考研数学公式大全(考研必备)

高等数学公式篇

导数公式： 基本积分表：

(C)0(Xa)aXa1(sinx)cosx(tanx)sec2x(cotx)cscx(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(ax)axlna(logax)1xlna2(cosx)sinx(ex)ex1(lnx)x(arcsinx)11x21(arccosx)1x21(arctanx)1x21(arccotx)1x2a xkdxkxCdx1xa1C,a1(a1)

1xx dxlnxCedxeC xaxadxlnaC(a0,a1) sinxdxcosxC

xcosxdxsinxC tanxdxlncosxCcotxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtanxCcscxdxlncscxcotxCdx1xarctanCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axlna2x22aaxCdxxarcsinCa2x2a

11x2dxarctanxC

dx2seccos2xxdxtanxCdx2sin2xcscxdxcotxCsecxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxCaxxadxlnaC

shxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C第 1 页 共 27 页

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acosxbsinxccosxdsinxdxAxBlnccosxdsinxC

其中，acosxbsinxA(ccosxdsinx)B(ccosxdsinx) AcBda

三角函数的有理式积分：

AdBcbA,B

2u1u2x2dusinx，　cosx，　utan，　dx 22221u1u1u一些初等函数： 两个重要极限：

exex双曲正弦:shx2exex双曲余弦:chx2shxexex双曲正切:thxchxexexarshxln(xx21）archxln(xx21)11xarthxln21x三角函数公式： ·诱导公式：

函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α

sinx lim1x0 x1

lim(1)xe2.718281828459045...x x

sin cos tan cot -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -tanα -cotα cotα tanα -sinα -cotα -tanα -cosα -tanα -cotα cotα tanα -sinα -cosα tanα -cosα -sinα cotα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -cotα -tanα -tanα -cotα tanα cotα 第 2 页 共 27 页

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·和差角公式： ·和差化积公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantancotcot1cot()cotcot·倍角公式：

sinsin2sin22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22cossin22sincoscos22cos112sincossincot2cot12cot2tantan21tan222222sin33sin4sin3cos34cos33cos3tantan3tan313tan2

·半角公式：

sintan

1cos1cos　　　　　　　　　　　　cos22221cos1cossin1cos1cossin　　cot21cossin1cos21cossin1cos

abc2R ·余弦定理：c2a2b22abcosC sinAsinBsinC·反三角函数性质：arcsinxarccosx　　　arctanxarccotx

22·正弦定理：

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nn(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)(n)(n1)uvnuvuvuvuv(n)2!k!

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中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：Klim.

23s0sds(1y)直线：K0;1半径为a的圆：K.a定积分的近似计算：

b矩形法：f(x)abba(y0y1yn1)nba1[(y0yn)y1yn1]n2ba[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]3n

梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：

功：WFs水压力：FpAmm引力：Fk122,k为引力系数

rb1函数的平均值：yf(x)dxbaa1均方根：f2(t)dtbaa空间解析几何和向量代数：

b第 4 页 共 27 页

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空间2点的距离：dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosicabaxbxjaybyaxbxaybyazbzaxayazbxbybz222222kaz,cabsin.例：线速度：vwr.bzaybycyazbzabccos,为锐角时， czax向量的混合积：[abc](ab)cbxcx代表平行六面体的体积。1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD0xyz3、截距世方程：1abc平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2平面的方程：xx0mtxxyy0zz0空间直线的方程：0t,其中s{m,n,p};参数方程：yy0ntmnpzzpt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2221abcx2y22、抛物面：z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2221abcx2y2z2双叶双曲面：222（马鞍面）1abc

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多元函数微分法及应用

全微分：dzzzuuudxdy　　　dudxdydzxyxyz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvzf[u(t),v(t)]　　　　dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，uuvvdudxdy　　　dvdxdy　xyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0，　　，　　2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFzz隐函数F(x,y,z)0，　x，　　xFzyFz

FF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组：　　　JGG(x,y,u,v)0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)　　　　xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)　　　　yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：

FvFuGGuvFvGv

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x(t)xxyy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t0)(t0)(t0)z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T{,,GyGzGzGxGxG(x,y,z)0曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

FyGy}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0fff函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ff函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)ijxy

f它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值ACB0时，　　　　　　无极ACB20时,　　　　　　　不确定重积分及其应用：

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f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf(x,y)的面积ADzz1dxdyxy22平面薄片的重心：xMxMx(x,y)dD(x,y)dDD,　　yMyMy(x,y)dD(x,y)dDD

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,　　对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：FxfD(x,y)xd(xya)2222，　　Fyf3D(x,y)yd(xya)2222，　　Fzfa3D(x,y)xd(xya)22322柱面坐标和球面坐标：

xrcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,　　　zz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐标：yrsinsin，　　dvrdrsinddrrsindrddzrcos2

r(,)2F(r,,)rsindr0f(x,y,z)dxdydzF(r,,)rsindrdddd002重心：x1Mxdv,　　y1Mydv,　　z1Mzdv，　　其中Mxdv转动惯量：Ix(y2z2)dv，　　Iy(x2z2)dv，　　Iz(x2y2)dv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(t),则：y(t)Lxt22f(x,y)dsf[(t),(t)](t)(t)dt　　()　　特殊情况：y(t)第 8 页 共 27 页

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)设L的参数方程为，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：()dxdyPdxQdy格林公式：()dxdyPdxQdyxyxyDLDLQP1当Py,Qx，即：2时，得到D的面积：Adxdyxdyydxxy2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：QP在＝时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP＝。注意奇点，如(0,0)，应xy

u(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0y00。曲面积分：

22对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1z(x,y)z(x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：号；R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正Dxy号；P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正Dyz

Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式：

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(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz高斯公式的物理意义——通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失...xyz通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(RQPRQP)dydz()dzdx()dxdyPdxQdyRdzyzzxxycosyQcoszR

dydzdzdxdxdycos上式左端又可写成：xyzxPQRPRQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件：，　，　yzzxxyijk旋度：rotAxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzAtds常数项级数：

1qn等比数列：1qqq1q(n1)n 等差数列：123n2111调和级数：1是发散的23n2n1级数审敛法：

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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n

交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理： unun1如果交错级数满足su1,其余项rn的绝对值rnun1。limu0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛：

(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1　　级数：n2收敛；ｐ１时发散1　　p级数：np　　p1时收敛幂级数：

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1x1时，收敛于1x1xx2x3xn　　x1时，发散对于级数(3)a0a1x　a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定1

0时，R求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Rnan时，R0函数展开成幂级数：

f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!f(n1)()余项：Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0

n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxx2!n!一些函数展开成幂级数：

m(m1)2m(m1)(mn1)nxx　　　(1x1)2!n! 2n1x3x5xsinxx(1)n1　　　(x)3!5!(2n1)!(1x)m1mx欧拉公式：

eixeixcosx2 eixcosxisinx　　　或ixixsinxee2三角级数：

a0f(t)A0Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[,]上的积分＝0。傅立叶级数：



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a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期22n11(n0,1,2)anf(x)cosnxdx　　　其中1bf(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)n112122835　111224224262正弦级数：an0，bn余弦级数：bn0，an11121222（相加）623411121222（相减）12234f(x)sinnxdx　　n1,2,3　f(x)b0

2nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdx　　n0,1,2　f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

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a0nxnxf(x)(ancosbnsin)，周期2l2n1lll1nxaf(x)cosdx　　　(n0,1,2)nlll其中lb1f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)nlll

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法： dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，yCeP(x)dxP(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edxC)e

dy2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dx全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydyP(x)Q(x)yf(x)， 2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r2第 14 页 共 27 页

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3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解： r1，r2的形式 两个不相等实根(p4q0) 两个相等实根(p4q0) 一对共轭复根(p4q0) 222(*)式的通解 yc1er1xc2er2x y(c1c2x)er1x yex(c1cosxc2sinx) r1i，r2i4qp2 p，22二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAij4. 设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1(1)n(n1)2Aij(1)ijMij

D； D；

将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2(1)将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)n(n1)2n(n1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D；

；

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③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积； ④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)⑤、拉普拉斯展开式：

AOCBACOBn(n1)2；

CABOOABC(1)mnAB

AB、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n阶行列式A，恒有：EA(1)kSknk，其中Sk为k阶主子式；

nk1n7. 证明A0的方法：

①、AA； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)n； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）； r(A)n（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax0有非零解；

bRn，Axb总有唯一解； A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为0；

ATA是正定矩阵；

A的行（列）向量组是Rn的一组基； A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n阶矩阵A：AA*A*AAE 无条件恒成立； 3.

(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*

(AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A1

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A1若AA2，则： As第 16 页 共 27 页

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Ⅰ、AA1A2A111Ⅱ、A1As；

1A2； As1O；（主对角分块） B1B1；（副对角分块） OA1AO②、OBOOOA③、1BOA1A1AC④、OBO11A1CB1；（拉普拉斯） 1BO；（拉普拉斯） B1A1AO⑤、11CBBCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：FrOEO； Omn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB； 2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A,E)(E,X)，则A可逆，且XA1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)(E,A1B)；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且xA1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1②、rrc2，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；

iin1111③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：1；

11第 17 页 共 27 页

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111111④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))E(i())，例如：kkk11(k0)； 1kk111⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：1(k0)；

115. 矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m,n)；

②、r(AT)r(A)； ③、若AB，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※） ⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※） ⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1ac②、型如01b的矩阵：利用二项展开式；

001

二项展开式：(ab)CaCab注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

n(n1)(nm1)n!123mm!(nm)!mnnmnn0nn1nn11CamnnmbmCn11n1nabmmnm； CbCnabnnnm0nⅡ、Cnm0nCnCn1

nⅢ、组合的性质：CCCmn1CCmnm1n Cr0rn2nrr1rCnnCn1；

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

n①、伴随矩阵的秩：r(A*)10r(A)nr(A)n1； r(A)n1②、伴随矩阵的特征值：③、A*AA1、A*AA(AXX,A*AA1A*XAX)；

n1

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8. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程； 10. 线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2nn2①、211222；

am1x1am2x2anmxnbna11a12aa22②、21am1am2a1nx1b1a2nx2b2 Axb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）

amnxmbmx1b1xb2an（全部按列分块，其中2）； xnbn③、a1a2④、a1x1a2x2anxn（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.

m个n维列向量所组成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)；

Tm个n维行向量所组成的向量组B：1T,2,1TTT,m构成mn矩阵B2；

Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 Axb是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程）

3. 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14) 4.

r(ATA)r(A)；(P101例15)

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5.

n维向量线性相关的几何意义：

0； ①、线性相关

②、,线性相关 ,坐标成比例或共线（平行）；

③、,,线性相关 ,,共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1必线性相关；

若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版P74定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

r(A)r(A,B)（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P85定理2推论）

Pl；

8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使AP1P2r①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解 ②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若AmsBsnCmn，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11. 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解； 12. 设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,a2,,as线性表示为：（P110题19结论）

(b1,b2,,br)(a1,a2,,as)K（BAK）

c 其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相

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关性）

（必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）

注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm r(A)m、Q的列向量线性无关；（P87） ②、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEn r(A)n、P的行向量线性无关； 14. 1,2,,s线性相关

存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k11k22kss0成立；（定义）

x1(1,2,,)x2s0有非零解，即Ax0有非零解；

xsr(1,2,,s)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：r(S)nr；

16. 若*为Axb的一个解，1,2,,nr为Ax0的一个基础解系，则*,1,2,,nr线性无关；（题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵ATAE或A1AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aT1ijiaj0ij(i,j1,2,n)；

②、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且A1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1a1；

b[b1,a2]2a2[bb1 1,b1]

b[b1,ar]b[b2,ar][br1,ar]rar[b,b1bb211][2,b2][bbr1;

r1,br1]3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

PAQB，P、Q可逆； r(A)r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 CTACB，其中可逆； xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 P1APB； 5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；第 21 页 共 27 页

P111

高等数学复习公式

6. 7.

A为对称阵，则A为二次型矩阵；

n元二次型xTAx为正定：

A的正惯性指数为n；

A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTACE； A的所有特征值均为正数；

A的各阶顺序主子式均大于0；

aii0,A0；(必要条件)

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概率论与数理统计

第一章

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

特别地，当A、B互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式

P(A|B)P(AB)

P(B)

概率的乘法公式

P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)

全概率公式：从原因计算结果

n P(A)P(Bk)P(A|Bk)

k1

Bayes公式：从结果找原因

P(BP(B)P(A|B

ii)k|A) nP(B|B

k)P(Ak)k1

第二章

二项分布（Bernoulli分布）——X~B(n,p)

P(Xk)Ck npk(1p)nk，(k0,1,...,n)

泊松分布——X~P(λ)

P(Xk)kk!e，(k0,1,...)

概率密度函数



f(x)dx1

怎样计算概率

P(aXb)

P(aXb)bf(x a)dx

均匀分布X~U(a,b)

f(x)1ba(axb)

第 23 页 共 27 页0F(x,y)1F(x,y)P{Xx,Yy}

F'(x)f(x)高等数学复习公式

指数分布X~Exp (θ)

f(x)1ex/(x0)

分布函数

P(Xk)对离散型随机变量 F(x)P(Xx)kx

x对连续型随机变量

F(x)P(Xx)f(t)dt

分布函数与密度函数的重要关系：

xF(x)P(Xx)f(t)dt



二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法

联合密度函数 f(x,y)联合分布函数

F(x,y)f(x,y)0f(x,y)dxdy1

联合密度与边缘密度

fX(x)f(x,y)dyfY(y)f(x,y)dx

离散型随机变量的独立性

P{Xi,Yj}P{Xi}P{Yj}连续型随机变量的独立性

f(x,y)fX(x)fY(y)

第三章

数学期望

离散型随机变量，数学期望定义

连续型随机变量，数学期望定义

E(X)kxkPkE(X)xf(x)dx第 24 页 共 27 页

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 E(a)=a，其中a为常数

 E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数

 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量

随机变量g(X)的数学期望

常用公式

E(g(X))g(xk)pkkE(X)xipijijE(X)xf(x,y)dxdy

E(XY)xiyjpijijE(XY)E(X)E(Y)E(XY)xyf(x,y)dxdy当X与Y独立时,E(XY)E(X)E(Y)方差 定义式

D(X)

常用计算式

常用公式

xE(X)2f(x)dx

2D(X)E(X2)E(X)D(XY)D(X)D(Y)2E{(XE(X))(YE(Y))}

当X、Y相互独立时：

D(XY)D(X)D(Y)

方差的性质

D(a)=0，其中a为常数

D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b为常数

当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数

EXE(X)YE(Y)E(XY)E(X)E(Y)

Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)第 25 页 共 27 页

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XYCov(X,Y)D(X)D(Y)协方差的性质

Cov(X,X)E(X)E(X)D(X)22Cov(aX,bY)abCov(X,Y)

Cov(XY,Z)Cov(X,Z)Cov(Y,Z)

独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章

正态分布 X~N(,2)1f(x)e2(x)222

E(X),D(X)2标准正态分布的概率计算 (a)1(a)标准正态分布的概率计算公式

P(Za)P(Za)(a)

P(Za)P(Za)1(a)

P(aZb)(b)(a)

P(aZa)(a)(a)2(a)1

一般正态分布的概率计算

X~N(,2)ZX~N(0,1)

一般正态分布的概率计算公式

P(Xa)P(Xa)(a)

P(Xa)P(Xa)1(a)

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P(aXb)(第五章 卡方分布

b)(a)

若X~N(0,1)，则Xi~2(n)2i1n

2若Y~N(,2),则t分布

12Yii1n~2(n)

若X~N(0,1),Y~(n),则2

X~t(n) Y/n

若U~2(n1),V~2(n2),则U/n1F分布

~F(n1,n2)正态总体条件下 V/n2样本均值的分布：

X~N(0,1) X~N(,)/nn样本方差的分布：

X(n1)S22~t(n1) ~(n1)2s/n

两个正态总体的方差之比

22S12/S2~F(n11,n21) 221/2

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