第二章整式的加减单元备课

第二章 整式的加减单元备课

本章“整式的加减”属于代数学，是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容．从《数学课程标准》看，关于式的内容主要研究整式、分式和二次根式等内容。关于整式，主要研究整式的加、减、乘、除运算，对于整式的这四种运算，本套教科书分为两章安排，本章是整式运算的第一章，主要研究整式的加减运算，关于整式的乘除运算，安排在八年级上册的“第15章整式的乘除及因式分解”一章中。

课时安排：

本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：

2．1 整式 约2课时

2．2 整式的加减 约4课时

数学活动

小结 约2课时

本章知识结构框图：

通过

本章学习，应使学生达到以下学习目标：

1. 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。

2. 理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号时符号的变化规律，能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算。

3. 理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上；理解合并同类项、去括号的依据是分配律；理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。

4．能够分析实际问题中的数量关系，并用还有字母的式子表示出来。

一、内容安排

本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项、去括号以及整式加减运算等。本章内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，本章内容的编写是在学生已有的用字母表示数以及有理数运算的基础上展开的。整式的加减运算是学习下一章“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具。

全章包括两节内容。 第2.1节“整式”主要介绍单项式、多项式、整式及其相关概念。这些概念是结合实际问题给出的。在引出这些概念的过程中，教科书充分重视与实际问题的联系，在实际情景中抽象出数学概念。本节开始，教科书从章前引言中的问题（1）入手，

在速度已知的前提下，利用公式“路程＝速度时间”，首先计算当时间是具体数字时火车所行驶的路程，然后逐步过渡到当时间用字母表示时火车所行驶的路程，这个路程可以用含有字母的式子表示出来。教科书的这种设计，一方面让学生在回顾复习小学所学的用字母表示数的同时，感受到式子中的字母表示数，含有字母的式子可以表示实际问题中的数量关系，式子更具有一般性等；另一方面，由于列出的这个式子是一个单项式，从而为后面引出单项式的概念做必要的铺垫。接下去，教科书设置一个“思考”栏目，要求以填空的方式写出几个实际问题的答案，这些答案都是用含有字母的式子来表示实际问题中的数量关系，所列出的式子都是单项式。这样，教科书就结合实际问题引出了对单项式概念的讨论，通过分析所列出的这些式子的共同特点给出单项式的概念、单项式的系数和次数的概念等。为了进一步巩固概念，教科书设计一个例题，例题中包括五个实际问题，要求用单项式解决问题。通过这个例题，在巩固单项式概念的同时，也让学生进一步熟悉分析实际问题中的数量关系，并用单项式表示出来，为学习下一章列方程打基础。有了单项式的概念，教科书在此基础上开始研究多项式的概念。对于多项式概念的引入，教科书采用的方式与单项式概念的引入基本相同。首先设置一个“思考”栏目，栏目中包括四个实际问题，解决这些实际问题，需要分析问题中的数量关系，并用含有字母的式子表示这些关系。由于所列出的式子都是多项式，通过分析这些式子的共同特点，教科书给出了多项式的概念，以及多项式的项数和次数的概念等。为了进一步熟悉多项式的概念，类似于单项式，教科书也给出一个例题，例题中有四个实际问题，要求用多项式表示问题中的数量关系，从而得到实际问题答案。对于多项式的概念，教科书紧密结合实际问题展开，并充分注意对列式表示数量关系的训练，这样就可以做到在引出和巩固多项式概念的同时，进一步培养学生分析实际问题中的数量关系并列式表示数量关系的能力，为下一章学习列方程打基础。

第2.2节“整式的加减”是在学习合并同类项和去括号的基础上，研究整式加减的运算法则。本节内容的编写充分重视了“数式通性”，是在有理数运算的基础上，通过类比来

研究整式的加减运算法则。本节开始首先研究了同类项的概念和合并同类项的方法。教科书从章前引言中的问题（2）出发，通过分析这个实际问题中的数量关系，列出式子

，化简这个式子需要合并同类项，这样教科书就通过实际问题引出了对合并同类

项内容的讨论。接下去，教科书设置“探究”栏目，栏目中包括两个问题，第一个问题是关于有理数的运算，实际上是在式子

中，当t取2和-2时的算式，计算这两个算

式可以利用分配律，这为解决问题（2）提供方法上的引导。问题（2）要求根据问题（1）中的方法化简式子

，由于这个式子中的字母t表示数，问题（1）和问题（2）中

的式子有相同的结构，这样，教科书通过分析算式与含有字母的式子的结构，通过与数的运算进行对比，引出了合并同类项的方法，即利用分配律合并同类项。至此，教科书对同类项的讨论只涉及到一次的情形，重点引出了合并同类项的依据，为更一般的同类项的合并提供方法上指导。对于一般的同类项的合并，教科书设置了一个“探究”栏目，要求类比前面所研究关于式子

的化简，讨论更一般的同类项（例如多项式中的项的次数

高于1,字母不止一个等）的合并，并结合这个“探究”栏目，讨论了同类项的特点，给出同类项的概念。之后，教科书采用与数进行类比的方式，讨论了利用数的运算律（如交换律、结合律、分配律等）将多项式中的同类项进行合并，进一步体现了“数式通性”。与合并同类项一样，去括号也是是整式加减的基础，教科书在充分讨论合并同类项之后，研究去括号的内容。教科书从章前引言的问题（3）出发，利用速度、时间和路程的关系，在已知速度和时间的前提下，列出表示路程的式子

，这两个式

子都带有括号，化简它们首先需要去括号，这样教科书就结合一个实际例子引出了对去括号的探讨。类比着数的运算，分析去括号前后各项符号的变化情况，就可以得到去括号的符号变化规律。研究了合并同类项和去括号的内容，就可以学习整式的加减运算法则。接下去，教科书通过几个具体例子，利用合并同类项和去括号的法则，归纳得出了整式加减运算的法则。

二、编写特点

人教版《整式加减》一章在内容呈现和结构方面体现了强烈的时代感和科学应用性。全章包括两节内容，这两节内容都是由章前引言中的问题引出的。在章前引言中，教科书以2006年正式通车的青藏铁路为背景，根据路程、速度和时间的关系设计了三个问题，由问题1引出单项式有关概念，并将实际问题延伸导出多项时有关概念；由问题2引出同类项以及探究问题3引出去括号和添括号法则。本章的阅读与思考“数字1与字母X的对话”使学生从浅显活泼形式中领悟“代数式”的含义，而淡化代数式的定义，可以形象地说，本章是以章前引言中的问题为点，解决三个问题为线，在解决诸多实际问题这个面中导出了整式加减有关概念。

三、教学建议：

1.注意承接小学已有的字母表示数的基础

学生比较熟悉，在此基础上，本章第2.1节的一开始，教科书就提出问题“列车在冻土地段行驶时，2小时行驶多少千米？3小时呢？t小时呢？”，这个问题实际上让学生经历了一个由数到式过程，在第2.1节的教学中，尽可能多举一些与实际相关的例子，复习巩固用字母表示数，而且是在复习的基础上有所提高，让学生充分体会字母的真正含义，逐渐熟悉用式子表示数量关系，理解字母可以象数一样进行计算，为学习整式的加减运算打好基础。

2. 加强与实际的联系

本章的有关概念均是由实际问题导出。例如，本章的章前引言，以青藏铁路为背景提出三个问题，这三个问题实际上是引出了本章将要讨论的主要问题。在讨论单项式的概念时，教科书从章前引言的实际问题（1）出发，引出用字母表示数，指出用含有字母的式子

可以表示实际问题中的数量关系，接着，教科书又在一个“思考”栏目中给出四个实际问题，这些实际问题是为了引出单项式的概念而设计的。在学习多项式的概念时，教科书是在一个“思考”栏目中给出四个实际问题，通过分析解决这四个实际问题所列出的式子，抽象概括给出多项式的概念。在学习整式加减运算时，对于合并同类项和去括号这两个进行整式加减运算的基础，教科书也是紧密结合实际问题展开的，结合章前引言中的实际问题（2）引出的；对于去括号，教科书是结合着章前引言中的实际问题（3）引出的。另外，在本章的例题和习题中，也设计了大量加强与实际的联系，无论是概念的引出，还是运算法则的探讨，都是紧密结合实际问题展开的，这些实际问题选材广泛，有的关于工农业生产，有的与学生生活密切联系，教科书的这种编写方式，让学生充分感受所学知识与实际的联系，体会由实际问题抽象出数学问题的过程，培养学生利用数学解决实际问题的能力。

3.重视数学思想方法的渗透，加强式与数的类比教学

本章编写注意加强式与数的类比，体现“数式通性”，利用学生熟悉的有关数的运算来学习整式的运算。教科书编写特点是在研究去括号时，教科书明确指出“上面的式子①②都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简”。因此，本章编写加强了数的运算与式的运算之间的联系，利用学生所熟悉的数的运算来学习式的运算，充分运用类比的思想方法学习式的运算，理解数的运算性质和运算律在整式运算中仍然成立，体现“数式通性”，促使学生的学习形成正迁移。

4.加强列式表示数量关系训练，培养学生符号翻译能力

加强与实际的联系是本章编写的一个特点，本章重点概念（如单项式、多项式的概念）的引出和运算法则（如整式加减运算法则）的探讨，都是紧密结合实际问题展开的。教科书的这种编写方式，一方面可以让学生体会整式的概念和整式的加减运算来源于实际，同

时也可以让学生看到整式及其加减运算在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题的过程，体会整式比数字更具一般性地表示数量关系的道理。

从实际问题所隐含的数量关系看，基本上是学生比较熟悉的，比如有速度、路程和时间的关系，有单价和总价的关系，简单平面图形的周长、面积，以及简单几何体的表面积、体积等等。教科书选择具有这些学生熟悉的数量关系的实际问题，一个主要的目的是让学生经历分析实际问题中的数量关系，并用整式表示出来的过程，即是培养学生符号翻译能力过程！此阶段也是学生从具体数量关系进入代数符号语言表示数量关系的开端。这为下一章一元一次方程的学习打下基础。因此，教学时，要充分发挥实际问题的作用，结合实际问题学习单项式、多项式等概念以及整式加减运算法则等，引导学生分析实际问题中数量关系，培养学生列式表示数量关系的符号翻译能力，逐步让学生养成善于利用数学解决实际问题的习惯。

5.抓重点环节，加强练习，打好基础

本章最终目的是学生掌握整式的加减运算。而合并同类项和去括号是进行整式加减的基础，它们是本章的重点，也是难点。解决重、难点的关键是抓好三个关键环节的教学：（1）要使学生掌握同类项的概念，准确地掌握判断同类项的两条标准（字母和字母指数）；（2）要明确合并同类项的含义是把多项式中同类项合并成一项，这样多项式就得到了简化；（3）要使学生明确“合并”是指同类项的系数的加减，把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。在此必须给出适量的相应练习训练。而影响学生能否正确进行整式的加减运算的因素是去括号，括号中符号的处理是教学的难点，解决这一难点是让学生理解去括号其实是对多项式变形，在数的去括号法则基础上用类比的方法整式去括号的依据，并进行一定的训练。

四、教学中应注意的问题

1．代数式的书写格式：

代数式的表示方法是一种数学的符号语言，学生应掌握这种符号语言的规范表述方式：

（1）代数式中出现乘号时，若是数字与数字相乘，仍用“”号；若是数与字母相乘或是字母与字母相乘，乘号用“。”或省略乘号．例如应写成或．

（2）数字与字母相乘时，省略乘号后，已知数应写在字母的前面．例如不能写成【可比喻成：几位同学到效外游玩，认识路的同学(已知数)应在前面带路，不认识路的(表示未知数的字母)应紧跟在后面．】

（3）带分数与字母相乘时，应把带分数写成假分数．例如不能写成【可理解成带分数的整数部分与真分数部分的运算是“加法”，而省略乘号是乘法．】

（4）代数式中出现除法运算时，应写成分数的形式．例如应写成．

（5） 代数式中的最后运算是加减运算且需注明单位时，必须用括号把整个代数式括起来．

2．求代数式的值的书写格式：

代数式的值由“代数式中字母的取值及代数式的运算结构”两方面决定．书写格式中“当……时，原式＝……”表示的正是这两方面的信息，并不是可有可无的“呆板格式”．

3．单项式的次数

单项式的次数可理解为把单项式中的乘方也写成乘法的形式，字母因数出现的总次数即为单项式的次数．例如写成乘法形式为，字母因数出现的总次数为，这样处理，学生不容易遗漏指数是1的情形．

因为常数项中字母因数没有出现（即出现了0次），自然是“零次单项式”．强烈建议老师们补充零次单项式的概念（讲多项式的项时补充零次项，讲零指数时回顾此概念），这样在升幂排列中学生不容易出错．

4．升幂、降幂排列

建议先讲只含单个字母的多项式的降幂排列，再讲含两个字母（不要讲含三个或三个以上字母）的多项式的降幂排列．在学生熟练掌握降幂排列的基础上，把前述练习改为升幂排列即可．零次项的次数是“0”，降幂排列时自然排最后，升幂排列时自然排最前．

5．同类项、合并同类项

同类项抓住“两相同”：所含字母相同，相同字母的指数也相同．（建议在此加大识别同类项的练习，后面合并同类项自然事半功倍）

合并同类项抓住“一加减，两不变”：同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变．

合并同类项可从学生的生活经验中引入：

建议只讲去括号，暂时不讲添括号．待学生熟练掌握去括号后，直接给出添括号的相

关练习即可，不用专门练习．

友情提示：深刻理解并掌握单项式、多项式、整式及其有关概念，学会将这些概念类比，并弄清单项式、多项式、整式及其有关概念的联系与区别，是谨防这类错误的有效措施.对于定义的补充规定在数学中有很多，应有足够的重视，不能掉以轻心.

6.规律类题，应引导学生学会观察，并会用整式展示规律

7.进行变式训练，使原本枯燥的计算变的生动。

8.妙用整体思想求整式的值

总而言之，本章教科书是以分析解决实际问题为线索展开的，在教学过程中应帮助学生对基础知识和基本技能进行归纳整理，通过必要的练习途径来掌握，练习要着重在基础内容上，要加强针对性，强调使学生打好必需的基础，并让学有余力的学生探究更高层次的问题