃｋＩｋ＠１６３・ｃｏｍ 数学・解题指南 连结ＯＤ， ．‘Ｄ是ＡＣ的中点，ＯＡ＝ＯＣ，． ．ｏＣ上ＡＣ， ‘ ．ＧＦ／／ＤＯＮ．ＧＦ＝ＩＤｏｓ＜ ＞一 一 一 ． ． 解法三（面积射影定理法）： 由等面积的方法得：Ｄ０一 ． 至 一 一 取ＢＥ的中点Ｍ，连结０Ｍ、ＣＭ、 ＤＭ取Ａｏ的中点Ｆ，连结ＥＦ． ．．在△Ａ［）Ｂ中， Ａ０Ｂ一１２０。， ２，／ｇ ・．．ＧＦ＝ ． 一 ＋ 一（ １一号脚 ＯＢ —２０Ａ・ＯＢｃｏｓ￣ＡＯＢ一３６． ＯＡ—ＯＢ一２，／ｇ，则ＡＢ 一ＯＡ ＋ “ ＧＥ一 ，／ｖｄ． 。・．ｃｏｓ 一 一 一 ． ２ 解法二（向量法）：取ＡＯ的中点Ｆ，连结ＥＦ， 取ＢＥ的中点Ｍ，连结ＯＭ，则ＯＭ／／ＥＦ，ｏＭ一２ＥＦ ＝＝＝２． 在ＡＡＯＢ中， ＡＯＢ一１２０。，ＯＡ—ＯＢ一２ ，则 ＡＢ。＝ＯＡ。＋０Ｂ 一２Ｃ ・ＯＢｃｏｓ￣ＡＯＢ＝３６． 。．．ＡＢ一６． ’．‘ＡＢ一３ＡＥ．．’．ＡＥ＝＝＝２。 又。．‘ＥＦ２＝ＡＵ＋ＡＦ２—２ＡＥ・ＡＦｃｏｓ￣ＯＡＢ＝２ ＋ （ ）ｚ－－２Ｘ ２× × 一１． 。．． Ｆ一１． 。．．Ａ ＝ＡＦ２＋Ｅ ，即ＥＦ上ＡＯ． ‘．。０Ｃ上ＯＡ，ＯＣ上ＯＢ，ＯＡ ｎ ＯＢ一０，．‘．０Ｃ上面 ＡＯＢ． ‘．‘ＥＦ（＝＝面ＡＯＢ，．‘．ＯＣ上ＥＦ， 又ＥＦ上ＡＯ，ＥＦ上０Ｃ，Ａ０ｎ ＯＣ＝Ｏ， ‘．．ＥＦ上面ＡＯＣ，即Ｃ ｊ一面ＡＯＣ． 以ＯＡ，ＯＭ，ＯＣ为ｚ， ，ｚ轴， 建立空间直角坐标系，如图２所 示，则０（Ｏ，０，ｏ），Ａ（２√３，０，０），Ｂ （一 ，３，Ｏ），Ｃ（Ｏ，０，２ ）． ・．． 一（２ ，０，０）， 一 （一２ ，０，２ ）， ＝ ，一３，２ ）． 图２ 记平面ＡＢＣ的法向量为 一（ｚ， ，ｚ），则，ｌ上 ， ｎ １ ， ．ｆ（ｚ， ， ）・（一２，／３，０，２√３）一０ ｌ（ｚ， ，ｚ）・（√３，一３，２√３）一ｏ ・．．』ｌ ｚ屉３．ｙ ２＋２ ～测 一瓜＝ｏ…１ 一ｉ ． ・埘一（１’ ’， １）． 同理求得平面ＡＯＣ的法向量ｅ一（Ｏ，２，Ｏ） ４２ 中学教学参考２ｏ１４年ｌＯ月 总第２０９期 １ 。：。 Ｂ一。ＡＥ一２．， ‘・‘ＡＢ一３ＡＥ， 图３．．一 又。．’Ｅ —Ａ ＋Ａ 一２ＡＥ・ＡＦｃｏｓ Ｃ Ｂ一２ ＋ （ ） －－２×２ｘ４－ｘ－Ｓ＝＝＝１． ．．．ＥＦ一１． ‘．．ＡＥ２＝ＡＦ＋Ｅ ，即ＥＦ＿上ＩＡ０， ‘．’０Ｃ上 ，０Ｃ上０Ｂ，ＯＡｎＯＢ一０， ‘．．（）Ｃ上面Ａ０Ｂ． ‘．‘ＥＦＣ面Ａ０ ，．‘．０Ｃ１Ｌ Ｆ． 又ＥＦ上０Ａ，ＥＦｊ＿０Ｃ，０Ａｎ０Ｃ一０， ‘．．ＥＦ上面Ａ０Ｃ，．‘．０Ｍ上面Ａ０Ｃ． ‘．‘面ＡＭＣ是面ＡＢＣ的一部分，则面ＡＯＣ是面 记面Ａ 与面Ａ（）Ｃ所成角为 ， ’．‘ＡＭ一２ＡＥ一４。ＣＭ一￣／Ｃ（） ＋０ 一 √（２，／ｇ）。＋２。一４，在等腰ＡＡＭＣ中，ＤＭ＝￣／１０． ’．．ｓ ＝－￣ＡＣ・ＤＭ一去×２ × 一２ ． ｓ△ ＝寺Ａ０・００一寺ｘ ２√３×２，／５—６，．‘．ｃｏｓ０一 Ｓ△ ６ 一￣／１５ Ｓ△Ａ ２、／ ５‘ 从上述例子可以看出，求立体几何的二面角，解法 有多种且很灵活，通常需要学生平时多总结，并比较哪 种方法更简捷，才能在考试时得心应手．一般而言，三垂 线定理及逆定理法要求学生学会作辅助线，以及熟悉线 线垂直、线面垂直、面面垂直、三垂线定理等知识．而利 用向量法解决问题时，学生容易着手，但建立直角坐标 系是学生的难点，需注意找两两相互垂直的三条直线． 建系不同，点的坐标也就不同，所以写坐标时必须细心 谨慎．而观察力较强的学生可采用射影面积法，尤其针 对无棱二面角，它是解决这类问题的捷径，只需找出其 中一个面的垂线，即可找到相对应的射影，然后用射影 面积公式ｃＯＳ 一 求出二面角． 总之，在学习立体几何时，我们应该学会一题多解， 培养发散性思维．仔细观察题型的特点，一定会找到其 丰富而简捷的解法，只有这样，我们的学习才会更轻松、 更快乐． （责任编辑钟伟芳） ＡＭＣ的射影，